TA的每日心情 | 擦汗 2020-3-23 00:29 |
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上次说到 小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
0 O8 X9 D. f" J* k. {; W0 d4 A看冯·诺伊曼的故事,他有句名言:“若人们不相信数学简单,只因他们未意识到生命之复杂。”( F0 ]) L0 B5 A* X
* G, R* I7 q5 q- O9 L, j1 v他有个好朋友,据说是最好的朋友,是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆,这位先生曾参与曼克顿计划(核武器上有Teller-Ulam design,Teller指爱德华·泰勒)。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上,遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。: u; x6 f& a3 I3 B/ Y
L% _ b7 l6 a' B4 c+ B
所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字,也不是买彩票开奖的数字,而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列,用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
, E1 N: J6 s o* y2 y( T, m6 r! e6 B
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
& S, t+ @, b& [ v K* G7 n" |% I
9 V3 L- K0 p4 K# w幸运数的定义( t! U6 c8 M3 M! r" P! {0 H
FORMULA
4 [; m+ v4 _/ ~2 D0 w. d, Z- aStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
r: d* m3 I' N% z4 G2 ?; F0 ~
! L% i% p) N3 i具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的(喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法,这个办法是类似的)8 A t& X5 Q1 l6 Q
. v B' j$ x' @/ ?
初始,从1开始的自然数列:+ e9 `( g8 Q0 Z" r; I
Begin with a list of integers starting with 1:
' u+ T4 [* H; F1 M. F9 D/ @1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ……/ |9 m/ }$ j [) C) W! P
2 E* V$ I0 C0 B& d. S开始删除,在这个数列里,从2开始,首先是每隔2个数字,删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
2 t4 c1 [9 w* H2 n) `" S3 r剩下的数列如下:7 `) x1 S3 r& q# D/ D& D' J
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
: u) i( Q$ n2 G- W( j5 f5 b* {! S1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 ……) z7 j E, V* p/ Q
: J& t8 H" k' t- b1 N+ D6 B接下来是3,每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下:2 @7 {- x: m( U
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:5 e# ]& u' u# ]' k3 R
1 3 7 9 13 15 19 21 25 ……( P4 B5 i! O# i8 @; }, X
9 A) ~2 w6 n( N+ x6 C6 m现在接下来的数字是7,所以把上述数列中每第七个删除,剩下的数列是:
9 ]. L! O* ?7 r' _0 L F2 m- XThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:' }$ a8 A, n9 P: J) R
1 3 7 9 13 15 21 25 ……
8 @; r9 l. p; U v# h
, e; n' I4 l' n$ U2 [, m接下来是9,……3 n% p) N. V! d9 d1 r# f
这个过程可以一直无限继续下去,被幸运地留下来的数字就是幸运数。) b! w* A- u: S- J& | s- K8 ~2 E
; ]: H L' M9 I% h$ x1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
2 w: }6 S& T7 m' c2 c/ g9 Y& T' r在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers, p8 R3 B5 y5 V' W) @2 y
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列:
7 @! x; m) U7 v- B1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……6 }- p, f7 G+ Y- j! Y' G3 W% U# z
) P3 K% }- }% M$ P( I7 {* ]有没有同样喜欢看数字的同学告诉我,你看了这个数列发现的是什么呢?0 j5 c( m% i2 c' H2 A- n8 X
# c z1 m% d4 d5 j+ g$ p8 w2 x6 A- C+ ~( Y
+ `, h* L2 w! _- b
第一个短一点的数列,我发现,1,3,5,7的平方(1,9,25,49)都是幸运数,但9的平方81就不是,于是马上想,那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢?答案是不,11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。
, S- Y: R. l u% c7 W
* Q; { {0 f' `/ F& o数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的,不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)。
3 |! _" ]9 P T$ i幸运数的挑选过程,类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程,同时也和这个著名猜想有关。4 l- O, O9 A. ~* i5 C1 o1 ?
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius",因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。3 X: a: e3 s. S, `4 w2 w; m
& ]' ]* Q, E) r+ L7 Q1 ?! D暂时就到这里吧,接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢?
, I" E7 D+ {: b* W" Z6 X3 E8 f0 w, ]) b! g
**什么叫做Conjecture?
! P6 ` x# Q3 L) x: M6 g& F8 p**约瑟夫斯问题。 |
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