TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
---|
签到天数: 134 天 [LV.7]分神
|
上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼! ~( l( v u% J) e) o# K
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”' M9 k% @! ?$ y
5 X. J) d, S7 j6 a- S他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
9 z5 U; M, z' [& z$ U5 w) k, R6 H8 N& u& x2 q7 \! `1 a% y( f
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。: L( G9 Y: T' R, c- Y
5 p e4 R' x- q0 `( ?" CIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.7 J: ?" }9 k3 @) B, q
; }: m+ C! ], ?
幸运数的定义
9 h! I' H: Y+ T* }- C8 @FORMULA 4 e, t; A- s4 V: S
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
) ^3 T, f( U8 q4 G
7 @* i% `6 z" W2 H& r# @5 ?1 ?具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
1 h7 P& O" F5 _, j+ u
2 G: I/ {0 D6 v% A( L# G7 W( K初始,从1开始的自然数列:
. G1 H4 X0 t; i" B- |Begin with a list of integers starting with 1:
$ c3 I6 ~1 L3 J! X1 H; W1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……/ L' \ w9 z- b4 z2 O
, y/ _6 A" N& F! m: Q7 G5 S
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
2 T2 r( f' W3 K: K剩下的数列如下:2 e( ^& Z5 \( w
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:! A# n; k/ ?5 X9 v
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
+ @5 r- F! L3 a! k- r0 B7 v* l- b9 ~4 O& y& b4 O
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:: B8 i3 k. w: X) A/ g; e& `
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:( Z( S3 r" Z3 V& k6 P- I: Q' G
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
: o3 _2 [' Z0 ]
) `: p0 U5 l7 P% R现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:: p0 W' \; X0 @
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:, y' q4 l y% b! ?6 }$ R5 k! U" ^
1 3 7 9 13 15 21 25 ……# J4 r" ?: U; Y& o6 c
7 K C3 e, G; o* x- j
接下来是9,……8 R+ y' H/ _% [0 [
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。2 m3 E6 N* M+ {" ?
) U3 u% i* }: a4 n$ {* k5 V: g1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
/ [% f" D5 A! D; l! S% I3 v在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
5 J) e m1 U7 a3 K5 e% V5 ]( m上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:' q7 D! F/ r- y- X. t8 w* ?7 A
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……8 b# X6 V; Z! x5 b+ H, B$ l, r
5 J- N4 |3 ]% Q5 W* h3 k( V$ o
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
& J2 A* l6 J* M& h3 _0 X3 F% h8 g5 X$ D$ ?/ f7 u
1 f" p$ B5 a, ~; b; |
8 s0 K- `- s8 A8 t- M: q第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
) |7 U5 ]4 l0 M3 O5 p2 r
1 s8 j( x& m" @- u! ]+ ]5 a数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。6 P2 @. H5 q8 K- Y7 r5 p9 r. h% I/ E" w
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
; ]1 @4 N. N$ }" A4 B另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
* N, |5 j* m% e! S Z( ~' Z& j$ I" s8 b9 w) D5 `
暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?" _/ s* O, ^# W
$ U! k: S" e# ?. |6 H9 q
**什么叫做Conjecture?
' U% j" n( ^/ L- O2 ]8 q**约瑟夫斯问题。 |
评分
-
查看全部评分
|