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[科教沙龙] 小小的停留之四 幸运数

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  • TA的每日心情
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    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

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    楼主
    发表于 2014-7-16 11:30:51 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼  h% a1 e1 `# |& J- @7 V& Q- m
    看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”2 z  g! Y1 u0 R$ _5 v. p7 s
    ) n- |7 ?9 Q. Z2 V7 N
    他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
    2 M7 m2 u+ y4 e; O& o- ?) j/ s+ @6 t" F! k) v$ s; Z6 m, B
    所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。& d  y! c) K" N2 g/ w) G6 Z; |

    1 I9 M) x# o* u" d3 GIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.5 G0 t* o0 D8 a- e1 _$ b3 p

    0 Q% ?$ U6 W. H) n幸运数的定义: E; N" M% W- c3 b- A4 ~% g
    FORMULA       
    - Q6 i* c3 ]* R( P$ |, o! N5 ?Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
    # s7 Q: F7 q. P* q
    * W- t- `) z5 A8 r: o  W具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)2 a; D/ ]- S; q
    9 S) j% R5 v' y% B" k8 S0 l
    初始,从1开始的自然数列:
    , U0 j' q  [$ p  O0 K3 D# k+ \' \Begin with a list of integers starting with 1:
    4 d3 [% @* l$ ^) E3 r+ _1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……" f. g3 e9 Q3 u; \* }
    3 s% C7 C. S# O0 n. `7 o5 D: k
    开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
    / g& q! u, s" Y0 ~4 V2 \剩下的数列如下:' \# ^! e% v' T+ _
    Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:  ?+ c* @9 c. c) ~) r
    1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
    " j2 e6 P! @! w1 A9 N# f* y0 Y! K9 C' r/ _4 q# `+ T$ d2 I7 W
    接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:# m, r) e2 n: e" z; D
    The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:8 F9 q* e1 b+ h9 x
    1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
    * c8 X' N4 H+ Y6 l- K) m: E% f& x
    * x/ R3 F) l3 Q' n( X: K( P* ^8 X现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
    & s* e8 C) m2 P. ZThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
    ; {" _+ a9 h5 T! l0 H! b6 o& G1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……( t6 L$ d9 s6 L* H0 b+ j: p
    ) T/ E# M: e5 U+ |
    接下来是9,……/ L# m  T/ s- n' C- i/ \0 v
    这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。% R# Z/ q4 V, J3 J2 K- y" Y

    / X! z: v7 r& w! g, I0 E: P1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
    - v9 `% K: _0 `4 X8 Z0 L" U  r在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
    , n. @# U/ t5 A上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
    ! |# g0 X' R5 t/ v/ n1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
    ) q" B; c0 v, G/ z4 c" V# W1 S5 Z( x4 M  _* ^" h; J& M' d. w
    有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
    9 D: [3 w, R0 s& N' x" c9 f% L2 h$ C" Q* v8 \: s; {

    ( |2 X# ?* X3 r; u0 Q3 Z0 \1 E
    ' S) Q) I0 x  ~! _第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
    / [: t1 \+ `! D9 ~
    / Z" B7 A2 ~. g+ f数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。! G/ v- P0 w" K3 Z; L
    幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
    + {# S- l3 N/ i8 i# T* _. T/ X另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
    ! l4 L2 n! i7 w
    9 d: [9 M% X& B4 \; C8 T: L$ f4 o暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?3 B8 T3 M7 |  z. f# o2 z: `
    ) _( v$ F! ]; B5 q9 P. A6 ?4 d
    **什么叫做Conjecture?  c+ |' G8 o, E- f6 K
    **约瑟夫斯问题。

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    沙发
     楼主| 发表于 2014-7-16 21:26:40 | 只看该作者
    猜想(conjecture)和假说(Hypothesis)
    , x+ s% \. X+ a3 Q) s
    5 `; b8 h9 D' K3 w猜想(conjecture)是一个看上去是真的,但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列,因为它表现的没有规律和无限性,基于观察的某些结论,如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的,那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。
    ( y2 }% o0 v  l& Z- S% _" O/ O, I- ]
    当猜想被证明后,它便会成为定理。猜想一日未成为定理,数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。& }; q! p+ m8 F3 z
    7 ~8 g7 \2 c7 T9 w; b
    猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法,来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数,便猜想所有费马数都是素数(此猜想已被推翻)2 P' Z) l4 E1 V' O6 f; u& t

    7 |! |$ L/ X5 X( T% q) E假说(Hypothesis),即指按照预先设定,对某种现象进行的解释,即根据已知的科学事实和科学原理,对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明,而且数据经过详细的分类、归纳与分析,得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
    6 |- L! L$ R* k: p& e9 Z
    / w# a1 y0 q5 M7 B6 \# E# G$ ^有的假设还没有完全被科学方法所证明,也没有被任何一种科学方法所否定,但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论(量子假说)。

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  • TA的每日心情
    慵懒
    2018-2-25 20:16
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    [LV.7]分神

    板凳
    发表于 2014-7-16 21:58:32 | 只看该作者
    不明觉厉

    点评

    你是先入为主地封闭了自己的思考。这个数列的筛选规则,只要会数数都能看懂的吧??  发表于 2014-7-17 06:46
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
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    [LV.7]分神

    地板
     楼主| 发表于 2014-7-17 06:50:45 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 17:53 编辑 ' S# d& T( F! u- M/ @# o1 K

    ( y! M% h6 h( C9 \* _**约瑟夫斯问题    都教授
    & D! j6 B* ]" I! x& ^$ m& C- V6 u7 S; g9 I6 n
    我们来聊聊约瑟夫斯问题。
    / }* M. l7 z4 C. e) T0 I3 q, }- u, G8 b
    有n个囚犯站成一个圆圈,准备处决。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。, ^0 _( a2 t* m: P. o& t: k8 P. [  n

    6 F, ]. N9 v7 e" [& x问题是,给定了n和k,一开始要站在什么地方才能避免被处决?; H2 t* d0 {# N; K& M% [

    6 b3 R+ z* l' v- Q
    6 a( _7 t1 M+ G% R/ z% ]---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
    1 ?! a- I6 [4 t据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题,不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
    + n: L' w. d1 q$ B# |
    , L  x( ?# J( N6 E( Q5 ]---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------7 p  @& S8 Y9 f, b" n" f# q
    这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的,他是1世纪的一名犹太历史学家。
    / o( L; M5 {: x$ e4 U! _0 z据载,他在自己的日记中写道,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人,他们将向罗马军队投降,不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

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    5#
    发表于 2014-7-17 09:30:00 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50   ]/ l! h. r+ w; L0 j0 J; C; D
    **约瑟夫斯问题    都教授
    . x, d6 d) y- s8 X1 m
    0 B+ j$ \5 O9 n8 u0 |8 Y我们来聊聊约瑟夫斯问题。

    * W& x7 K  h1 O7 `/ d; G" _0 H8 E1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!1 q* K, D; W" f* S3 I9 y
    " Q4 j$ f$ N" C1 n
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用倒推法硬推。但是,想了半天也没有想到不用推的直接算法。
    : ^$ w& N2 t( T. O- ]+ h/ |( d3 `; m* n& m: c1 Q2 L4 @
    推的方法如下:
    " V  m% ^7 E/ H) V0 q8 Q' w$ b7 W
    3 v& `( E4 j: u* f9 G( O) {n=1,就一号,跑不掉的
    " g# z' U: d2 J6 i% Z7 h! [; g* mn=2, 要站 (k+1) 模 n 那一号设a(2),比如 k=2, 则 a2=1 (号); 若 k=3, 则 a2=2 # F% }9 g4 i( p' u5 Q$ K
    如此类推,n=i 时,要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如,k=6, n=19 时 要站在14号。
    # r3 w4 r- B+ }. i8 C. S! c2 b/ k- b( |: k
    3 X  k4 A. C5 ^0 m/ g  p
    我算到k=6都找不出更直接的规律,不好玩

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    到处停留的叶子 + 6 哇!!!

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  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    6#
     楼主| 发表于 2014-7-17 11:02:58 | 只看该作者
    本帖最后由 到处停留的叶子 于 2014-7-16 22:06 编辑
    8 i/ P+ B: q( X' s  G  i3 t: t
    独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
    + d% ^' u" U) P0 @& v; G4 O1. 经过努力学习,这题我能用java编程做了,oh yeah!; `3 I# W# o! v  _
    & F5 b5 |; ~: f4 r1 W
    2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k,我可以用 ...
    % ~* Z5 ~0 Z, Y3 Q6 P( u! c4 v
    , S, m% e1 e  F& y$ l& g! l
    兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    ; ]9 l% w- q+ `3 W, w$ \" N/ T, H+ W$ c" G9 j. g
    在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法,这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。. f  M+ t% b0 u/ n; W' l

    9 T. O& y& |2 _) e' e还有下面我抄了两个通用算法,那个java的是不是和你做的一样啊?9 i" `8 P8 _. ?2 ]: @' ^* _
    - P" t4 k% a+ U7 _3 K* e* G4 p3 \" G! D
    -----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
    & \9 a. J/ X; h7 g% [
    : L: N  }8 P( O# |5 s一个小心翼翼的Java例子:8 C' Q: ~5 K6 i
    1 L$ k: M; S" ]- w
    int josephus(int n, int k) {
    3 w' m" Y0 V# E1 \0 i2 d- M3 x0 J  f. {        return josephus(n, k, 1);
    , u# P2 T- {: s) q* h* A5 t. b& M  }% y6 u; \$ b# x6 U; _* M. @
      int josephus(int n, int k, int startingPoint) {5 z4 k. X) H- K* @2 i
          if(n == 1)
    ; [' _* O7 o2 A          return 1;
    ) u, |* R, ^, t      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;* |  C$ |$ z/ c" r4 H( B- ~

    ' F* v3 X* j! q5 L' C& G( \      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);/ M# c1 @9 S/ _5 X
          if (survivor < newSp) {
    ( m- [; o4 P6 k  t% e          return survivor;6 @) N  A, w7 |1 `, G, {
          } else4 b4 x( |4 }, C+ U2 b
              return survivor + 1;4 C% Z4 ?" g6 b; z; p3 Q
      }
    " N% S; @0 n( ^% b3 M
    " T& {/ X  L8 J7 Y7 o( i另外有个更简洁的例子
    ! E( o6 t9 [3 K0 M# @4 ]  def josephus(n, k):
    , a8 u* K  B. s, D, ^* r4 R0 a    if n ==1:
    ' r0 G% h) }& d! s' \7 u      return 15 J1 h. d$ N8 ~6 b& E9 S
        else:
    ) u9 J3 I. d. U, O; I      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    & n" A+ r  M, Q3 B3 n, k
    + o. N" ?' q( N9 o$ E(如果n这个数字很大很大,k很小很小,电脑会不会转晕过去呢?)
    ( B( i, i% M: {0 k+ ?* O( t
    % n; v7 q6 n) q/ {  x) W以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution+ {! A7 |& P; |) k; p" R

    ) W- ^& r" c, a7 p: }7 b$ d6 [0 I: v3 H( i( Z+ T, b
    关于n的分析:3 F( l6 H2 K: d4 `! q! R) }8 }: ?
    设f(n)为一开始有n个人时,生还者的位置。( ~( h: b% d& H+ f0 {4 O( J7 T
    如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式:' ]6 w# D$ @) ~) m8 D/ c- f

    $ }! d1 K) D* e4 M6 N, df(2n)=2f(n)-1& s9 ?7 p$ H3 I9 F
    如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为1的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式:
    0 T0 N( f; ~. p$ i9 ^0 V7 A4 ~/ B7 x0 U
    f(2n+1)=2f(n)+1
    & E) T- B" |9 q5 K
    ) `, f& o; H4 g! l: f  j
    & Q) ^5 |! _9 o! p4 e+ o  o如果我们把n和f(n)的值列成表,我们可以看出一个规律:
    : t8 s* b8 p" M7 K6 o* `- V8 O
    9 n* C6 R3 P7 q% X5 E1 Z! Un    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    168 x& ~6 L- L2 I9 A2 |
    f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
    3 _7 h! c6 c" C1 Y
    / l% W/ R% n% Y% L, b# R: G从中可以看出,f(n)是一个递增的奇数数列,每当n是2的幂时,便重新从f(n)=1开始。因此,如果我们选择m和l,使得n=2^m+l且0≤ l<2^m,那么f(n)=2 . l+1。显然,表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
    * p" S, n0 T) r' }8 ~6 |4 D0 \- h' L$ H0 p8 Y% R
    定理:如果n=2^m+l且0≤ l<2^m,则f(n) = 2.l+1。8 G4 `8 t! g  C% Q) J

    / Q' o( x4 P. R3 R4 K1 N' i- q* W* f/ T
    答案的最漂亮的形式,与n的二进制表示有关:把n的第一位移动到最后,便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

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    7#
    发表于 2014-7-17 11:19:06 | 只看该作者
    到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
    6 y1 \+ `( Q( m1 \2 L兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答,或者先在网上找找看
    4 c: D+ l8 f0 b+ P
    & R( E* D% E% ^' {3 ?在 ...
    ' @7 g& ~1 Q. ^: x
    我的推法就是这个:
    , w& ?4 {  a) T$ e+ l+ o
    ' o- _2 H, m" U5 p) m9 B0 X  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
    " K# K% [# i4 Q5 y! O( y6 X0 s; C3 [0 z7 E
    我有一点疏忽是如果整除,模的结果是0,但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。7 [  g+ b4 i, s* i
    ) n# J" ^4 v2 N2 x
    2的情况我没单拿出来搞。
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    2020-5-10 00:00
  • 签到天数: 1237 天

    [LV.10]大乘

    8#
    发表于 2014-7-18 09:47:20 | 只看该作者
    绕死了
  • TA的每日心情
    慵懒
    前天 20:28
  • 签到天数: 2173 天

    [LV.Master]无

    9#
    发表于 2014-7-18 22:40:37 | 只看该作者
    看不懂: z# O* J* d: J/ L
    不过今天不幸运数是17
  • TA的每日心情
    擦汗
    2020-3-23 00:29
  • 签到天数: 134 天

    [LV.7]分神

    10#
     楼主| 发表于 2014-7-19 03:04:00 | 只看该作者
    常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
    % s- S0 F" w/ p9 l( y0 p  e1 ?& r4 q% c看不懂
    3 N9 i) v' ~6 e- ^* s/ G4 t! Y  @不过今天不幸运数是17
    $ G/ s" [" E& g3 P
    7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。  \/ i0 V! a7 S6 p* q% z
    $ O$ v- v7 B" [# ?8 g$ Q: s
    以后出行挑日子,要找一个幸运数的交集,这里前面的9个数字也可以参考一下:1,3,7,9,13,15,21,25,31
    $ u8 w# n9 Y$ [7 h. k8 \0 @3 {* k
    13号如果遇上星期五,还是算了,不要不信邪。

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