此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

4 @3 Q" ~+ t6 i6 g$ I* t. K其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
9 b7 D8 a1 g8 Y4 @; G/ K! w. z问题就是这个人的表述
  \$ U8 g2 D+ T8 j  m/ L7 `$ Qhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
9 A, Y, i" c0 W: _. y
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
+ G2 `- E* e1 [" O
$ w( y/ ?& x6 F+ k' L没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
6 J% j% M) `* Z! ], v& H
5 k  O+ c, q! ?老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

- A1 A+ j' ?' o/ z( M" l/ j0 d7 k7 [
( R: r6 W. @+ U8 b您对答案的理解似乎有误。
* v! y$ R$ m9 g! i随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
& |2 Q' K3 P/ s6 M* S+ o0 H
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
$ j3 @0 M$ m* b
7 i2 m' K  a1 b8 S然后从头开始：
, y: m* x  M, b/ `4 tE(k|k)=1
$ x4 j, j1 `8 v1 C9 K6 X& b9 e% v; J2 NE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
- C7 y2 o& b! U. H. J5 L- CFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
/ [$ K" x. S* e: p, [+ N- ]; g' R/ q: n而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
9 p6 V# i* h& s% k# u# _是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
2 r# E* D% r' f4 _! ~7 M
, S; l( G! w5 H, u( u" V6 O# H# x4 `E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

- B, w* B0 {; C) B
4 I3 T- h7 M# p, R! Z% k/ X3 a! i0 ?递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
/ t1 _+ Q9 `% O2 a$ a1 M  P( |# I递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

( [0 H2 s% J2 w6 y6 k

老福 发表于 2022-3-26 12:01
0 U8 \' Z0 r4 V其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

+ U; M! P- i0 b9 A# R
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
  y; O+ J4 l0 P
/ w- U! c/ q3 `% f: _7 W, N- A而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

. Y+ s  W$ v2 J) ?Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

3 Y9 {) ~1 C+ KFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
! Z8 H  A5 b% `8 U/ {  c
* Y  T7 h( `. zFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
4 V+ f- {& R9 W! l: f
% T3 @7 }$ X" K' [9 d+ OThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

7 I, }0 f' d9 Z, L+ E1 H( Z' C理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。