TA的每日心情 | 开心 8 小时前 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑 $ ]# ^$ g3 O4 d7 V p7 N+ x; a4 n
# Z ]4 g3 [+ O! a$ s% K下面继续.8 Y( A0 Z0 l& x) t, ]' X
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说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.
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$ s1 v3 G$ p2 a- I2 S2 g7 Z通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是1 @. u4 H, a/ x4 T5 q* ]
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
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现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).6 W* u/ \* p( e4 z
0 P, O5 d) f$ H7 ~2 _
在这种情况下,有意思的结论来了,! Z5 h+ R6 i0 I. S6 e3 c
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
, d7 p# u: @3 I& f. i) [x在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less
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我们立刻得出两条推论:
/ ?1 N6 P9 i% {2 o8 R/ L1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
' s" P( ]/ i: b3 J0 `8 v7 B) C2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.
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继续待续中.... |
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