小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
/ W8 `* B) J- z4 E看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
, \/ k6 d9 x3 A: P
他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
5 K3 ^7 ?0 ~% Z* A$ N( J
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
! ~( l. R. y0 @$ U( H+ e& J
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

幸运数的定义
$ u$ y; A  S: K# X- YFORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
6 R3 Q# t. x# X1 W6 N( p8 P1 e$ k
6 @1 F7 D' j/ T7 @7 C& T具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
4 a) M" j$ Q$ x3 [5 M" l1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

  K8 m2 ^1 b/ A7 \' Z# M7 e接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
/ [, c. {0 A7 P: [1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
* J+ u( }0 @. D8 V1 e9 b4 K. R
现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
. y. E; J6 I; n4 p* u  T/ m* v# PThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
$ {# k. |1 T' n$ s7 |5 a这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
5 w: e: Q! l9 S( c" C上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
& r4 i6 Q; a" ~+ \
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
* Q. a0 E2 r4 q% B


第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
5 ^: x$ h$ u8 U0 }- i1 R
& o  H+ v1 ?) b& p: b8 h数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
% i0 }: W; u  b' ]
暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
8 r: ^2 p" m8 _
**什么叫做Conjecture？
  \, Z1 ^% p5 ?  T/ r; {! D7 x$ I, Y**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
0 f, v6 f4 u: b+ }
; l- v0 ]0 j; t+ p' h, ]7 D) o# G9 ^当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

7 i" M3 @3 Q) y) ?8 _7 i% g* {) o猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

* ]6 }) Q8 _* X; {, t假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
" ?- |( P' v* y( N
有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

* K4 H$ \0 W$ y* n- Y  x2 i
1 Z  h9 u4 R( z4 p$ m5 L**约瑟夫斯问题    都教授
5 S! W  _7 H! Z+ H* ^: M
2 h( p9 s6 }6 n我们来聊聊约瑟夫斯问题。

5 l3 F+ |2 W9 |0 @0 O有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

# S& d+ E- y5 n$ X! ?# Q/ `问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

4 ^! D0 y7 C: ]+ T
0 W4 D! C% u+ x, D% L" V/ Q( P" Y. W$ s---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
3 |: R0 ?1 W( @, n6 t据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
: W  Q/ W6 W3 Z' `; K( I4 g
---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
( s8 v4 m7 j% ^" I. o( ^8 I这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
1 T5 V  n) D$ s" m) n+ O
我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
  F3 Y8 H2 L8 g0 S2 D$ g$ Q
& S& I  l& D  q7 N  S' f2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
( q+ \* [  K0 u; C9 o如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
/ H  @& u6 Q" H% \* U

" ~( n8 X5 P, p+ M; k7 H. c我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

, s. o6 O3 G& e3 w. m' b# I6 Q$ y

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
9 S5 x% u8 Q8 }$ e  N+ H& N/ b1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
+ V' z2 v$ E% I
: H: J6 H9 z2 D! F" g0 |2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

  K; J. l" \: g! S  \兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
7 L' n- ?4 _' u3 f# P
  m. ^4 n0 }4 M9 R/ o在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
  N1 A' b" P" D4 |( b  }6 o
3 `. M  s" H1 r还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
3 E; Z1 I; y* m) e0 u
9 M) v8 k8 u2 [, ~0 T; n3 e4 b/ v-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
! v6 l* n" i% V( T. U, \  }
6 B5 g$ V) C- m4 T5 L, ]4 S* G+ b  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
9 j. i, O( p$ [2 A5 ^$ t          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

7 r. @, ~& P" E      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
$ s7 R+ M  o1 C, f* c6 o1 w      } else
          return survivor + 1;
  }

另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
" g6 |8 j) z: J+ N( i    if n ==1:
9 b! b4 c! p' f: {3 O      return 1
! r0 U  w; Z8 r5 o) ?    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
4 n3 K, t& j! W3 `! z* X
6 o( t3 f2 I) g9 O; @（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

9 M6 r* w, _0 |8 E0 u8 C  Nf(2n)=2f(n)-1
5 ^5 j' b& v  y( c, Q; F- J1 V如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

' S& h. Y/ n* m) k* k# A8 uf(2n+1)=2f(n)+1


+ U7 E  ^2 {: e9 [- o( M如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
" l: D5 o" Y/ c: x1 A. c% x5 \
% K: ]2 Y9 b/ z4 Cn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
) o+ ]# q# G+ Y4 s4 B
+ E' P3 y" a7 @8 ^6 W从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。

* {; r4 M9 B( U5 }! M+ t3 g
3 P& s' Z) D5 T& m8 |) _7 E答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
+ h! ]' i: [+ z% I- ~# P
5 g6 [6 ?5 R, s$ e' m在 ...

我的推法就是这个：
1 z# R9 F- B/ o+ f+ [
5 e$ z3 d& j6 ?) z$ N1 t  }  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

! n2 Z* x8 I3 r% I2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
. G$ K! v9 U: r) Y6 O0 ]6 f不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
3 ]4 f' |. }$ K) ~) }( |看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
2 h: v. Z4 E! ]4 ^9 J
13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。