小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
* i  r5 l; P- S3 f# ^: L- Q
0 P/ _1 j1 e" y" o他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
4 R+ ~- U: y0 T/ a- E/ _5 ^
8 L" h$ T# F- e3 h6 K7 S所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
: N- m; Q+ `9 i  Q- @
幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
: i. @9 Z$ ]4 J% s3 c: ~* M) H
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
; B) O9 o6 O& q1 k% e; H! l
3 Y9 Q0 c, v! N+ u% W初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
4 Z: |# r' q0 Y剩下的数列如下：
$ ^! s' ~( r( P6 WEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
3 f5 }$ P1 y0 V1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
6 v# b$ J* v4 c1 @/ ~1 Z& [
4 h0 W% L5 e2 j% m接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
: H- C- V9 ~5 R& D, i
1 l$ ]/ B5 U4 G+ t. b现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
/ I. [. a, V" u! L& k$ KThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
* b% F" a, K2 x7 }- l! z1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
( |; Z6 _. n  K. _; L8 K这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

  x2 g  N. l* [* T0 _% p1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
# Y$ |: C3 J- j4 u上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
, [; L- k0 @8 Z1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

0 l; x6 f8 l/ ~) g! N有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
7 J9 V. c. K' s) _# O4 L+ E  G, b
6 f3 y3 P8 j4 k( c

第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
, d8 d0 J# A: s
) t2 P. `; H) I- X, k数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
( K0 ~. |) y4 X3 j" M
暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
. F$ J2 R: I# w7 o8 }/ F; ~
- a3 U2 J2 `/ Q3 p: S猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
  P0 ]( r* Z1 B: w/ K6 `) q
! _; m1 ~+ G# s0 e) u当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
% i+ e5 x8 e; J+ n; w- p
+ d2 H% P# D8 c1 j+ X假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

' I- ?+ \1 q; V7 d1 C4 o7 y- |. c**约瑟夫斯问题    都教授

" J9 N( W- L  [. \我们来聊聊约瑟夫斯问题。
, y5 r. p$ e9 B1 [0 ]7 j
+ H9 |' ^7 T: r5 y2 h! I. `有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
& k1 s* _' a' d$ x8 h) g8 N1 t! L' d0 Z
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
9 A) `+ c+ `# F# Y

---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
# _) b1 g9 ^; P! F, I据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
3 D! G- q) O- y( C% C
---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

; j0 K5 ]2 k$ l) U我们来聊聊约瑟夫斯问题。

$ I% s" a& c5 ^' N+ ?7 ^: o% d1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
+ h& O1 U$ N1 M0 o& ?2 R6 a
6 H" H5 G/ f! N2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
4 `) G5 e) {5 R. Q1 ]) \/ G* Bn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

, H7 Q1 u- D4 _
我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

( y, I2 D2 [- {1 b) Y4 J

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
! }& M5 l( D4 z# j; B
7 Y1 Y- f9 {0 J% B+ S2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

3 ?4 l' f1 J2 t' f/ _0 x3 o+ W% Q) C
3 ^) M# o0 N. L  C兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
% G& ^; ~. v' G2 j# T+ s/ s, t
在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
# J9 n, R4 @& O! K. ?
还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

一个小心翼翼的Java例子：

/ `4 R4 j$ s! m5 u- _5 P9 \ int josephus(int n, int k) {
3 g4 Y. e/ q* f7 j- b; t        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
- V. ?- N% F. ?7 f' C& g          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
$ G1 {6 f# J7 o0 T, ]/ s9 u/ v
      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
: f  s5 c0 f2 a( L      } else
3 g$ a) i5 R2 c' ?/ G- T" Z/ y          return survivor + 1;
6 C- z4 K! A! g$ i  }
, W, `6 v) R  d9 T, q$ g( P, C
另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

/ q; Z- q# Y5 q% ~8 n) f（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

! a! o% i1 C* u& q- [  y+ R1 p; h4 u. k
关于n的分析：
9 [. J- R- A  r! h设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
0 Q5 C+ C" R- g% x( ~. f9 r如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n)=2f(n)-1
. |/ ^6 n$ u/ j9 r, a" b4 D% t如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

1 c# u0 l# m: j$ jf(2n+1)=2f(n)+1

8 ]; C" x: I! z: b. U' ]
8 T1 l2 A$ L, w1 M. z# q如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
$ O; I. ?5 a6 k" i
$ y6 h/ q1 i0 R2 `n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
2 U/ p: e3 d) M, Tf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
6 c& X2 ~$ M/ @6 O& E
从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
# c9 v. a% }. i
定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。

# t& S4 F7 \, S9 k: o
答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
* Q$ P0 v# D1 r4 u兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

8 ^8 @1 w' w. p% ?5 h( W6 @在 ...

我的推法就是这个：
9 @7 F5 U) j/ B* j4 }2 n8 F: X
+ A8 Z. ^, c, m" q  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
: p# r- e" u3 D- V- m/ P0 r- k
& s8 L  L7 S2 Z/ T: ?我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
& `' V; ?2 r& n3 L5 f9 E
& t1 n9 P" l" Z2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
" ^* i7 Q( M, c+ B看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
9 i: E1 e$ m+ Z- s2 w
以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

7 H6 Y1 @8 b9 d  e7 A/ C13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。