TA的每日心情 | 开心 4 小时前 |
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本帖最后由 数值分析 于 2020-11-5 17:56 编辑
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下面继续.$ G" d/ V& h6 G7 F+ n; S
- Q0 Q1 g& I' G; c3 c4 U) ]说到哪里了,哦,公平赌局.在一个公平赌局里,所有输家的赌资都由赢家按比例瓜分.我们这里简化一下模型,假设一个公平赌局中只有两个选项,当前押在选项1的独资为a元,押在选项2上的赌资为b元,按照赌场的切口,赔率为1赔(a+b)/a和1赔(a+b)/b.然后我们现在要下注了.不失一般性,我们假设我们押一块钱.设我们下在1选项上的赌资是x,则押在2选项上的赌资为(1-x).那么我们怎么评估我们的得失损益呢,这就回到了决策效用函数上了.8 _1 T: p$ d5 `* [8 Y. H/ |
8 Z# u n# d' A: G' E通常在概率论里我们优化的对象是数学期望.计算数学期望需要关于赌局的信息:1赢的概率,p,(或者2赢的概率1-p).如果我们知道p,或者对其有一个估计,则我们获利的数学期望是
# n3 I! P$ `" jx*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p).
J' [, F: L, U( d! o6 c O2 |& c$ X
现在我们来看一个有意思的情况,假设这个赌局是一个信息充分透明,而赌客绝对理性的赌局,既每个赌客都知道p,而且都用一致的决策策略(极大化数学期望),则p应该等于a/(a+b).
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$ R, E2 v- q' Z- _* g7 Q在这种情况下,有意思的结论来了,0 H( `# _4 r% s/ F( K- H9 O( a% P, \
x*(a+b)/a*p+(1-x)*(a+b)/b*(1-p)=1,
5 E4 ` T" I' Q+ L2 G- h# }. E% ox在式中完全消掉了,也即无论我们怎么下注,我们都将得到本金返还1,no more no less5 Y* k& W6 f9 Y: Y+ K7 _" K
0 x2 X) c4 C+ s2 O
我们立刻得出两条推论:8 t* A* e" m1 P2 h& v5 y* I
1.完全透明的赌局是boring的,没有风险,也没有收益,因而是没有意义的(或者数学上说是平凡的).
% c) w7 w% b4 i2 x5 H2.公平的赌局中收益与风险相伴,没有风险的策略收益也是1,没赚头.
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继续待续中.... |
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