TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼7 _" p- x% c6 n4 B n3 b0 C
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”! j- G6 n8 h$ G8 K
' \' G6 q2 }2 @+ h) n9 ]4 F
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
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; R4 c( {, ^$ q' t; q0 ~; R所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
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/ P+ m# [' G# O" l# r. d3 v; D# wIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
. h0 Q$ m8 U2 M! I6 o: c9 N, d; T% K7 ?- r, w! @: t& x
幸运数的定义
0 m" z8 n3 C) S' P4 v* h3 S9 bFORMULA
, Q! B1 J9 ~% C' C+ K. QStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
% j/ e& Y2 a& [7 {7 y1 D6 c1 _/ K
4 s* s3 Y0 p+ U; T2 n2 a2 k( O/ E具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)
+ U0 \/ m G. E7 D
% n2 V/ W6 l3 S$ h初始,从1开始的自然数列:
9 x, q* v# r3 G9 U3 s- d$ SBegin with a list of integers starting with 1:
9 Y ?. g. f x& \1 o1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……
. Z$ j! b2 R* s) c+ ^( M
[( B; ?* _3 B7 S4 k开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
1 b2 }0 d# |) K0 e+ ]2 l4 t剩下的数列如下:
6 ?" o* d' w1 \1 m, _0 z- EEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:- z+ {) R! I1 {: ]. M2 ?8 h0 I
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
5 ~- X z+ {7 T/ |3 p
! C1 Q9 Y: ^8 D接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:, D( n% z' }" O7 g! R8 F/ W% T y8 y0 [; }
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:# Z0 e% u2 `: j- ~' w
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……3 o4 o9 L( c( I
, j- d5 ^5 `' `
现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
X2 C9 Z& f) X& `The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
5 x S$ F9 C. ^3 u9 b1 3 7 9 13 15 21 25 ……9 s3 r, ]! n7 m
) [* u- @4 P; a% S- g8 w' N! m接下来是9,……4 h+ w3 ]. n* L4 s
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
( o0 z2 f% W* Q' k% Z, H$ t+ f3 j* r, }
9 o( E* l; Q- @1 G6 [1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).+ r3 A: h% }6 }( z7 u
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers& d0 l1 W: J5 Q8 z/ b
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
7 L" z+ e: l$ w* t$ k1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……5 S( F% J+ j) f3 A! {9 o" x
/ E6 B( u6 t: h! a, C9 D8 E
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
( b. ?5 [/ c/ C, M1 ]0 c; A& d! t" h# A* J4 K! _4 h7 H9 ?* {4 h
, r/ z7 F4 S' L: e, A! _6 F9 X4 b2 L" u2 j
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
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7 @1 e4 T2 V# z+ [5 d数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
4 {& t7 e% |' a; i6 O# ~% V4 V幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。' S! b# E$ T3 N* t8 X# v
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
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$ Q; {$ `! V( y4 ~4 C" p" ~暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
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**什么叫做Conjecture?, p5 m6 l6 T6 u
**约瑟夫斯问题。 |
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