设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 6313|回复: 9
打印 上一主题 下一主题

[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

[复制链接]
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    跳转到指定楼层
    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼' K& l# w) e. O. H- u) p
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”, f" q1 _7 ]# T% X2 c

    . V1 i* n* N/ B( r- [7 F  O他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。: h, e3 x+ X8 F# H1 B
    2 Z4 p' d1 @. f& n( |6 G# x
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
    8 o) o, R; H/ s# p
    2 a& d' n: W- d' K3 jIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
    ) ~0 x* ^& v$ X, L5 E; w4 X. c% G9 V% \+ K
    幸运数的定义
    - f  J. S9 O" uFORMULA        0 m4 z2 P! l* u( y( a, y
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    9 v0 [7 d; g2 R( N$ @& `
    9 q4 w) P/ q' N! e具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
    $ x7 s% H, N  l# K" }6 D3 _* P
    + n& e) x5 e/ h. J! V) e初始,从1开始的自然数列:
    ) ~2 ^; g$ X; UBegin with a list of integers starting with 1:
    . J& }- y9 q+ V, T/ f1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……5 t% m( v, [" T* n, p  ~* [3 y

    1 H8 c  [4 N/ K开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~) @+ g% D) Q" {: z, C
    剩下的数列如下:$ D- R1 ~* U4 Q5 D' t! U
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    7 g- u9 l  x3 ~5 A# j0 h7 G9 b1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    " r2 v& m- u4 Y+ |6 X# h7 |
    ) S! \& L  b! L5 S3 f接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:' |9 q1 N+ Q) \+ m. o
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
    6 D4 n$ c, s  x3 D1 i% e1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……/ R5 ~$ M0 V6 \. ^: T, |% v% q) S

    9 C2 M7 P+ e4 I7 L现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:2 \) ?, d  p5 g. e" a
    The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:) D6 a2 F  \5 Q. `, L  f( c1 C
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……5 g% K1 N( `$ e/ P
    ' y0 J( m# `7 n: K; I
    接下来是9,……
    " y9 w' d  K1 y这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。8 r( z: A6 C& F% h- k' F7 j3 v

    1 E& ~8 Y& y% E/ U8 |4 f) V# H0 V1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    # c* A8 H4 c6 s" q: y在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    1 n1 q8 H8 b3 {上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:/ f5 C, h3 N2 F0 C. q" C( N
    1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    9 u/ E" G5 N% Q0 B' W3 D3 A" E
    / v8 Z) L# U( W3 b4 |! c: x1 B& u有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?- ]; ^# s2 `2 t# e
    2 t/ |. e$ u/ \. T; h
    6 m3 V; i7 _+ s0 t; z9 v2 Y) T

    5 z9 Q9 L3 X, y3 }* |+ V第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    " ?4 A( n" F! K5 M3 m/ s6 r& G$ P1 A" D# N$ q* F* H
    数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。" ~/ p4 S' H, W( _: q* o9 }
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。4 R0 I2 U* ?7 m+ Z" o% `
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    - w/ O+ j3 R: `
    & O& U" ]" L/ e/ b暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
    * ?; W6 y3 c8 v$ Q3 _6 ]
    $ r4 n1 F0 V$ c' D  C**什么叫做Conjecture?
    4 m! Y( v  r7 Y' j" I* p, D+ q! Q**约瑟夫斯问题。

    评分

    参与人数 9爱元 +49 收起 理由
    韦红雪 + 8
    喜欢就捧捧场 + 6 涨姿势
    独角兽 + 4 涨姿势
    Pipilu + 2 涨姿势
    农民家的狗 + 4

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    - ~9 k( P, i9 E: z9 L: X
    : b: t: C& d# r# r- D5 `猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    . o1 b- v3 ~8 y: M$ F' e/ B- B  Y8 b1 q6 }# D/ P
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。! q3 r$ ]4 P& p
    * C: U3 Z- r7 J! f( e' F
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    + n4 b! I, [/ f' |8 h1 G) B' N
    9 I& m# j; K$ u假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。* ?1 n4 p) p2 a' c3 w6 a

    ( B( }8 S* }: H有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

    评分

    参与人数 1爱元 +4 收起 理由
    独角兽 + 4 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 3 j7 O9 j" A$ r$ w8 e% f

    3 e- }% }8 k) t4 t6 L**约瑟夫斯问题    都教授 6 x7 A! E  M5 V+ f: f

    2 J: H2 K; L/ Q/ L我们来聊聊约瑟夫斯问题。* x4 |! i  c) P; a# b' R

    $ s# B. ~/ `. t有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。% |9 n+ P" a" R2 M7 \! B
      [$ R& q5 y. `9 d5 V/ \7 o
    问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    3 _1 t1 v0 i3 ?9 q' B  C8 R: z) r% D+ l9 A% Q, m
    , q5 Q* P% Q, v7 c. S
    ---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------! ^. r7 t& h: {6 d! C
    据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  * l8 F# I1 c9 T7 r9 ~2 E& a# W
    9 T* _$ s! F/ H
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------. H. a! q% L. z& K, {- ]
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。" \0 u, p$ e. w: j3 ~+ [
    据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50 + o# a# M& s/ Y
    **约瑟夫斯问题    都教授
    - K- [/ k5 w; |# x" G6 X. a& _. Y) s; Z3 X% u8 ]4 c
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
      N" ^, c3 Q& Z# |# ~, ]$ [9 H+ _
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!  {) N: E' S, v( k/ r# q# v( l
    ! r; L, L7 x6 E5 R2 n$ O: m
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    8 F# G; N- s8 |6 t# |4 A! E2 N# W2 }. {3 m' q3 i
    推的方法如下:) |  T, r- g' ~
      l& p; @, A5 f$ p* s
    n=1,就一号,跑不掉的
    " G4 m# X: ]4 d: m1 \+ s; pn=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 / ]0 i5 J( L+ @4 |3 t% x' p
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    1 v  m# P! U+ F1 ?+ d5 j4 S' @
    - S# C2 f) l5 Q" ]7 |; X, O( r5 J& ^( E: c8 s
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    # Y; p+ n+ r& o( e' r" j3 W
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 * o7 }1 U% C7 `6 ^3 h6 a; D+ v
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    % i# A7 Q" X% _' [1 _: \: P+ l1 ~* j. C9 b( k
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    % U, c! C( B* R6 y
    / R/ e+ {2 N- x* n7 Q兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    2 e" b- R. \$ r! }% _
    % d, w9 T! j+ z9 a- D7 g( b在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    ; ]: |% p. Y( M# n. g6 r2 a
    " s! f" t: W9 S还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?
    4 Z- W+ u; D2 s0 d* z' Q$ A1 p) w4 z4 g
    2 V; l6 n. u! g; r. z% Q0 ?! M-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------: D2 M, h. E; Y

    ) N+ o, Z: T/ P# T+ L4 S一个小心翼翼的Java例子:8 l! }# Z% Y7 U
    : m4 c- I) L6 H
    int josephus(int n, int k) {
    % n4 u# Q$ }. c# o        return josephus(n, k, 1);
    8 x4 l+ B" y) L$ m+ N( M1 V; k  }; X, i: M5 E- k. `( X" o
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {8 y* U7 O) A1 ^0 `& v; m  _
          if(n == 1)
    ; C  [# I, c; w) X) }5 [          return 1;% h7 U5 K  J  F. G) q) d7 W
          int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;0 d2 K6 @( A/ `1 @/ S( H0 z
    2 m4 Q% e& q5 L0 p1 [
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);; e) x4 W  g* E% F" \- Q( A
          if (survivor < newSp) {
    + S# Y& w' |# ^& D) V          return survivor;
    6 z! X( e( m0 |4 T( j9 [4 C      } else
    - c& \; t8 \3 p1 `          return survivor + 1;
    2 C9 X& L" |7 g2 @8 o  }3 c! J1 P2 L2 T1 J# A

    * f2 W2 I$ l: k  c/ v! \2 `另外有个更简洁的例子
    6 u% o0 e  i$ c: ^6 m9 U  def josephus(n, k):  }3 y+ M8 L' m$ a: K4 M& G4 R3 E  a
        if n ==1:% L1 b0 p3 E( c( n) O% r: M" O5 ]8 b+ p
          return 16 L( c% p% h; I1 u
        else:
    , }% s$ |* i1 N) U4 ?      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    & P6 `9 L9 C# f! B0 Y. u/ T+ @! P% `
    ( \: C3 |) h) Q5 B6 C(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    , D& _, ^" k0 ~9 g3 _
      L7 G; [' x4 ^! [) s以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution/ F8 O0 c$ x; J3 }8 w4 R% t

    0 o) _! u" u- @6 p# |- P7 C/ r5 b/ n
    关于n的分析:3 s3 J# U' O$ R: w
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。
    $ B0 W. ^, d+ ?7 \5 d7 W8 p0 q如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:1 o# F, \7 K. \4 l
    & u( {; Z  ?, ~! w( L, H
    f(2n)=2f(n)-1
    ! D) \) w: s, o* b如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    ( ?7 d/ ]* h7 ^) V
    3 V  v8 \7 h5 d5 s. g( ]  }f(2n+1)=2f(n)+1
    7 ^  G- F' I8 G/ b4 y' T0 G$ x: ?8 a7 r
    $ h) k5 a7 X, {. Q
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    6 \, F- \6 [, h0 ]( `/ C& y! @: K8 X8 M2 U% E
    n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
    1 p- V  I$ q! ?" n) ?' bf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    9 U$ M$ ^! b  M6 t+ P9 i: a5 `, ~4 l6 L# \: E: b1 n5 v" g: a4 u( x
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。( Y, f1 g. Y$ K$ G1 Y5 J

    ) A2 e6 q$ Q/ w# p" Z7 |定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。# w( D( H' H9 V( x

    ; i  V& P2 y( b, [4 G+ i5 u) M( q/ _
    3 v& `5 H' l8 }, r答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02 $ ]* E7 d& G  B. U
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    3 y. I! a8 @2 a! {' X! _- E' {- F' {4 B0 G6 {8 `
    在 ...

    5 [% G5 c/ P, a- O" ~我的推法就是这个:
    7 l2 ]2 l! i& W. u
    8 [9 X/ H6 u' B6 Z) G7 I  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    0 V: E+ U0 [$ U! f* @
    * l6 r: I7 ]7 F, e+ P1 A- U3 q我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。  W& h$ ^" Y8 R; s! s, _

    . U! J' U$ u" B/ t2 T2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    奋斗
    昨天 12:07
  • 签到天数: 1359 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    13 小时前
  • 签到天数: 2303 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂
    ( r) @( C6 \" c! u0 z# M+ [2 X不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40 6 p1 j  f! {2 `
    看不懂) [$ P& H( q  m+ L) Z( k; O
    不过今天不幸运数是17
    " t; O0 c) B: s; h' q
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。3 Q) _! s  ?3 b; i' U( n

    9 b7 q5 o  B* @9 U* k# W5 Z以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    8 T1 l( U( H5 i( `7 f0 I; D/ V& h, {
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2026-6-27 23:17 , Processed in 0.072416 second(s), 23 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表