TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼 h% a1 e1 `# |& J- @7 V& Q- m
看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”2 z g! Y1 u0 R$ _5 v. p7 s
) n- |7 ?9 Q. Z2 V7 N
他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
2 M7 m2 u+ y4 e; O& o- ?) j/ s+ @6 t" F! k) v$ s; Z6 m, B
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。& d y! c) K" N2 g/ w) G6 Z; |
1 I9 M) x# o* u" d3 GIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.5 G0 t* o0 D8 a- e1 _$ b3 p
0 Q% ?$ U6 W. H) n幸运数的定义: E; N" M% W- c3 b- A4 ~% g
FORMULA
- Q6 i* c3 ]* R( P$ |, o! N5 ?Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
# s7 Q: F7 q. P* q
* W- t- `) z5 A8 r: o W具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)2 a; D/ ]- S; q
9 S) j% R5 v' y% B" k8 S0 l
初始,从1开始的自然数列:
, U0 j' q [$ p O0 K3 D# k+ \' \Begin with a list of integers starting with 1:
4 d3 [% @* l$ ^) E3 r+ _1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……" f. g3 e9 Q3 u; \* }
3 s% C7 C. S# O0 n. `7 o5 D: k
开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
/ g& q! u, s" Y0 ~4 V2 \剩下的数列如下:' \# ^! e% v' T+ _
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers: ?+ c* @9 c. c) ~) r
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……
" j2 e6 P! @! w1 A9 N# f* y0 Y! K9 C' r/ _4 q# `+ T$ d2 I7 W
接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:# m, r) e2 n: e" z; D
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:8 F9 q* e1 b+ h9 x
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……
* c8 X' N4 H+ Y6 l- K) m: E% f& x
* x/ R3 F) l3 Q' n( X: K( P* ^8 X现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
& s* e8 C) m2 P. ZThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
; {" _+ a9 h5 T! l0 H! b6 o& G1 3 7 9 13 15 21 25 ……( t6 L$ d9 s6 L* H0 b+ j: p
) T/ E# M: e5 U+ |
接下来是9,……/ L# m T/ s- n' C- i/ \0 v
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。% R# Z/ q4 V, J3 J2 K- y" Y
/ X! z: v7 r& w! g, I0 E: P1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
- v9 `% K: _0 `4 X8 Z0 L" U r在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
, n. @# U/ t5 A上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
! |# g0 X' R5 t/ v/ n1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
) q" B; c0 v, G/ z4 c" V# W1 S5 Z( x4 M _* ^" h; J& M' d. w
有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?
9 D: [3 w, R0 s& N' x" c9 f% L2 h$ C" Q* v8 \: s; {
( |2 X# ?* X3 r; u0 Q3 Z0 \1 E
' S) Q) I0 x ~! _第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
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/ Z" B7 A2 ~. g+ f数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。! G/ v- P0 w" K3 Z; L
幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。
+ {# S- l3 N/ i8 i# T* _. T/ X另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
! l4 L2 n! i7 w
9 d: [9 M% X& B4 \; C8 T: L$ f4 o暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?3 B8 T3 M7 | z. f# o2 z: `
) _( v$ F! ]; B5 q9 P. A6 ?4 d
**什么叫做Conjecture? c+ |' G8 o, E- f6 K
**约瑟夫斯问题。 |
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