TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
. O$ l) e* L; q' u9 _看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”' x' K( j4 s% T# Q
$ ~! i% H9 v7 F- t" }
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。" K% V! E% b5 `# G4 ^% [
' a& b5 O( V5 y所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。. F' @0 B2 g" Y0 p
4 v; p3 F# d( N4 R
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.' p- C" Z5 j" K2 {1 L6 W* a# U
, j/ b: x d9 f: S幸运数的定义 f; g! m( U8 h; [6 c& @9 B
FORMULA 4 A6 r/ W8 W- w; q, X
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
3 c$ ?( _7 N ~) q8 l7 Y
2 S, Q8 i- G" M2 F a2 c8 G% V& t: w具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
; l: s f1 e: h; H7 J
7 _' I. i& a, v1 e5 w: ^3 q( G初始,从1开始的自然数列:
' o" J6 ]( C! w3 w6 mBegin with a list of integers starting with 1:( @6 W0 t4 C" K* Z& R2 V+ h
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
% D) T% w+ \5 }+ J/ o$ X" p A. b9 r' }! s6 L
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
* l6 h5 c$ s$ O1 q+ N8 j0 x Y剩下的数列如下:
" ]+ D0 \, ^7 b+ `1 j: _1 N7 EEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:9 T6 g; t. T% x5 x& a
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……6 Q6 Q: X. y# m0 k" j
V7 X- y% b" g" q2 ~
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:
7 a. I5 H/ v+ t" WThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
5 V/ c2 X+ V* B0 c" K; H% d1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
! _; C5 a; k6 h5 }" i. f, Y3 Z3 r* H) Z( D3 P; L2 |, ?& t
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
9 v! @+ ~/ A6 yThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:1 \3 L+ H- D5 s( r0 @0 O
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
/ x1 e Y7 P3 L+ [+ l. B1 c8 c
! `( S `3 l. S& v5 ?接下来是9,……
) {5 T1 D5 j9 U, U4 }2 X这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。5 X; c( b; o) |4 ~' ]+ p9 {
4 A* i% W& ~5 O, M+ O+ w6 e6 f/ Z" i1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).3 o$ }- K) z7 S4 e
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
& o% o; o# F: Q2 f: `9 r6 B上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:3 i! d& o( g( ?. _8 c* V) [7 T
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……/ v, X0 f2 f1 Y( Q
) E/ i0 ~6 s; p0 S) O
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
) ?- h+ L7 u' F* Z( H$ r1 w' V6 c$ d- E
' C% z* q3 H: j9 v+ t v
5 I# J6 p% c* o第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。, y/ L- n& U( M$ C/ {, C
0 y \! R- T3 O) Z1 W数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
, F) t& Y0 |) ?, O' s/ z幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。8 e, B9 W8 R8 m$ c* l) R
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
, q8 N9 @4 `. u5 |$ q) Y/ n8 ^4 j4 N+ `" ]4 j% L: o( y
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
: H' w0 P/ o# [- T/ d. {" h" R2 p! u& h) \
% S g8 v! u3 _9 I: l**什么叫做Conjecture?+ N2 M0 c3 z( C3 N
**约瑟夫斯问题。 |
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