小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
+ n0 v7 C* f2 b4 \
" B  `. E+ k( N7 D所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。

$ i/ b" i  ~- K1 |( l( P; YIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
1 E! C' X* B# H6 I) h
幸运数的定义
3 ]$ a1 C7 i( SFORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
( b: M- `1 d3 C
7 a" f3 n% i7 j! M/ g具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

初始，从1开始的自然数列：
5 p* W# e( P9 T% vBegin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
$ g* W; U/ N' }1 m剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
7 ]5 O7 R% c1 x: ^7 y  k
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

0 N( p8 d4 ^# g, @7 o) W  @现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……
' e7 J2 x. }7 k+ C3 ^; H
3 n+ Q! j( {, W& q2 t5 q接下来是9，……
1 D0 [3 r0 s& H- `这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

; Y; N6 K  F, _$ W7 |/ V& }7 {/ w$ B/ c1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
6 y% k. L. Y* b$ E% w5 M. o在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
) ~& \% x2 E- i( @) t9 X0 v1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

# t5 W; u' d( z& E7 ]4 X有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
$ ^1 B, }: J, @

. \$ g! c0 y7 I. s# i
' h& ^$ Z) \3 T- H" G& U( }3 I第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
! W2 _/ j' R! c. F* v, D
数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
' j" {9 e2 G, ^$ |另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
+ V3 H. \7 \, M1 `  W
+ g3 E2 I1 \9 J* z  Q# N**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
: V+ K, K, @1 _% N& n
8 r2 _' Y/ T1 Z7 [9 y猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
8 W" N% n2 ^- D" C& N
猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

**约瑟夫斯问题    都教授

, {6 H0 ]' t1 Z: E- h1 Q6 }& g5 }我们来聊聊约瑟夫斯问题。
- }# m2 G9 J- ?$ X7 X& Z
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
0 u2 P  K1 {6 F1 V$ {
, D: }2 l7 b) R* k, T
6 H- \$ G: ^9 }+ b---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

6 M2 W" Q; R$ W3 W7 U( z9 j---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
( S2 g5 |9 W; n# i( Q; h! }这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
) W5 {( f6 ?9 H4 u+ I# x7 t据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
! K! K) A- b" s1 g. {4 y
: t) `, T  G" }9 p2 z& {6 ^( i我们来聊聊约瑟夫斯问题。

$ L7 C$ E; G4 A0 L  c* Q7 i$ ~, Y1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
: ]# o# j" ~$ a4 d
6 _# I* R9 }( |1 C: o2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

0 `" s# J+ x$ m% `4 _) e+ j推的方法如下：
9 @& [2 y% g7 N2 p6 W% m- w, @/ C6 O
n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
. p0 L0 _6 Q& v. S如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
* ?5 g7 ~/ g& g  a
, P9 r8 r+ Q) _; x
& @# V4 K& j$ Y" p1 B2 d# _我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

4 }7 a' T& J2 w# ^6 Q2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

6 c8 F& Y' F4 h( ~: x
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
. l, d  g: D/ s4 ~. S( L  ]" \
在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
' O+ w1 ^. B) ~5 [3 V- C  z7 a
. E9 _8 I/ L2 k4 _-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
  y' Y( g+ ]: r: l7 H' C
0 \, X2 @2 t5 y2 E: K/ t5 z一个小心翼翼的Java例子：
3 _5 \, y8 [# {
int josephus(int n, int k) {
, [+ P( E5 \3 T4 J8 M3 J/ s8 \# Z5 v        return josephus(n, k, 1);
6 z9 N4 m6 }2 T4 s5 d. Q  t  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
          return 1;
5 w; ^7 R( O% R/ z      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

, |: N% Y1 g4 f) F      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
& e' |# V- q3 }# Y) ]      if (survivor < newSp) {
/ f' g/ N9 q- X+ K, P7 o          return survivor;
, \, @5 W0 ?5 Z5 U2 p$ L- Z3 |& m      } else
9 j# G- o9 I  G          return survivor + 1;
" j9 l; }+ Z) R4 r- F  }
& }6 U! y# [+ X  t
- ?: l% ~) |7 l- r4 Q8 b另外有个更简洁的例子
0 _5 V( @, _! P$ k' T: w4 {  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
1 O9 U: k* d' U    else:
0 O3 z" m9 o. x- S( t$ x      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
( H  ~) u, B6 S6 ?5 P2 m
（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
6 q: |; k. p! c: u' M# ?* J0 \' F
( G; e# a5 O; z* G( M" @以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


2 }4 T; J1 S0 I. m0 M关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
% S6 ^0 |8 k3 `, F. A& b如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：
2 z/ [& o/ ~. y5 t9 h* R
1 y* ]0 `% W  M" ff(2n)=2f(n)-1
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
; c- f" U0 @$ z. r- T, C
f(2n+1)=2f(n)+1
* o9 [6 K, O3 d( e1 m

9 O( Z. Q  T% u9 E$ g8 _0 h如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
3 n- c5 G+ V9 q
n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1
. c( j: C  a+ [, u
+ k! @4 e8 k' t+ O' Y/ ]+ `从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

* [5 T1 G& _, d$ f7 _8 u定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。

. C3 W% u, w$ U7 q5 E0 }
答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
  d" t8 l. z( K- H) Z1 s& ^; N兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在 ...

2 _; w" H  o9 O7 r( V+ z; _我的推法就是这个：
9 D; s" h+ ^) r6 j% E" A
3 h( y& K! G: W! `6 s5 S  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
3 N5 |% a* U. O# K$ M8 U
( U7 L" f: K+ z$ u- h我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

  b- E3 [8 Y! @% f7 g6 ]( N2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
( }0 V# p1 W# s
- w6 i) h- P' G) a) {' K以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
% B* o- T' w  N  w
) d# a1 c4 x% a& l% Z; o13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。