小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
( o% d9 H" L- D" K看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
+ r+ h4 P7 r! f7 _
% s) b# y3 k4 ]# b; u: SIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
4 \, E) A5 F9 @1 D! ^' \0 {7 b: I
) `! j* _+ I- b+ _' {; I幸运数的定义
2 ~6 l1 e7 \2 j  Q$ XFORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

: A" o2 _# I- w具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
2 U4 s: d. }4 B
初始，从1开始的自然数列：
  m$ Q/ ^# Q" B# y$ kBegin with a list of integers starting with 1:
9 M  S2 C7 D" o3 A# t: E6 C1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
+ A3 k+ d) v9 T5 p* ^' K5 Y* M剩下的数列如下：
$ ?$ M# P7 g) YEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
/ F# M+ v5 ]- o$ i& _* b1 z7 d
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
5 R" _* n& y& c" e. P+ N% i7 S  s: ~The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
; Z7 U/ p; x) f7 h1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
( |- ^) |' z% |4 c$ r
! w4 N5 q, u/ h" m, ]现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
" o, g# g: f% R2 KThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
: O+ E! `4 N7 k) d1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

5 L6 O( @8 I  B4 j6 k/ `2 V) K1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
, W  N! L, B4 l) n, l' U7 g上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
; s! N$ S/ [0 i3 j! e7 |1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

# w  b, S! i2 o, H% c6 j) k有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？

  L4 K  b* M4 h- g" |: `

第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
- d+ x- t- A8 J' Q1 M
) h7 Q: _* }! ?) ]/ `+ n数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
* ^5 d4 e4 f; Z+ v& L幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
* e. b1 X3 X) x" v# O# U另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

6 J2 u' q* u) ~  B9 W: H**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

8 n8 {, M; O* g3 O猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
/ A" `# t. ^! w, C
当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
0 c+ q  l( F& |$ J7 N0 p
猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

4 U3 n, B1 m" `; l假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

' \/ w! a3 \% x: P5 a- B4 b& q1 b有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

**约瑟夫斯问题    都教授
$ P" Z' R4 z1 p* K9 T) B' o
: A" K) k3 x3 ^- c! p我们来聊聊约瑟夫斯问题。
. `" ?4 y% O2 m! i+ v/ Y
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
7 [/ o5 X/ m2 Z( B$ Z' g
- T) R5 a. J, E' H# e5 y/ [问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
( p) l4 H/ l" x2 t

---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
) n7 r  z! [; Z5 q
---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
7 W5 M! R; b; |( ^4 i
$ m7 U' h6 D# n5 ]' p我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
6 o, y" z0 n; @
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

+ E1 Y& r, ]9 ~- y3 _6 o  K5 [) t% s( \/ ~推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

  k3 O! H* [+ x  A& @" q. `
# ^& x5 z8 s! H% x7 v- h4 J我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
' d1 {3 ^+ o  j  C. H* w
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

5 n- w  E; J' X2 `6 v
, [+ ]5 i4 `1 @! z兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
. e8 c- n5 W# H0 E
在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

: C2 F) ]% R% I% w4 s还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
9 n5 _0 c2 d& G) L7 l) ^  B3 e! p
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------

一个小心翼翼的Java例子：

; |, q, Z1 H/ Y# h% u( \2 o int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
          return 1;
8 k* e+ B% r* a: G1 E" }, z8 [0 V5 b      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
) S5 j& E- E& E- E  s" m
" v/ o7 E: s' x4 Y# D' V- B      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
8 s' T+ i$ _) ~& k" D( c3 H; E& {      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
7 o8 U  M1 a. d      } else
          return survivor + 1;
. S. J  G0 W6 k# m( w  }
& |) U/ w4 X0 G* D
另外有个更简洁的例子
& E8 ]4 ?# c4 T" M+ P8 s8 S, r  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
; E' W* z% T, c% ]* Y    else:
% C6 B9 v+ n# p# {( E' p      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
  l( [0 R- L. l% F5 W7 a) v
（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
$ z9 O- T+ U1 B. o5 u

+ z8 I. D* }) Z. D+ d+ p关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
( p4 S, R3 i: O, _' b9 G如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n)=2f(n)-1
( W; C. G" X4 f3 s8 W如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

' }2 N* j5 x$ x8 i; w# yf(2n+1)=2f(n)+1
0 R( k( I  j8 M$ E$ ~1 }

如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
: P! A7 m9 E: a% e, `# y
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
& S! `. s! _+ d; S; a. hf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
' x2 N5 W- V; e1 T" I+ v  Z
从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。


  q# R+ f! k0 }! P# S. C( Q答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
' D2 B) L& F7 H$ a& M! Y
在 ...

我的推法就是这个：
1 R3 c3 c* Y2 C% L  {
5 t3 Z* W. |4 y' g: m2 E- e  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

) Y& R% P2 j3 f" k8 M- E我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

! s# K1 O" F1 {8 U$ d/ N2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
$ E4 u- |+ v3 m9 G( C看不懂
) x+ Y- N8 ^  i; a不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

1 D, [) u2 J3 ]1 I8 j% o8 H$ n' t9 w7 P以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
* |; m- t% H1 \: u- j9 s5 b
13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。