小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
4 {; l4 {  F! X5 _看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”
' ~/ A* h, p, W+ ^) T
' O- e/ _2 |  y# e8 b; L1 e% a他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

$ R% k6 G; X: I  l; X" e6 Q所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
; |9 ~6 x. ?- W3 s* V
In number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.

& j  G  \& }) [+ r2 ~5 ?0 x' W- M具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
. ^" L0 t8 ~* Z! J7 D+ V; r
0 i3 u/ f8 g' C0 t! d/ d/ \- f. x初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
7 ^6 _( v, ^1 y$ Q' Y( i% [! {1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

1 ]6 |% h4 x) b$ {+ L7 l开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
+ `( Y- R7 U3 `$ N9 ]( a剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……

6 d) P$ k& |( E3 j接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
4 B2 _8 h% p. R- [3 bThe second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……
- \- r( ?% G9 K% l: J
1 Y( F; A, H! k* Z& l9 _% D( p现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
- {% L; L5 t8 dThe next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

9 O& ^. V. V/ k: \9 W) o9 ^接下来是9，……
这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
6 s8 {. }2 v6 K( P3 W1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？



7 j/ w8 j; q4 J& H: [- S0 x. H第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
0 f. Q- X1 x( ^1 V$ j1 q0 e幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
3 W% @* o2 ]4 W" `( f! a" {另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？
) d2 ]5 `- ?& O' v- B
# V& C9 I% K& x* f0 X**什么叫做Conjecture？
**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
* q1 i" r7 {: t& [
& ]1 U  _# o, ]猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

: n; V7 h: q0 @! T' \2 S' t当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。

  a3 G6 G+ h2 X# O' ^2 e0 p% |猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

) k/ |2 T  _, J假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。
5 e, u7 s' z5 w' \: _
$ s8 u. U- `8 |: A# m# ]* X有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

' v8 r2 x  d' s
- ?- X0 F( G+ c0 [0 H**约瑟夫斯问题    都教授
2 n4 I! ?" }" F# }3 D6 \: J3 }
我们来聊聊约瑟夫斯问题。
5 y' A5 ?! U; b% ]7 m8 L! {: j
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
, C: m* J0 c+ s$ ?- g& I
$ U5 p% S, G! V5 _0 }1 U
0 ?2 g; ], ^- p---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
  |9 R' f0 l1 x
& g; N  {( k; C4 l5 A$ d---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
# M1 L# p5 g8 t. [" R, y6 H: G6 f' _据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。

! {( o$ X+ {1 X1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。
- E- r/ [4 s/ Q) R) m- n( H  l$ Q" o
) Z6 N) r" p4 J& N6 X, L; m7 K推的方法如下：

n=1，就一号，跑不掉的
n＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。
0 \. w. z/ r% y/ o

0 U+ J& k# D" o  r6 \3 f我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！
7 B. f7 \, r" A7 z  q
2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

) I. d4 S3 u/ n) d) k0 d
; }2 n/ J) M! ~3 D兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

! F" E! m# N6 B7 p还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？

8 O, ^# K/ y/ w/ a-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
, }; C. }& l5 _
一个小心翼翼的Java例子：

int josephus(int n, int k) {
' q" H! p/ |5 `+ d) G2 K# B        return josephus(n, k, 1);
  }
  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
. I5 C: G* ?! P+ T& O      if(n == 1)
2 I! f/ Q( N. B5 K/ q          return 1;
% G! p! B/ K: |0 }2 M/ y      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
0 k8 g) K2 B1 A7 Z) V  @
      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
+ r( {& N6 v) {      if (survivor < newSp) {
. {. ~' |" h4 u! s          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
" v0 ~4 c1 H* h+ q) X  }
, n7 G8 }! y  s* s. ^9 e5 x
# ]- q+ [' {% c另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
    if n ==1:
4 I) a4 b1 Q" L" }0 i      return 1
& `+ g5 N5 M$ v$ V% a1 o    else:
      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
4 k9 j( v( Q0 `- b- j" P5 I: P
* }& ^6 W: Z. K5 N5 h/ r（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

. S# v8 |! ~  w3 b; w以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution


% L! C4 h1 o; w关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
, q& r) }, f5 |* h9 y如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

f(2n)=2f(n)-1
' S2 ^/ Z/ C0 x如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：
9 L/ n- W' e/ g5 ^, {
f(2n+1)=2f(n)+1
8 {! {" O$ S! m1 E9 h8 Y
3 M: @6 S+ r  L5 A* C' x% N
% U1 H8 O9 K6 N8 H0 F如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
4 F  e3 ^" s7 |, P  w7 bf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
) ?; D3 ~% X: C+ }8 q
" S; u9 k: E1 I" J) f4 a定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。


答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
/ ~8 B5 ^1 {+ R兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看
: v+ u9 i5 v0 w6 `6 F
在 ...

" Q! e/ j* u/ D我的推法就是这个：
; B( T- H- R. V0 t3 ]/ d" g3 W) e' E
  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。

2 @  U$ h7 p5 |* W: Y9 u2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
看不懂
" h9 {$ ^5 b* w$ l1 a: s不过今天不幸运数是17

& M5 X& h0 t" i+ r7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
( C3 ]: W, K) S+ k
以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31
0 u0 d- }9 q0 ^7 l. e9 p
( E; Y/ t0 b3 l) Z) F13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。