TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
w( F( j c7 ~/ C$ G( {2 P看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
+ I/ A, j8 s! D7 s) W
9 Q f! N; ^0 _4 w' L他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
* n& _% _( F8 U* `' b5 h |( A! W4 R- {2 j
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
6 ?$ G; h( r* Q; m1 Q8 O+ h: Q J) v6 k0 ]
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.( ^9 p1 Z& y' f- ?6 }/ p3 K
5 O% N6 g4 U; F5 e3 o+ v
幸运数的定义
' o1 |/ b" I) bFORMULA " g. |* l$ U( v P" P6 X% c
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
; {0 c i; k9 R
& f, D+ }, q" {" q0 {具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
( E- J/ B( O9 n$ z+ K X; b8 A3 Q& v0 _# L4 B5 U
初始,从1开始的自然数列:
, y- s5 a9 H# O& @4 D/ TBegin with a list of integers starting with 1: x: x% ^1 Q+ B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
( R) g0 q9 t: A% B; B8 V; r
, L8 k8 b8 ^6 w% {+ U" W2 E4 J开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
0 k+ S% H/ w E& U2 q剩下的数列如下:
$ v" H5 h2 d) Y5 T1 [3 fEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
2 X' W) i9 D/ [. l4 K9 o l1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
* a2 n; L" X0 k2 ^5 ? x. B! R& ^% o! o4 D
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下: k8 `& ?. u H# F% @4 \# k1 H' t; q* k
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
5 Y! u" S$ \3 n8 b3 j4 z1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……3 @$ g0 s# v5 o& r$ ~
4 x, j7 n7 C, m
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
$ e$ R- o8 F* U/ c* h' CThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:$ i* W! _! g# j3 n e# w
1 3 7 9 13 15 21 25 ……+ p9 v( F9 ]8 E. S1 C
; q" Y: M6 |. s! F( C接下来是9,……
& n8 T0 p( d3 @这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
% m: N- `3 K% ?: h# s; m
* H9 F; G P5 e6 {3 j9 d1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
( [* u1 b+ U, B在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
, U. x1 |1 u+ |* q: m: _上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
, \( m1 Z8 P T* l% s1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……1 j w" N. Q( B- ]9 Q: y
. t7 v3 b; E9 l
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?* G2 {) C7 ?' I
v4 n& ?; h/ r% _
5 ]0 _( @, m, M) X- V ]7 D: p$ h1 S0 m2 {5 }2 X9 A' F
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。0 P. {9 Y: s( S0 d/ u
' G- ^4 W v3 w3 u8 F
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
: z) `: C2 u& x# m* u. \5 k& \4 I6 F幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。9 u6 P4 c7 Q( \1 ~+ O" n1 v
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。5 z6 o* z3 B: v. W. r$ e0 ^8 Q/ @
' G, k/ j. m/ E; o
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?' E1 c9 q5 f2 r V6 ~$ h
( z+ x% h3 n3 g! y `* }**什么叫做Conjecture?8 H0 m/ j( n3 \- t: l2 d
**约瑟夫斯问题。 |
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