探讨数学与自然科学的关系

不爱吱声

6 m  K# q; [) a
2 a, a" w: [0 }' ~

    数学（包括逻辑学，几何学等）不能算是科学。

# J/ T/ d& X; Y' m! x; r, M1 m    数学是科学的工具，数学本身不具有可证伪性，所以数学不是科学。数学本身也并不具有描述自然的功能，描述自然是科学的事情，而科学是使用数学作为对世界进行解释描述的工具。这可以算是数学与科学的关系。
, s4 q# l+ H8 J
; o2 v& v1 H+ }5 q  e    我们大家都使用过工具，我们干不同的活要使用不同的工具。比如说，我们希望将钉子定到木头里，那么锤子就是一种很好的工具，如果你使用改锥效果就不好。同样的道理，当数学被用于科学的时候，也存在一个适用性的问题。比如说，大家经常提到欧式几何和非欧式几何。欧式几何的第五公设说：两平行线永不相交；而在非欧几何中，此公设不再为真。那么，到底谁对谁错呢？实际上，他们在数学上来讲都正确。但当我们想在科学中使用两种几何的时候，就分出“是否恰当”了（我还是倾向使用适用性这个词）。在牛顿力学中，我们使用欧式几何描述空间，因为欧式几何在这里更方便；但在广义相对论中，我们就应该使用非欧几何（黎曼几何）来描述时空才更容易一些。在广义相对论中，物理本质是几何，因为这里面重力已经与时空弯曲的曲率直接联系起来了，换句话说，使用黎曼几何的好处是，我们可以让理论更简洁更本质，这是我提到的，科学最终追求的是简洁普适。这里我强调的是，数学是科学的工具，工具本身没有对错，你用错了，那是你不会用。这样看来，使用数学根本不存在信仰问题，不是说你认为鸥氏几何正确才使用，或者你认为非欧几何正确才使用，而是到底哪个管用，哪个顺手.
* H5 @. [/ [' s6 K
/ _/ s. ]: {+ }: _' ?9 B* k    在科技史上就有一个有意思的现象，数学作为科学的工具的建立往往超前于自然科学的发展。比如说，黎曼几何正是早于相对论多年就已经建立起来，然后被附之高阁，大家不知道如何使用，等到相对论才体现出黎曼几何的用处来。这个与真正的生产工具如锤子的产生稍有所不同。但实际上这也体现于数学是工具的特性，就是工具可以是“当前无用”的，但不代表“永远无用”。你现在想钉钉子，改锥没用，但你不妨把改锥放到一边，等你拧螺钉的时候，改锥还是用得上的。这也正是数学家工作的真正意义所在。他丰富了自然科学可使用的工具宝库。

    此外，数学对于科学来说具有工具的特性还可以表现在：做同样的事情，可以使用完全不同的工具。比如说，你钉钉子使用锤子当然是很管用，但你也不妨使用钳子，虽然钳子并不是设计来“砸”物体的，但钳子的重量大，也可以用来“砸”物体得到锤子的效果。在量子力学的发展中也正体现出这一点来。大家知道，在波尔建立原子量子模型以后，德国一位物理学家海森伯，直接从光谱的频率和强度的经验资料出发，在1925年提出了矩阵量子力学。而另外有一位差不多同时，或者稍晚一点，奥地利的物理学家薛定掷，他改进了德布罗意基于波粒二象性的物质波理论，提出了波动量子力学。矩阵量子力学中使用矩阵数学作为描述量子力学的工具，而波动量子力学中则采用更为大家所熟悉的微分方程作为数学工具。美国的物理学家费曼，他的研究不仅证明了矩阵和波动两种量子力学的数学的等价性，而且又发展出了第三个等价的方法，就路径积分量子力学，从这里我们也可以看到，对一个物理现象的数学描述，他的工具与方法，也并不完全都是唯一的，至少在发展的过程当中，它也可以是多样性的。
( G/ Y2 ?0 w3 L, M) \0 ~% r2 {
  m( E" j0 I8 g5 S1 {1 V    我们提数学理论，更多的是提他是否严密，是否自恰，而很少提他是否真伪。

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海天

回复 不爱吱声 的帖子
, v/ F% L! y% b5 q7 L8 ?; k+ s
; s- p: z% k7 z5 Q* P啊，想加五分，发现不是自己的地盘。

各个自然科学分支有“自己适用的”数学工具------完全同意，前不久和我爸谈过相似的话题（他本科数学系，研究生信息系统）。

讨论到最后他说他感觉有些学科该“用”的数学还没搞出来，于是就先“借用别人的”，所以现在看起来还不那么可靠和成熟。

张声语

咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。

7 f2 E0 J& s% `) D7 _- f不过我老板和师公都是应数博士毕业，师公最后成了天体物理学家，老板现在我们贱桥工程系，所以数学对工科的重要性不言而喻。。。

不爱吱声

数学都是17XX年的旧货

17XX的有点太早了.我相信你要非常频繁地用到张量分析,这个是19世纪中叶才有的概念,20世纪初才发展起来的,也就100年.

7 [, q% ~* J) J+ l- s' j2 P$ r: u/ k5 U不过总的说来,当前的力学使用这些100年前发展起来的数学工具也够用了.想想主要应该包括常,偏微分方程,变分,场论,数理函数,张量分析.由于计算机的发展,现在力学偏数学方面的发展主要在计算算法方面,解决实际工程问题还不需要太"偏门"的数学.
4 R: {7 M, Q, l7 e! L  ]" s% V) B
" L+ Q  z' ?: _3 B+ k搞理论物理的用到的数学更"时尚"一些.

张声语

不爱吱声 发表于 2012-3-27 19:35
17XX的有点太早了.我相信你要非常频繁地用到张量分析,这个是19世纪中叶才有的概念,20世纪初才发展起来的, ...

2 N6 U3 {1 o$ e0 x0 ^8 c张量有用，但是也不是那么常用，我们现在做振动模态时候会用一些，但是大部分的线代和常微分偏微分都是太早以前了，对于random vibration和nonlinear vibration就是用统计了，而且现在我们主要是测试加数学模型加编程，数学完全属于基础，工程实际还是和各种实验挂钩更紧密

不爱吱声

张声语 发表于 2012-3-27 05:41
& M" e; U9 O, y% f7 _张量有用，但是也不是那么常用，我们现在做振动模态时候会用一些，但是大部分的线代和常微分偏微分都是太 ...

% R: ?, G9 N& @6 W连续介质力学主要就是用张量,听起来你可能作离散体震动分析多些,不太做连续体,或者连续体采用离散化模型

张声语

不爱吱声 发表于 2012-3-27 19:45
连续介质力学主要就是用张量,听起来你可能作离散体震动分析多些,不太做连续体,或者连续体采用离散化模型 ...

是的，现在连续的做得少，主要是变成离散化模型来做。。。前段时间组里有两个人做充气气球方面的，整个气球的充气管道也是全部离散化

PenPen

张声语 发表于 2012-3-27 19:41
* x0 e$ k0 f7 @' M8 t. x5 N张量有用，但是也不是那么常用，我们现在做振动模态时候会用一些，但是大部分的线代和常微分偏微分都是太 ...

3 a0 V" ~$ I# @7 D我有的时候会用到一些machine learning的东西，但总是感觉这种基于统计的东西很不靠谱，模型就像是硬凑出来的一样

橡树村

张声语 发表于 2012-3-27 18:58
1 J2 G  o& T) a+ J% q咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。
) ~5 ?0 X( M  d
不过我老板和 ...

" v; G" [8 T- C# L) Z量子化学领域数学明显不够用的。

gordon

% r, d: {8 E2 ?6 v6 R# t# F
3 r; g8 ^4 Q) ~. x- ?这是因为我们这些讨论者中很少是一门学科的开创者。
* D8 }" ~' }5 g0 Q
如果你是一个学科的开创者，很多东西就很容易理解了，比如你遇见一个新事物，你怎么对它进行定义。

它是一个什么样的存在？好，你定义了它是一个什么样的存在了，下面的事就好办了。

但是所有的问题都要考虑meta （什么什么之后），那什么是存在呢？存在的特性是什么？
& y, P. ~1 N/ e: d' c
3 X1 J3 [) r# i! y  o1 u3 L9 Tok，知道了一点科学哲学，下面开始我们的讨论。
, k. `5 x! V; v- g
这个事说起来很复杂，必须从科学史开始讲起，近代科学的开端是从批判 “经院哲学” 开始，衍生出经验主义和理性主义，后来到高斯时期又把神学给捡回来了。

  X: W9 a* K% L' E" d' w* [* K近现代数学，数学由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系。
; q+ G9 x/ G# ]  Q. G4 l* c/ P# d
数学的本质是什么，其实就是关系，描述各式各样的关系；但是这个定义不准确，更准确的定义参考 “集合论” 的定义。

# @9 [2 `& g' l& F1 v丹麦物理学家尼尔斯 波尔的认为，

2 n; c. P% s) q3 M8 s" A5 x“对于我们的主题来说，重要的在于意识到这一事实，数学符号和数学运算的定义，是以普通语言的简单应用为基础的。

因此，数学不应被看作以经验的积累为基础的一个特殊的知识分支，而应该看成是普通语言的一种精确化，它用表示关系的适当工具补充普通的语言，对于这些关系来说，通常的字句表达是不准确的或太纠缠的。”
' W' r( ?  J; ?& U( v

gordon

) T- V1 `$ C5 U7 f: I5 f
老外讲这个玩意讲的非常绕，老外主要就是讲这么几个东东，“存在、 meta（存在的存在）、符号逻辑（语义分析、语法分析）” ，

分析哲学包括两个基本派别：一指逻辑分析，如弗雷格、罗素、维特根斯坦早期、石里克、卡尔纳普所代表的逻辑经验主义或逻辑实证主义；二指语言分析，如摩尔、维特根斯坦晚期、奥斯汀、塞尔所代表的日常语言哲学或语言分析哲学。
5 J( }/ l! o( V; Z. }. t5 {
% e9 l* B' q( i7 O这个事比较清楚的要问“假如十八”，但是十八说的太倾向于哲学了，和自然科学有点不搭界，天天抱着“维根斯坦”在哪生啃。
1 e( z% j! M9 B/ Q. c" w' M  r/ r' _
$ H  m( f# X, q4 a7 v0 B8 N+ s这个东西涉及面很广，三言两语也讲不清楚，其实是我自己不确切知道，但是我知道大概就是这么个意思。

gordon

# v- R5 c3 h( l& m2 x" J. l
; e6 p# T1 A1 x% o北航的陆士嘉在普朗克的《流体力学概论》写的序里也提到一点，就是解决问题的办法是重视在实际中遇到的矛盾问题，通过实验寻求了解其物理本质，再导出数学方程，用以总结提高所得的物理概念，从而得出定量结果，并对照实验结果找出答案（就是理论计算结果和实验结果进行比对，其实就是科学的三种形态）。
2 M, P) l: ]4 n$ w1 t
反对在没有了解现象的物理本质以前，单纯搞烦琐的数学推演。

gordon

& O. D  p4 v  A! V1 \反正还是老生常谈的这几样，基础课+专业课，基础课包括：统计、科学哲学（语言学和分析哲学）、纯数学。
7 ]8 F+ |6 g) {
统计的应用包括对自然现象数据的收集，和自己做实验的结果的收集。
- h3 R# j: K7 J( v2 I! V
文哲理工测（量），或者是科学三形态之类的。

8 j: E- T& p( D0 V: G0 W关于测量多说一点，测量是理科和工科的基础，记住简单的一句话即可，没有测量就没有反馈。


其实，乱七八糟讲这么多，差不多已经知道自然科学是怎么诞生的，自然科学从科学哲学和数学中获取依托。

gordon

( s- ^6 q3 \: ~% P# s
数学的主要内容是计算和证明。在十七世纪，算术因符号化促使了代数学的产生，代数使计算变得精确和方便，也使计算方法系统化。费尔马和笛卡儿的解析几何把几何学代数化，大大扩展了几何的领域，而且使得少数天才的推理变成机械化的步骤。这反映了代数学作为普遍科学方法的效力，于是笛卡儿尝试也把逻辑代数化。与笛卡儿同时代的英国哲学家霍布斯也认为推理带有计算性质，不过他并没有系统地发展这种思想。

4 s6 Y7 i% w. C% Q; y3 e现在公认的数理逻辑创始人是莱布尼兹。他的目的是选出一种“通用代数”，其中把一切推理都化归为计算。实际上这正是数理逻辑的总纲领。他希望建立一套普遍的符号语言，其中的符号是表义的，这样就可以象数字一样进行演算，他的确将某些命题形式表达为符号形式，但他的工作只是一个开头，大部分没有发表，因此影响不大。
0 Q* _, g9 j0 s) `/ v: c
% M8 G1 d* _& C8 ^/ M$ U数学经历了几个阶段的变化，开始是建立在几何的基础上，后来随着时代的发展建立在代数的基础上，现代数学建立在逻辑的基础上，说白了就是仿照代数建立了一套更一般化的系统。

* N) d) s' q0 P算术的一般化、几何的代数化、代数的符号化、逻辑的符号化，逻辑的代数化（推理也是一种运算），最后演变成逻辑的代数化、符号化；现在回到我们的问题，那自然科学为什么要用到数学，因为数学是一种推理，是一种严密的推理。

就爱抬杠

数学是抽象的，而抽象的能力是进化出来的，教育小孩子的时候，能有比较明显的感觉

gordon

' Z# H; q( w. ~8 J
基于数学形成理论(theory) ，包含以下四个步骤：
1 [! l# `  E0 M' [
    (1)特征化研究对象(定义)；

7 |3 H* N" `# O$ N- a4 _" [; |    (2)假设它们之间可能的关系(定理)；

    (3)确定这些关系是否正确(证明)；

, D# c. t4 x$ x  b4 T: T$ R    (4)解释结果。
0 E( d7 g* m- I+ u7 y
" y1 K  n+ k( r0 B" p0 l基于实验科学方法。按客观现象的研究过程，包含以下四步：

2 o1 ?' p% g3 X7 r2 _+ m    (1)形成假设；
: Q" a$ a5 ?- Y5 G; [* k* j. E
6 V& t( A( D# ^/ [7 ^  G" K+ `    (2)构造模型并做出预言；
8 V0 y' m6 Y7 K) x0 x9 J; i
    (3)设计实验并收集数据；
5 g0 p# {' T, f3 U' [3 y! V
6 P; S: S9 q8 L6 }    (4)分析结果。
1 d, T4 x3 a4 |/ g7 y
/ X1 }/ \! A* o: l: J    科学家们希望，当模型的预言与实验结果不符时，这些步骤应该反复进行。
1 }* v& N2 S3 F+ V' v
作为一门实验科学，自然科学的预言或者叫做推论，和数学息息相关。说白了，其实也是逻辑，就是我“先验的认为”或者假设，或者叫做“抽象成这样一个模型”，我推论这个模型还适用于其他自然现象，然后用实验验证。

辛常诚

数学确实不是自然科学，记得网上还有人为此批驳过不爱，好笑

辛常诚

张声语 发表于 2012-3-27 18:58
咕~~(╯﹏╰)b，现代数学超前自然科学太多了，我们工科现在用的数学都是17XX年的旧货。。。
  m) G! [) I- L5 C. a
( W2 z" {' A9 U, X1 j- f, X6 s9 M: \! F不过我老板和 ...

% h! W7 P5 Q- ~6 l, P. n; t4 W$ O2 L这个显然不可能啊，概率统计那时候都还是婴幼儿呢，你们不是需要用统计吗

张声语

辛常诚 发表于 2012-3-29 19:25
这个显然不可能啊，概率统计那时候都还是婴幼儿呢，你们不是需要用统计吗 ...

* x& T, l. _6 Q  I" K- M" H( \统计不算在内，比如振动声学的基本公式推动基本都是用大学那点高等数学就可以，振动里面的Statistic Energy Analysis是近现代针对random vibration开发出来的，也要基于这个高等数学公式推导之上再加概率密度函数这些东西。。。

gordon

( P4 [% Q* z! Y1 V) k
神学为什么会被引入现代科学研究？这是因为神学在研究“上帝的存在性问题”上有大量的积累，
9 Q- |  W6 |8 @
0 L% J+ a3 p3 a0 D6 H3 W& _所以就把“存在性问题”的研究成果引入了现代科学研究。
" e; z: f' \* R' C5 A2 y7 g0 F
不爱说的，“理论更简洁”这个就是神学中的奥卡姆原则，“如无必要，勿增实体”。
2 t. I/ v' O$ k! S: ^