小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
4 _5 c8 D. c# P7 f3 N) x看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
! O! ]6 r0 b9 S/ D
1 p# i. c' O& w1 W& @他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

; Q  A- |8 }8 f. z+ R" ]3 d所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
) `' q! \# J# H
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

8 p& k0 r& L$ t, M. I9 e幸运数的定义
4 m( ?3 d' B1 O3 l4 s& e; t+ RFORMULA       
4 \8 H6 |8 \3 V/ y/ \0 F* VStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
: [+ |4 ?% @3 {0 b
具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

初始，从1开始的自然数列：
, f3 |- J+ i3 c$ n2 a# jBegin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

4 x% K1 w3 p+ H2 D开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
0 y$ f1 L; r1 m8 V1 U# p& m0 e2 lEvery second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
* P: D2 y/ j9 G8 v
9 l) g' A- Q- c2 d; f- K' n接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
: l; }5 F" M% I2 B, I. E7 a$ u, [  [The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
1 X3 b" j' M4 D. q: u
现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
3 T. P0 k: I+ k/ m2 e$ v7 ]9 RThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
- Y; n0 `7 G5 v0 T& A+ v; Z1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

- J  C0 s8 `, b6 G" O1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
0 t! M+ V& ?8 e( r: f8 N1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……
* y$ s5 Y( g: }+ `' l
% T, q, I% r' R" P2 P" ~3 n有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
+ ]4 U. Y) a: H: X. g


第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
% H8 p) T4 {$ T  @( K
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
+ D9 C* L/ h% n8 Z- ^2 f  x" ]幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
& S  _; J; N+ K% b" o9 b" ]另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
3 l, G/ ]6 X- F. U4 t**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

. ^! o  V% w' z  z  N猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
9 X2 x) J3 N: l$ f9 V
  W. E% L) K4 r假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
( Z. ?( X# `2 R% }
有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

. l1 s& C) I4 k7 b! c8 n**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

- D: [. [% z9 [# h有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
; W( M" E. G: ]
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
% u/ F" q, N/ h0 Y4 |( a
) f* K0 p/ N6 W* L- F" T3 X7 s
) [9 B. Y( j0 W( `8 L7 R# k1 b---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
& T$ g* v) H2 W( g3 }$ ~7 v$ ~这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
+ b) x( o2 ~0 U4 p, S9 R  |$ P- p据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
" l5 a5 F( i4 N**约瑟夫斯问题    都教授

" F5 \# M8 i3 Z2 v' l) k我们来聊聊约瑟夫斯问题。

: {& C: u, a$ X* m6 G! J( B9 x1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
  o2 m& y4 u$ I  ]
9 \/ h6 N" E; d2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
6 w# ]& c, r# Z3 Z
推的方法如下：
0 ]2 p  U9 m. O
# ]" |3 c" w& R; `5 f5 ?" _9 ^! Bn=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
; X" G! ~% s% `1 [2 ]- w# g$ @如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
3 Y. [' C; v8 e- r$ S2 m: b) G
( ?" \# ]- ^' v. ]2 w$ P/ x) |
9 @6 Z- \# ^8 P% }我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
9 |! O! I2 `5 ^0 F' L1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

! G. X3 }0 p! i2 R
2 G3 C# H8 r* m2 h+ R兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

$ N% W1 o( w9 _( B4 J' W, Q在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
1 Y; B1 Q8 d( q& Y* i# ?
还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
* s- M0 L+ S8 m3 X& _. x
" r+ }" g' a/ y一个小心翼翼的Java例子：
0 E6 B0 x) ]) g+ u  ^7 }4 B' T& b
* T( T& e9 r+ c2 y9 F) E4 T int josephus(int n, int k) {
  t4 s% e2 ~: V+ ]' I2 ?        return josephus(n, k, 1);
* K* s/ P# `2 [6 j& e  e  }
4 ?7 x# t4 m8 f: f* w, k  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
9 D1 e6 J% u' B, ]7 d      if(n == 1)
          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
; S5 d0 }7 f5 G* }' B& p
      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
1 v# |8 P  x/ U3 X# r' O3 r. d      if (survivor < newSp) {
: u  p" z$ ]4 [9 D          return survivor;
2 Q4 z# T% A; j1 y8 F) R      } else
1 i1 {7 n0 U/ Z. B          return survivor + 1;
  }

另外有个更简洁的例子
7 S- W% |3 z- z4 ]' T  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
  t  S& Z0 q" A% a7 \% c& q    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
. s3 E& u- Z2 o2 n) H+ V! n# Z3 Q
1 Z3 x* b% U  ^5 _6 m1 h6 M4 \（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


关于n的分析：
+ h9 B& A$ v. w* }+ U设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
) b7 N5 e) K8 S( o/ d如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
; F) e: S$ D, j8 D# e& s
f(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n+1)=2f(n)+1
% D- {: O% r3 M" E

如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
6 N$ }8 ]2 b& s5 z$ S3 G
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
, g4 o1 F# V! M# }* O8 d2 yf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

( m$ L' n8 ~( d/ V5 J6 u7 M2 X8 s2 C4 m从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

+ \& L0 E- ~% C定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
$ a  b+ T' {# G+ Q& J
. s' z/ D2 z4 X- R+ u3 h1 |7 z
; B% z, e- ~1 R8 p/ O$ P答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
: [, b/ B! g9 i兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
1 P" Q- ~! Q# K& J- k- Y0 F4 W/ s( j
在 ...

4 Q' z& {6 G8 ^: e% P我的推法就是这个：

  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
/ E2 m; z$ ^, N% E; ?1 t
( y  N  d1 p/ [* K) {我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
1 V" G0 ?/ L6 j; U0 \不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
不过今天不幸运数是17

& V9 @( M- e5 ?& G9 j# K9 ^7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
0 p2 E2 m0 y% @) ~" x
8 ^9 l' B, |" k以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
0 `/ _6 B8 A+ P/ S" L' U) E
13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。