设为首页收藏本站

爱吱声

 找回密码
 注册
搜索
查看: 6706|回复: 9
打印 上一主题 下一主题

[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

[复制链接]
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    跳转到指定楼层
    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼3 k' g7 i, n3 v* N, ?6 R
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”
    0 S2 ]- f* _4 X1 S4 @/ c8 s2 t& I. H" H
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。1 E' t" y* M9 y9 p, F( V1 h. P4 p* ?
    , k( `7 j* l* i: O* ?3 c( D+ C4 O& B
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。/ M9 Z9 u  T$ s8 J/ C
    " Q$ w3 e& H# u- C) o
    In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
      r" @* [% |+ _8 J0 S- a' j- P; p2 o. X# E
    幸运数的定义
    ( X0 g$ k/ `( I# e* |FORMULA        ) J, L3 I  {" O6 _
    Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    $ d0 j% ]! @# D% z. b* j. \8 Q& n. _9 w& _
    具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)* Z# W) `6 p2 q4 }+ b% k
    6 d3 W) l2 _2 y  S
    初始,从1开始的自然数列:
    ( n7 o3 k, L3 x/ Q, m8 ~2 ABegin with a list of integers starting with 1:. z2 u9 W' C' R4 `; Z6 p2 l
    1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
    - e. g& u4 s3 ^& v# r- E9 |/ l
    , F8 i8 @0 @7 H0 o* Q开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    3 l7 |% _* D( O7 J* V剩下的数列如下:  Z, V. |0 s8 x- F; u0 C! C0 B1 i/ Z
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
    5 z/ S) u4 L3 L9 v# z/ _- D1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……/ `5 e1 N7 j3 b& ^  p0 n  u: C
    6 ]9 o- n% H" s
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:% z) ~0 k3 Q8 K2 K4 \3 r& n
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:# E7 p& s7 T- s0 V2 `1 t" r$ P
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    + U  ~% E* d5 w0 V# ^/ i  g. i: g$ h
    现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    ' Q0 `- Z  w+ t: A( u! E/ IThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:2 q$ V% v6 k" E) ]
    1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
    . F' w. I. s: H. Q
    ( ]4 G$ @9 z$ H, m" o$ C- C接下来是9,……4 R7 Z0 [) b# E% X
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。
    ! C! I' N3 V& g, H  T; H2 K% J9 ]: W- `
    7 A! J2 k/ w! \4 ^6 U, p5 R1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    7 b7 Q, l/ G' a+ Q+ E0 r* i在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    4 q& E2 a) @4 j4 {# C9 o# J上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    % c0 R' e& s8 i) {! c7 e0 ^1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    ; ]5 n2 H0 [& A& n2 ~5 Q1 Q0 H8 D
    9 I, G4 W& Y4 [  i. i" V有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    , I3 F& }$ @8 Q% A% m0 a4 |) Q0 d# {2 D- S' [

      m( x  s* ^9 R+ z- {
    # z: t4 B5 n, \# I; j; q第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。( k/ O3 p+ k* p+ {8 h
    " O( c3 N5 A9 @, w
    数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
    4 h1 V, E& ?9 O3 E幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。5 Y6 j  y$ f; Q, m- @/ s
    另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    3 \* c( H; H) S' w  y% j8 K( s" Y; a. R! b7 m( {/ q
    暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?& g5 `% ^7 Q7 V$ e( o! n' G
    2 X+ K. D2 x- {+ I5 G2 R0 S& c4 L0 g
    **什么叫做Conjecture?
    ' O& T# j" C& Q+ p; K**约瑟夫斯问题。

    评分

    参与人数 9爱元 +49 收起 理由
    韦红雪 + 8
    喜欢就捧捧场 + 6 涨姿势
    独角兽 + 4 涨姿势
    Pipilu + 2 涨姿势
    农民家的狗 + 4

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)" |# }: C' c/ S

    - l! i( J4 U* x# P猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。' U$ h3 ?0 B6 z" ^" a

    % t2 h) [! T( ~- Q4 m* P& W当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
    + m' v6 V& p, {6 ~' p/ w
    , R7 _' N" ?  i猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)
    3 M# G/ Q& ?4 F+ u0 D. h% v, i: B( J$ f+ _
    假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。6 C$ B- w8 F# F

    + d  K; j# Q2 P: E1 P有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

    评分

    参与人数 1爱元 +4 收起 理由
    独角兽 + 4 涨姿势

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
  • 签到天数: 128 天

    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑
    4 f; X, }, V1 }! b4 Y9 y& C6 o3 q# j. k8 }5 H) x
    **约瑟夫斯问题    都教授
    " _: ]) C1 P+ j. }
    7 _' y0 M  g6 X$ b; y  d我们来聊聊约瑟夫斯问题。% N' p5 F- p7 Z" B/ d* }2 K- ~  k

    ! n" A7 x. _3 E1 s5 @, S有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。+ d$ e2 c! l1 }9 T

    0 o  m  U5 w* \1 C. n; c问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?
    6 D4 U4 Y: G3 {' C# W/ L' m5 e2 T( A/ y5 m

    " Y! F5 p% j  r: w7 [9 k- g---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    3 j( M$ y9 {, m6 k9 S( F: X据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    ; D4 L6 E' U  ]" \0 t+ d5 M0 `8 Y6 o2 T( G) I
    ---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
    $ \$ n9 S- I% P" a这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    5 r0 m* |/ \7 H' e1 p据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

    该用户从未签到

    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
    9 [: |. h0 J# I/ _2 {4 \**约瑟夫斯问题    都教授 . {/ r! Q- V- S7 w( b: |

    * L' {. q7 M  H$ y* U- @* z我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    * W0 n2 `' f# F! D/ A) D: m" P
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
      f  I* v" |5 G" }& k
    2 X5 W6 x& K; A; ~9 r; Q- m1 ?2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    " J) B0 y& c' J% }% `" o2 |! ^- Z* V- b0 j- E% O7 b; C
    推的方法如下:
    ; w' N- e: n8 c! G; B6 E
    , n1 U* X: X5 h/ V3 _2 P5 an=1,就一号,跑不掉的3 U) }7 n$ k5 s3 P) A# k
    n=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2
    " b) W6 [7 \  N6 ^) r/ S3 X如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。# H& U- j2 L6 L, H) S* m
    , q  `2 O& D# k% V  L  N
    # C; F; W( [% Q1 v, Q
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

    评分

    参与人数 1爱元 +6 收起 理由
    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

    查看全部评分

  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑 ) k; D9 L6 D/ M" V% ?1 l2 n
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30 * h; o  U4 U& g  s8 Z. e
    1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!
    . N- F* A3 {- z+ u) z; m; w5 z: I: k2 W6 Y# H! l- }  M- Q# e0 c
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...

    8 Z& o$ k9 m( }6 B: c3 T( z
    ; }: U$ c) {+ j' }兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看( J# R) d; w$ s- Y- M
    % m2 a9 p2 _& }. W5 I
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
    / F# F) t) ~- e  y, ]" g5 T; V# @' Q7 [: X9 [! u
    还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?& i1 J) A8 c6 i& a2 x4 C
    / P5 I. _6 z/ W1 x8 B7 O
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------$ F! ]/ \+ x1 R' g& W) T5 `
    7 C  |- R6 @2 Q# g% d7 Y: P
    一个小心翼翼的Java例子:* ~6 X, A$ K9 }/ D+ E$ ^4 ?
    # H  R' y9 t* h  A  @
    int josephus(int n, int k) {
    ! _  `2 J" ~6 J        return josephus(n, k, 1);
    4 B* c8 x% b. _7 X2 u0 W: X4 C! `  }
    9 n+ \$ ]! u  C/ z: X  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {% n4 Y- [3 R+ E9 u$ f
          if(n == 1); K4 n9 I6 b# ~" `9 X9 y1 ~$ ]; |
              return 1;
    2 _7 _6 U6 W+ [# G$ y8 x+ E      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
    ; |5 C# V4 d4 t, ^5 d , F  I- o- E3 c6 y  m+ k& l
          int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
    0 s! R. K$ Z( }: `: X4 K      if (survivor < newSp) {: q* g8 q2 C- E% [
              return survivor;
    9 B; K* W) N6 u7 P5 h* c1 u  O. m( w& k      } else
    ; C, q3 H" b" h) h8 H          return survivor + 1;7 S/ v. X  s" P: h; u
      }& H3 G& q. H7 Z$ N& Z4 D
    7 ^4 {" f0 W+ z  ^7 F) L: Z* K
    另外有个更简洁的例子0 X, Z8 E. o- L0 ]
      def josephus(n, k):
      p+ D" @/ r! N2 {5 f- J7 U    if n ==1:
    * b% t4 |5 f+ M/ |) {8 I2 m* d0 Y      return 1
    6 ~, ?4 D( X- B: [8 ?' C    else:) n$ t2 B" \4 X& G
          return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    1 P) S( f2 z4 Y8 `/ {: T
    6 w8 H  C* E# [; m$ c; D(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)  ^5 P" `& K: _' m: h& s  A9 t

    4 V  x. `# ]+ B" d以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
    # m0 W8 L6 K# C' b- Y3 y
    0 N! T. P3 D" ]1 s7 N" m5 \
    ' |% z8 R; [; A; O+ R, M关于n的分析:
    " A8 s( f; W6 v4 A1 J设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。3 H/ C( [6 B' [( G( G- j
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:5 z5 X3 P% `) T2 W5 C
    3 k5 l0 }6 u' K+ c+ ~- M8 B  V
    f(2n)=2f(n)-11 a% a1 M+ S* `7 ?
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:3 c, M- i9 \/ f7 A  e/ J. ?* t

    9 r' I2 h+ C4 Y; j5 k5 ?f(2n+1)=2f(n)+19 W  ?9 g" ~: w' g5 \7 F) t' i; e
    . A0 o6 f' _& B  k. {- X0 x/ Z7 c% N
    : K8 [  j8 B$ u7 \( T: {# ?6 J
    如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
      b* O2 ]1 ~5 s2 U: F2 M
    1 |' L9 d( H+ F1 X& sn    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16: V& i6 O9 C6 h0 w8 S
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    . R5 w' m9 N; r3 A  s0 [8 @5 }& J8 D2 U5 A# j0 ~
    从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。: w5 u3 @/ x- ]$ V  J
    - u) m  I0 J' W6 `! u
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。8 z# q, e  u6 w5 q" t6 g* `
    . [  o4 ?! q" |5 p, g1 S' S

    " C! z3 B) m1 ]/ B. H! C+ B答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

    该用户从未签到

    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    - t; I" x( |7 Q+ ?* v兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    , [, o( P" p6 I) o2 i, H2 S- v; J8 n0 q/ v1 x; i  W; Y9 h
    在 ...
    6 Z5 t' H* {1 F( v
    我的推法就是这个:
    / u7 R3 Y6 O4 s  F: s; |# M$ ~" _* k5 s# f; K* @
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1- F9 N" m1 E4 s5 D$ G( X
    $ v4 q3 A2 |% t" X/ D
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
    ; h$ m8 _( u5 l8 Q- U
    , h4 d! s  [* n( ^$ y2的情况我没单拿出来搞。
  • TA的每日心情
    奋斗
    4 小时前
  • 签到天数: 1434 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    2026-6-27 09:25
  • 签到天数: 2303 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂6 e7 a* o# s( E. {! A1 A
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    $ _5 P; _& Q; c$ X- l2 Y5 H3 z看不懂
    ! C: z5 |: w% c6 L不过今天不幸运数是17

    9 D; b3 [/ p2 A  m; ?" J7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。2 }: v0 @& m( c+ m0 ^

    ( C$ ?2 y7 P6 v6 _8 _以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    0 F3 x) g: W2 A) T& e7 S$ B6 q& c5 {( ?1 G/ n. w6 m% v; p3 D
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

    手机版|小黑屋|Archiver|网站错误报告|爱吱声   

    GMT+8, 2026-9-28 04:37 , Processed in 0.074357 second(s), 22 queries , Gzip On.

    Powered by Discuz! X3.2

    © 2001-2013 Comsenz Inc.

    快速回复 返回顶部 返回列表