TA的每日心情 | 开心 昨天 00:26 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 : L: r; \0 Y) V( j; c6 H' O
, x% P2 i: G: u( I) \ K! ]; c* a下面继续.0 O ^7 L @3 F; p
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说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.$ S) Y! z/ f/ u* \5 F) ^0 I# Y/ r3 L
7 [1 U& W: m* f. k0 `4 [! E" R通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
$ j+ H7 e. i4 m; R9 j7 Wx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).& r4 F# O& ~$ Q
% j. W" a7 y, R, {9 z+ Z$ U8 t A$ B现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).
0 s& z5 P5 r$ c. @0 o5 }- Y, N& X0 L' U0 @- W" }* n/ q/ C: h J( D/ C
在这种情况下,有意思的结论来了,
0 ~* K# ]- t1 U7 nx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
7 H' h; F- I) Q1 zx在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less1 K5 D o8 E1 g
2 m, W( _* M9 f& f( r! @8 t
我们立刻得出两条推论:
8 a5 \3 w, t, G, r7 _! g! s1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).2 [2 v5 e! e4 | ?7 `+ y) t
2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.! i6 M2 w& ^7 K# C
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继续待续中.... |
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