小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

7 z% W' _1 i  s4 D# o1 i& r( K他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。
# G, `) H# C: }4 M! d$ l* u) A+ ~9 \8 Q
5 ^" k1 t" ^- `$ e1 m3 _所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
) x3 ?  z1 Q7 M/ |, {$ {/ l- p
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.
  ~/ d$ f- [5 k  j! i3 m
7 U$ |5 J1 N' M- \5 T: E0 j' l幸运数的定义
6 }& V( Y9 l" X% Q4 p& q+ k' ?FORMULA       
$ S7 Y! D0 J$ ?" x5 h: {5 p2 RStart with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
9 _5 H" S' a" D, `, F
+ V- ?8 o0 Q% n- D5 [+ B具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）

6 p& ?# j" s9 B% m% W初始，从1开始的自然数列：
# n( L5 C8 _0 X  D: B# D% e3 qBegin with a list of integers starting with 1:
1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……
" \& b, m( z, O' p  ]
开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
3 V8 c  X; I9 A) W6 n: I' S: i1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
# X. ^1 S' E- M3 A) |8 L
接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

0 {+ H1 \" K& o2 F# R2 L接下来是9，……
, b. t+ Z* ]5 h" [* W) W2 V/ t这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。
3 g  B' b3 X  R1 {5 I. N
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
$ D% x3 @( a# p: W8 X/ q' K在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
$ V. _/ `2 [3 R% i上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
) t% Y9 r! _' n' B3 v) F  f1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

& a; P# q$ e$ Y1 M( {% z有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？
" n9 {5 y6 B+ b* n
. w; S4 e9 P5 x7 @! ^* q. Z
' x3 D  B8 w5 a2 }- \
6 v+ |& I4 v% M) y第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
7 @4 \  P, E. G9 T9 C0 Y2 @幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。
6 l! x% _8 ]( t% Z+ E4 D
3 L+ {" I1 `- j暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
$ `& Z, q. b* H% F0 {$ `# F
" T; m6 |. D3 K( W7 ]! t**什么叫做Conjecture？
3 J* o8 l9 O6 l$ _6 D# n* H6 h* m**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）

猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）
6 e' P) x) E$ \0 ~$ o! C5 t
6 c6 u$ Y8 q. \9 M& z% E/ L假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
& H4 ]1 t* r. ]/ @" }, }
有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

5 M6 G& d2 G' \  B6 f4 J6 {. K
4 l, }" _) {6 F8 p5 D**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。
1 A7 X  A0 ?% m6 \
问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

' H6 `6 Q. B4 L7 j6 c! J
5 Q+ Z3 Z2 T5 [---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  

---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
5 E- J- p% y+ i- B3 h这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
4 a9 y1 m8 t: f9 g3 k据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
+ z; w# n& `" _4 f% g8 U+ \**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

3 t8 N, x+ v- K1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
( h8 z3 u1 S3 K7 |/ V
# }. _4 k$ ?, f! D8 D" K  B+ O5 X2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
: x2 N: n/ W* e8 U

我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
7 S" c/ X8 Y: J9 R8 x8 D& c& N+ m
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

4 j* a* W& a- I+ F+ p1 q) M. j6 C
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。
5 W3 l) Q" E# s0 Z" n  M# B. q
) e2 E' W% E- L  J- ]) H! Y7 j还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
3 j* V2 P1 I0 k( s" h
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
% Z0 o1 _; R+ b2 [9 `+ W
; J9 f! A8 Z# X0 B! N$ k一个小心翼翼的Java例子：

  ^- e# }* @2 }( H int josephus(int n, int k) {
$ Y5 R- a5 U" O. i+ S        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
/ [, q$ a+ c4 j' Z2 U) b          return 1;
      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;

" w8 S. Z* M" s/ k. h      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
" t2 h6 ~+ }/ v8 {  _7 r      if (survivor < newSp) {
          return survivor;
6 v4 C5 Q8 {: K# M/ z4 `      } else
          return survivor + 1;
  }

另外有个更简洁的例子
  ]" s8 |2 G+ `1 k. q- B  def josephus(n, k):
$ C. M: [- Q1 D/ ^4 H+ |4 D    if n ==1:
1 O8 ]  q# [' Z# h% N      return 1
    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）
4 y0 U' @& n! L0 b
以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution

2 @  R- Y! M+ ~; h  ]* ?4 t7 b" T
关于n的分析：
) l/ {- r/ M# ?设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
0 E/ h% [  F( ?4 S如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n)=2f(n)-1
1 i% n, b' Z: A$ B7 b1 x如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
0 M  l' ?8 J- x4 w( K) n" I
5 y, ~; b( F3 G, ~f(2n+1)=2f(n)+1

1 S0 t4 o8 j: v' b7 _
( f4 t$ H. e1 d5 x3 g, F. x' |如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

- y: M6 K- ^8 A% An    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
f(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。

定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。
& ?8 T; }1 q& ^0 S+ [
. O( V# U" ]" s. @2 x5 _9 M
答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
: @! y5 x$ d8 x8 n: p" ]1 T7 v
在 ...

我的推法就是这个：

  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
2 S, E" x9 n! J: H# o5 v- E, L( q不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
$ H4 W5 f9 v. ~# Q看不懂
不过今天不幸运数是17

& f' d7 t, P( _. }7 m4 @; b7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。

7 w% B9 z7 i. x, }* x以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

; V! p+ M  c( |0 `8 A9 o, S13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。