小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
2 p9 `& t! p$ _. K9 ^) m
; R4 c( {, ^$ q' t; q0 ~; R所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
7 f  l& E& Q! i
/ P+ m# [' G# O" l# r. d3 v; D# wIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
. h0 Q$ m8 U2 M! I6 o: c
幸运数的定义
0 m" z8 n3 C) S' P4 v* h3 S9 bFORMULA       
, Q! B1 J9 ~% C' C+ K. QStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
% j/ e& Y2 a& [7 {7 y1 D6 c1 _/ K
4 s* s3 Y0 p+ U; T2 n2 a2 k( O/ E具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
+ U0 \/ m  G. E7 D
% n2 V/ W6 l3 S$ h初始，从1开始的自然数列：
9 x, q* v# r3 G9 U3 s- d$ SBegin with a list of integers starting with 1:
9 Y  ?. g. f  x& \1 o1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
. Z$ j! b2 R* s) c+ ^( M
  [( B; ?* _3 B7 S4 k开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
1 b2 }0 d# |) K0 e+ ]2 l4 t剩下的数列如下：
6 ?" o* d' w1 \1 m, _0 z- EEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
5 ~- X  z+ {7 T/ |3 p
! C1 Q9 Y: ^8 D接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
  X2 C9 Z& f) X& `The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
5 x  S$ F9 C. ^3 u9 b1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

) [* u- @4 P; a% S- g8 w' N! m接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
( o0 z2 f% W* Q' k% Z, H$ t+ f3 j* r, }
9 o( E* l; Q- @1 G6 [1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
7 L" z+ e: l$ w* t$ k1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
( b. ?5 [/ c/ C, M1 ]0 c; A& d

, r/ z7 F4 S' L: e
第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
0 t- ?8 U# U; r/ Y8 I
7 @1 e4 T2 V# z+ [5 d数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
4 {& t7 e% |' a; i6 O# ~% V4 V幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
, m# m3 z3 c7 S, b$ W
$ Q; {$ `! V( y4 ~4 C" p" ~暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
& X+ r5 _; K, r/ j/ t. s# O
**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

  b6 ~5 ~* g2 B4 {猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

2 D/ q0 q+ a  N! S; W7 x5 P假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
- v' m) g, m6 z* A
8 ^+ ]4 {" s8 ^: U有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

* {/ E! A; `# g1 j
**约瑟夫斯问题    都教授
  P3 w% ]4 P6 R+ |/ W- }
# F9 x7 {9 K- [4 b" i9 ~' x9 `我们来聊聊约瑟夫斯问题。
: }' t& Y# A/ T+ E1 {3 x8 d
2 F( m: t. C. ^; h6 t& q2 r有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

  ^$ v! \5 Y# y* m6 [) f- m! f2 B问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？


---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

( L, i# {. r9 @5 a' r. ?3 t5 V$ _---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
1 {  G5 k& I) f4 y" h这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
; x. x' ?3 N; K+ i* t据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

: g7 }# q- Q+ V, Y" B) L我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
! A9 D; D& s  H
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：
2 F& j+ G* ?& v' t% U- S+ D0 h
' {5 x8 n' x/ wn=1，就一号，跑不掉的
+ F0 M7 @! X2 b2 V! nn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
: C- ]9 H, I0 m6 K- R. H( s8 R' z$ F. C
! S, d/ Y9 Y- x6 ]4 N
$ k0 L2 Q) J) b! t我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

6 g. ^9 |& |) B

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
8 n! r7 k, `- J/ s0 O8 X% U
2 A4 v  V/ t' k# G! E8 @  u6 Q* r2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

* S- H. e2 t* G$ |3 o( T' A! ~, g  l
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
5 }8 i8 U' @5 o7 S8 O
还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
. K. A' {1 I2 m7 j3 k6 e1 G
8 o! d6 x$ a( l-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

. w, t& s5 f1 {, `一个小心翼翼的Java例子：
- r2 S# l6 c$ K! q3 L5 v5 q1 b
int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
/ d$ Z& |0 F+ a( F  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
9 P) g. [/ _, [# W) V/ Y      if(n == 1)
          return 1;
* J5 h. {& `2 {7 J  s. C7 W      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
/ D( n+ @4 J0 c% J# q# b, o
5 z- q5 N" K4 [; u! \# F; Z      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
      if (survivor < newSp) {
1 Z+ h- I* t, x1 ]8 P          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
  }
. v. _( S) m( V0 Z
另外有个更简洁的例子
3 }3 Z' r4 l7 y( i. a  def josephus(n, k):
) O: S8 Z) `+ A7 P+ Q    if n ==1:
: F4 U; @5 q) J# t8 m) o4 ~/ Y+ F3 d      return 1
- v, L+ b! H) }' J2 {! W, s- ?, _    else:
, h: k6 J* L$ K3 m      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

8 B- G$ d- ~4 q+ P! r" [（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

( }: o$ d. P  J! k以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
9 i  j- Z) u/ a' U, W  R) \" ~

  J7 z: q* Q  M. V' P* a5 x关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
2 N$ j/ l) T5 L6 \- f5 n: U+ B9 s. V
f(2n)=2f(n)-1
0 Y6 B4 G1 n) h: i5 |8 f; y如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

2 X2 y( C3 }! R& Rf(2n+1)=2f(n)+1
7 l3 a6 L, d9 p5 ?: P
2 A- @% Q: }) P% l% y+ |  g
' _" P# w1 N' F( m& ~如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
  @4 j) N$ R3 [1 y) t' u- C
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
3 p& s- _3 Q% N4 T0 U2 @f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
1 w. p0 O) c6 B0 f& _
2 [6 Y$ I! Y7 h9 K' W/ k
% [/ r% \9 x$ X9 n2 q7 `7 X6 }0 q答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
/ o" B. [* E# ^7 y5 `9 g, z- w兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

7 j( r) ?" K: @2 Z) S6 b在 ...

我的推法就是这个：

  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

4 V' e/ h, j/ P  V8 M! R2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
' S& Q1 P7 ^) g1 m) S看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
1 W2 R; u6 x6 R% H+ L; E4 _$ E
; G1 l; I: \' T1 X& X以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

2 \5 ^8 @7 b; Q3 z  {6 ?) ]# e9 h7 P13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。