小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
3 X0 H3 e  d, O
9 D$ G7 N  K/ D: k/ {6 Y# i他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
  A! v3 J. R& E; M8 D  \3 }
7 X' ~2 M) f1 B所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
) K0 p) c0 p# o4 f7 N( R; c: \
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
3 |- F; f# Z9 M" N
. K/ {/ W. {$ }7 h幸运数的定义
FORMULA       
4 z( c, V0 R2 F) Y3 H2 A# vStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
2 \9 |# g5 L3 s; {* s8 r1 Y* ~
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
) B" w$ J# r6 V% ~9 O剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
/ {6 B- p6 Z* ?! d0 |! F  [1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
7 n* x  S3 U5 W% a) ~& g2 x
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
; |% }% T1 H' q7 s( N4 z6 e3 ]7 {The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
. k6 E: F/ a  J$ |2 x- g0 I1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
) K3 ?; Y! F) t0 f
现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
- J( C3 T' _  P/ {8 ?
5 v+ d& c- |4 t! j接下来是9，……
6 K+ d4 z0 \: H, u' `* i+ M: n这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
  |9 x: Z7 l' W. m  Z
2 m" E& D. Z9 l' V2 v" O  s1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
+ {  e# p! B/ F1 C: o4 X在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
9 y- I8 e! U* |( o6 }2 p4 A) K' g( ?: m1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？

$ I, ~! @1 O8 X3 M. m8 I

第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
8 X$ X- q5 v" |, d1 b1 `$ s" ]0 G7 @
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
4 h) \4 v0 K5 R; L2 M幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
" {/ H" ~' E% \& z( H/ w3 b+ G另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

9 ?2 S1 B) U3 _  J( v% j1 @' c- Q' ]0 V暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
+ e* c- z3 f; W# i0 @
**什么叫做Conjecture？
9 P5 F9 ^5 v& O( d: s- q4 r8 p# |. r* u**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
! K. D! [( n+ b/ K' q
5 O3 ^# }' `: X# ]# a: c猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
# h* x( m+ e; I9 U# w
+ \4 P2 }0 |' `/ y$ J1 e当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
4 _/ f' l4 P7 e
  V' x* h, O4 `: J  Q7 b猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
5 H! q" p, s1 |0 a- j
/ B; A0 @9 \5 u0 q4 K5 v假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

/ F. e- s+ _4 E$ ^**约瑟夫斯问题    都教授
8 V' f9 a) a4 {, d) S
: L" D2 P5 Z1 Z0 f# b; T3 T我们来聊聊约瑟夫斯问题。
( h! m/ z2 F8 q0 r/ m  `
" r5 Q( I1 e; q# Z有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

4 z4 s$ l" v  q" r1 ?问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
* ]8 X$ j- c2 N
: R: B; r) N1 p  Z) u! Z
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
5 C% M4 ]0 m) b6 \; ]+ w: C据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

; W; b' p+ f) t" g6 ]$ q) C---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

5 e6 ~) n4 i! Q0 q1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
0 i7 v8 N( ~/ e
! i- f% {- g- {/ t: I推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
* D: M# ^: Q. ~7 b1 E8 un＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。


我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

! O( E, X5 m/ E$ a7 P; z

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
6 S( u5 G. P) R
* u# b& C+ A6 Z2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

, K5 s: f) Z2 l/ Q* @) f+ @; ]兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
& @+ |+ _/ y- w+ r& w5 m3 Z
在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
! H% `  K! x$ u- b( z& C
一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
. M! Y( F: q# A( F& j! P        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
6 x3 g: h/ o6 }, ]8 E7 [          return 1;
  m) G! `' V9 P      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
% _- S- B; d( O( O. W
      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
& r9 k# s7 E, l3 }7 l3 q      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
      } else
) }8 a/ W3 i2 S* Q5 K5 u          return survivor + 1;
% V+ F% [+ d9 l' J. q  ^) I  }

3 J' m; N- q- Q! z" g9 d另外有个更简洁的例子
' F. }- ]! E5 ]- T, C$ {  def josephus(n, k):
. v% b, C- k3 f* z3 D' w  r) e    if n ==1:
      return 1
3 K. q. I2 x: q' F    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
+ M: w$ p! x- V/ ~  ?
! _: b/ n# k" |) e1 B
关于n的分析：
" H* b) \: x- l  c: @设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n)=2f(n)-1
, v& d4 j2 e3 w9 N' o8 j5 B. K+ ]如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n+1)=2f(n)+1
' i6 P' x2 Z3 T/ v4 _
: y6 P5 A9 T0 z8 l
如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
  G0 G) ~$ n& @
# |/ @" Z9 ~4 O/ Q& X/ in    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

9 q( L2 x1 H2 t7 U* U( Y从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
" k- D" h( u7 C9 z: X5 A
: m2 V2 E  m* U# I& Q) K/ L4 r2 M定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。


答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
! x4 j# q, ~( [- Z/ t) S兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

$ P5 C1 a7 n2 N% d: D; H( W在 ...

3 A' W1 R3 H, {+ b7 N7 b7 D( y4 w我的推法就是这个：
" i4 R& O. v7 o* ?0 H/ r5 _- S
  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
$ y9 f' n) z- F/ c1 T! F8 @- h
& s' N4 o: c- K- \我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
4 x) v# H- D$ C2 o7 X+ j3 h' k$ G4 }不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
* g4 v. w. b: V, N. m" U不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
- n/ e# ^# _- V
以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
: r- i0 [: K; x
$ \, o$ A, Q9 @13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。