小小的停留之四 幸运数

到处停留的叶子

上次说到  小小的停留之三 “计算机之父” 天才的数学家冯·诺伊曼
看冯·诺伊曼的故事，他有句名言：“若人们不相信数学简单，只因他们未意识到生命之复杂。”

他有个好朋友，据说是最好的朋友，是生于匈牙利的波兰犹太人数学家乌拉姆，这位先生曾参与曼克顿计划（核武器上有Teller-Ulam design，Teller指爱德华·泰勒）。他亦有参与研究核能推动的航天飞机。在纯数学上，遍历理论、数论、集合论和代数拓扑都有他的足迹。

( }; U4 @6 m" b% M+ W所以我在这里要说的幸运数不是中餐馆的饼干里给你的数字，也不是买彩票开奖的数字，而是在1955年波兰数学家乌拉姆提出的一个自然数列，用类似埃拉托斯特尼筛法的算法后留下的整数集合。
5 H( g9 V/ m, C6 l
' _8 Z. }# L, _0 b7 EIn number theory, a lucky number is a natural number in a set which is generated by a "sieve" similar to the Sieve of Eratosthenes that generates the primes.

( |; u1 @. D# |1 O, u, E幸运数的定义
FORMULA       
Start with the natural numbers. Delete every 2nd number, leaving 1 3 5 7 ...; the 2nd number remaining is 3, so delete every 3rd number, leaving 1 3 7 9 13 15 ...; now delete every 7th number, leaving 1 3 7 9 13 ...; now delete every 9th number; etc.
- M% W  E9 ^( ~2 V+ {- k1 L
# l: Y* T2 g9 q6 w! Y  u, b! z; s具体一点来说说幸运数列怎么筛选出来的（喜欢数论的同学一定知道挑选素数的埃拉托斯特尼筛法，这个办法是类似的）
- z$ Y; m4 o5 f; S8 r9 ?
初始，从1开始的自然数列：
Begin with a list of integers starting with 1:
/ @) m5 _" R) B& Z/ C3 Z1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21        22        23        24        25  ……

3 A# ^6 b% K( b0 z0 a6 x9 e4 E开始删除，在这个数列里，从2开始，首先是每隔2个数字，删除第二个数字。剩下来的数字是奇数~~
剩下的数列如下：
Every second number (all even numbers) is eliminated, leaving only the odd integers:
1                3                5                7                9                11                13                15                17                19                21                23                25  ……
/ ?% n5 _: W# }' |: N4 Y
' m4 M6 x( g$ g  t接下来是3，每隔3个数字删除第三个。剩下的数列如下：
The second term in this sequence is 3. Every third number which remains in the list is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                19                21                                25  ……

现在接下来的数字是7，所以把上述数列中每第七个删除，剩下的数列是：
' Z# w/ v# `6 i! f9 z* [The next surviving number is now 7, so every seventh number that remains is eliminated:
1                3                                7                9                                13                15                                                21                                25  ……

接下来是9，……
- y% P0 Q" v* X8 I. P  y. h这个过程可以一直无限继续下去，被幸运地留下来的数字就是幸运数。

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, ... (sequence A000959 in OEIS).
1 a9 F  w' x) m4 L. W在OEIS编号为A000959的数列就是Lucky numbers
! J; O$ {* w3 A5 m( C4 y上述链接给了一个稍微长一点的幸运数列：
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303 ……

( e2 y' n% _% t" k! n有没有同样喜欢看数字的同学告诉我，你看了这个数列发现的是什么呢？

" q* }( y; J' f# u' C! H( ?

第一个短一点的数列，我发现，1，3，5，7的平方（1，9，25，49）都是幸运数，但9的平方81就不是，于是马上想，那么是不是只有奇素数的平方才是幸运数呢？答案是不，11的平方也不是。于是叶子的第一个猜想就在几秒里被叶子证明是错误的。

! I" G& o2 I$ n& ]! a, ]7 }8 Y数论里的各种数列是数学里最容易上手理解的，不过最迷人最折磨人的也是它。著名的例子就是哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）。
0 D5 i* U% c0 a& J# u+ z+ U' D幸运数的挑选过程，类似上面提到过的埃拉托斯特尼筛法挑选素数的过程，同时也和这个著名猜想有关。
  S. @" F5 M9 p$ g  f: I' x0 Y# q5 V. Y另外幸运数也曾经在正式进入书面讨论的时候被建议叫做 "the sieve of Josephus Flavius"，因为它的挑选让大家想到著名的约瑟夫斯问题。

暂时就到这里吧，接下去要不要继续聊引出来的概念和问题呢？

**什么叫做Conjecture？
8 r: \& v( \1 |4 t/ h**约瑟夫斯问题。

到处停留的叶子

猜想（conjecture）和假说（Hypothesis）
  G5 _/ t9 @; j: L
6 ~7 |. `3 Q  c" @猜想（conjecture）是一个看上去是真的，但尚未被证明的叙述。比如说上面提到的数学数列，因为它表现的没有规律和无限性，基于观察的某些结论，如果不能用科学逻辑的方法来证明在无限的未来它都是真的，那么之前所观察到的所有事实都仅仅是看上去是正确的。

当猜想被证明后，它便会成为定理。猜想一日未成为定理，数学家都要小心在逻辑结构之中使用这些猜想。
. l! A8 L, T4 p& ?
8 p/ p) A1 z  c, N猜想主要因为类比推理和偶然发现的巧合而出现。数学家通常会使用不完全归纳法，来测试自己的猜想。例如费马曾经根据首四个费马数是素数，便猜想所有费马数都是素数（此猜想已被推翻）

假说（Hypothesis），即指按照预先设定，对某种现象进行的解释，即根据已知的科学事实和科学原理，对所研究的自然现象及其规律性提出的推测和说明，而且数据经过详细的分类、归纳与分析，得到一个暂时性但是可以被接受的解释。任何一种科学理论在未得到实验确证之前表现为假设学说或假说。

/ a& h" I: S) T/ ]1 L; A' i有的假设还没有完全被科学方法所证明，也没有被任何一种科学方法所否定，但能够产生深远的影响。如1900年德国物理学家马克斯·普朗克为解决黑体辐射谱而首先提出量子论（量子假说）。

农民家的狗

不明觉厉

到处停留的叶子

**约瑟夫斯问题    都教授

我们来聊聊约瑟夫斯问题。
- d8 ^4 B7 W" \  W: ?' x
有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？
$ [$ U7 @6 s; M; M& {* P5 h
) s  w7 D0 A6 q' ^1 q
---------------------------------------不思考的分割线---------------------------------------------
据说这个问题是一个经常出现在计算机算法中的问题，不过当年我读书的时候对它并没有特别注意。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。老兵和神牛肯定比我清楚得多。我就不多说什么算法了。牛教授 兵教授  
/ V, I7 r1 m, F) b9 ^; `
, V/ b; g' l! W' _; o---------------------------------------历史八卦的分割线----------------------------------
这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。
! a, B  A8 z# D) K  R3 x据载，他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意。   

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 06:50
**约瑟夫斯问题    都教授
% t; ~+ U6 V% P: E* S
& r2 z0 o8 t! ~* l. `: m我们来聊聊约瑟夫斯问题。

1 N5 X* |2 t. q4 B1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用倒推法硬推。但是，想了半天也没有想到不用推的直接算法。

推的方法如下：
3 {( v8 d4 r1 Q- c1 I+ {/ ]
% K! _, ]3 H6 a5 Nn=1，就一号，跑不掉的
" o- w) J" O6 [8 Mn＝2， 要站 （k+1） 模 n 那一号设a(2)，比如 k=2, 则 a2=1 （号）; 若 k=3, 则 a2=2
+ c' m6 A  |8 A- Q. X0 P' Y2 @如此类推，n=i 时，要站在 a(i-1)+k 模 n 那一号。比如，k＝6， n＝19 时 要站在14号。

: I" \! m4 D3 B5 V4 S( q; A, c- C
( c$ U  H. D$ w  J$ T我算到k=6都找不出更直接的规律，不好玩

到处停留的叶子

独角兽 发表于 2014-7-16 20:30
' a3 L# u, O( ]1 h; ?$ D# m1. 经过努力学习，这题我能用java编程做了，oh yeah！

2. 但叶子问我的不是编程。对于给定的k，我可以用 ...

兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

在维基上看到K=2的解法和还有K≠2的通用解法，这里摘抄过来那段关于n的有趣分析。

还有下面我抄了两个通用算法，那个java的是不是和你做的一样啊？
8 y" _- \* H6 X1 H1 C. u
-----------------------------不动脑筋的分割线--------------------------
# r! o5 j- |& d# }: k6 P, o
一个小心翼翼的Java例子：
4 Z  j) F2 Y) ]5 A) h
int josephus(int n, int k) {
        return josephus(n, k, 1);
5 u+ g$ \6 }: E8 m" \  }
$ B" a0 o% D" ~- E# D  int josephus(int n, int k, int startingPoint) {
      if(n == 1)
          return 1;
+ p7 u! g+ \- o7 Y      int newSp = (startingPoint + k - 2) % n + 1;
9 B( [8 m' X6 }
. z# b. C& Z, c7 \& d; d' u7 P      int survivor = josephus(n - 1, k, newSp);
( V8 Q) \' C  j( l      if (survivor < newSp) {
; Q2 ~) G9 w$ {* H% `- r          return survivor;
      } else
          return survivor + 1;
  }
& Z  p3 R3 q1 A5 D8 J1 t3 f
5 P  @$ _6 P$ j9 w- r* P另外有个更简洁的例子
  def josephus(n, k):
    if n ==1:
      return 1
    else:
$ I6 M/ u1 b4 A      return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1

（如果n这个数字很大很大，k很小很小，电脑会不会转晕过去呢？）

以上摘自 http://en.wikipedia.org/wiki/Josephus_problem#Solution
$ M, _2 d* Y8 t+ |( Y0 a6 K8 x
, z) B, e; ?7 F% T
7 s1 O, G# ~, o( v3 H' K关于n的分析：
设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置。
如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x - 1个位置。因此位置为f(2n)的人开始时的位置为2f(n) - 1。这便给出了以下的递推公式：

5 F2 R$ U  B/ v- i; {: \f(2n)=2f(n)-1
# ]) N6 h, B5 R8 o$ f4 o+ U7 ^如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：

4 ^7 w" A: p8 {: d1 ~, i2 ^- Hf(2n+1)=2f(n)+1


如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：

n    1    2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15    16
; |* A' {; H$ P+ c" E1 t2 F9 X  o: Bf(n) 1    1        3        1        3        5        7        1        3        5        7        9        11        13        15        1

6 Q  K# [! W( j: O从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0≤ l<2^m，那么f(n)=2 . l+1。显然，表格中的值满足这个方程。可以用数学归纳法给出一个证明。
5 @7 b/ I6 e! z0 a
: x) ?. p/ y1 @3 f" J定理：如果n=2^m+l且0≤ l<2^m，则f(n) = 2.l+1。

1 p1 C3 Z% Z) I: k- y4 J: L
& y* v- E5 g9 }7 U( f答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。这可以通过把n表示为2^m+l来证明。

独角兽

到处停留的叶子 发表于 2014-7-17 11:02
兽兽真是爱动脑筋啊~~我现在遇到这类问题第一想到的是打电话找高手解答，或者先在网上找找看

- R: A/ J1 G2 O, l# k在 ...

我的推法就是这个：
0 h( Q9 _6 w. ^% f
  return ((josephus(n-1,k)+k-1) % n)+1
: ~0 V" l: _4 T7 z% Y2 w" ?( R
我有一点疏忽是如果整除，模的结果是0，但实际应该取n。所以这个表达式把 "+1"搞到括号外面就完全对了。
: e: l) e9 X, }0 k
8 U6 a. U: N  n' p$ L) \$ ^2的情况我没单拿出来搞。

leekai

绕死了

常挨揍

看不懂
7 U/ B! U# ]- {+ \: S/ _3 _不过今天不幸运数是17

到处停留的叶子

常挨揍 发表于 2014-7-18 09:40
: R$ L+ f) C1 o% D' b) i看不懂
不过今天不幸运数是17

7月17日成了一个黑色的日子。很让人感觉生命无常。
- S2 I0 q# A9 T" x3 j8 X
3 v( h% m, ?3 X! u以后出行挑日子，要找一个幸运数的交集，这里前面的9个数字也可以参考一下：1，3，7，9，13，15，21，25，31

13号如果遇上星期五，还是算了，不要不信邪。