TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼. [8 i G4 v' l) Y
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”1 {5 ^0 w1 _3 r: A$ N
4 M4 ?1 M5 |$ @+ k他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。" C5 E4 Y* s' g. k7 u
) ~1 i K3 e8 \所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。6 u' D& D7 y! M2 d/ l* S3 t7 H
, }' u9 o( [5 h1 I
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
" r+ J" e5 G) J# V, C4 k# R) u5 E" Z% }$ b/ h0 i
幸运数的定义/ o1 c6 q$ N8 T& n2 R
FORMULA
2 ~( y3 ^( H' t% YStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
0 f4 Q4 W; [" Z, c+ K, ^% F* E. o. r/ ^3 v
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)! c* i$ }8 K S9 p
* n% t5 K! b4 g/ N, D
初始,从1开始的自然数列:
- v1 j7 O* A: e i; i2 f+ [* cBegin with a list of integers starting with 1:6 U' K( D& }- y$ t9 ?) t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……/ s% D, n9 k7 X( u
0 z! R) a( r2 q, Z7 K* }$ Y2 [
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~4 Z: ^) F4 N& M8 b+ X+ I9 }, p- g
剩下的数列如下:
S' I n, B1 n& oEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:! @6 `& l" f a) Q
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……9 ^* I% C$ M0 @9 C) W
' `7 ~6 }: N: |1 e, W' D( h7 b
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:" H- I/ x* y1 z" t' v0 ~
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:( o0 T! `7 H( a& g
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……( Z M+ t/ S" ^+ D1 R& |
% c' M* F9 `7 ]8 Y现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:% h; r- N/ h) i% ^. z* P
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
3 A& R# ?, F% L9 t }) J* P8 m1 3 7 9 13 15 21 25 ……
( c, d$ s7 R) ]9 Y X
* E1 W4 z8 H: o' F8 P) _接下来是9,……9 p8 ~3 |+ V1 x z0 }+ ]7 t
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。9 D7 b0 b% h \; E8 Y5 Y* T
3 d1 j. t: L2 S6 Z) W4 G$ C% Q
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
) J6 E$ k5 X' T0 B8 |/ ^# G在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers8 y# j- q- o; P$ w9 y. O
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:) `' } U1 B# t: c+ L5 I( w; Z
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
! Q8 z" G3 B" Y [. Z: J" X7 T, e* V
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?" X9 [7 ~9 @; A1 o
( E$ K1 _- w% ?
: }) u/ l# V0 g7 ~
: m( V% L9 d/ u( z6 }+ u( X第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
7 T1 l. ]6 c) X( z+ @0 R8 s7 ?9 [/ G* v) t( m2 {( o; ^
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。6 i/ j: q: [7 h; O1 W B
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。" T9 i9 I l4 I, J! Q+ F/ Q ~: O
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。 z8 j3 Q3 I, x
7 s% X) d+ ]5 p4 J- y
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
' ?3 b* a0 J0 _& J! `
' \- `2 z' S3 b; \$ d0 C% n3 e5 F**什么叫做Conjecture?
4 v3 o) ?& h6 z( l! W8 Y**约瑟夫斯问题。 |
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