TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
6 V1 @/ `- I2 F) o# J看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”6 F- T. l/ ^# v1 {: P9 r! J
% T7 m* g& Z* e M) L
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
% {7 g* @, E/ y* v* d3 z! \5 t0 w' q+ b; ^* V! I+ i y
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
; X% V! y) w. b7 O% V
9 T$ j- Q) C s+ j/ K' S7 `! KIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.( r- W% ~( _7 ^' _9 _9 g
% V$ O3 d2 r/ O* ?幸运数的定义- p4 s8 q+ R- p
FORMULA 1 ]' w& R* P ?( S4 X7 D* {
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc. W/ a0 S m$ e5 p1 g }+ o
, p `$ [- b. r7 X具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
' A: A" n: Y1 m/ H+ @* x j- J* S1 c. b4 q* d
初始,从1开始的自然数列:/ f) H; }3 i! X. L# \& V$ @
Begin with a list of integers starting with 1:. K6 |9 L. q p& A5 N$ J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……& y/ M, X/ C, [$ p
% S5 m' I; e9 m. y& {开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~7 E0 h2 `- D7 a. h% T% M2 Y
剩下的数列如下:
4 c2 c1 Y- o/ [Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
7 V+ v/ [6 s$ i$ v9 z. A1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……5 v7 i6 b, s+ |5 g8 d! A
( v- [8 [3 v( Y/ N# l1 O
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
( C6 p n0 o9 W9 B4 A1 u; m" xThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:2 s) R# G8 ~& Y* _! ~7 p
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
. P$ t- |. t- E* i7 T# O. o& X- L& }4 O% a4 V* o, i: w" T0 p
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:/ m; z7 K; }% C0 O2 c% m K# j
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
6 P( C+ K+ D% O# P5 v, `1 3 7 9 13 15 21 25 ……! k* _' G0 o4 C3 r9 W
( [" O( S9 Z: X- v7 L接下来是9,……2 x3 q. ^: |. r" A8 Y, m6 A, k
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。1 Q( z {' k8 X, E
) @/ k) t; C% L
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
1 A' w4 E/ g, F& S在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
9 I/ f8 }9 c( J; g( ?* {* }0 G上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
" g/ N. N' h) c) k* B1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……! a: D* o, }" s; G/ j% u
' n/ O# ]8 i0 C; ^% S4 m( Z/ K5 |4 j有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
/ C6 R# h( B7 W9 C
8 K5 {8 U3 G0 G: L: E, S% V- s3 R5 b M) ?9 m0 F
( K2 r! M8 L) \7 Z- p7 f第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
7 i1 S8 ^2 o+ u2 e1 r- @
& }0 S! w) J3 ~8 d; J' i数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
+ _: j9 R- S9 w, p3 Q) p$ z' J幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
2 \9 S( S, g6 Y, D: y; i" X另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。; l7 K1 D- u; d) }# f+ \
" d7 ~+ x7 h; E+ o4 j$ Q
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
' V' u& T8 N4 |" v: T5 u+ W3 \ u* g4 i" O8 q7 J3 D
**什么叫做Conjecture?8 {1 L$ o7 ?+ s
**约瑟夫斯问题。 |
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