此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

& Y& o" V3 K9 i3 d& E1 A其实是个概率问题。
  H* b% e+ g# x2 t那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
0 `" J. H9 w  Q9 B/ v在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
8 \, q2 X! r' d* x; I5 ahttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

/ y, Y$ U' V3 [( l% \" S" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
/ G7 O! S3 L8 M; c, R$ l+ v  p
/ K% E1 z- p! m- G+ B没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

9 F8 O- o# l6 m/ m老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

/ _3 l$ N8 O3 v% z您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
4 S: K3 t% j& a. [( D6 f2 jE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

5 \. R; m; B- p- U. X/ p9 F7 {原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
+ B' v; }: `# S0 \2 r- l/ ~" D您对答案的理解似乎有误。
+ W6 S' T* X( a+ v$ D' g" q随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
) ~; }  S) D5 M1 X5 r7 z是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
+ W. p+ L: {2 P+ d; c) [: Z这个题目可以用递归的方法解决：
! j" w- i! I) Q, T2 s
8 G+ u4 F. I* G, mE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

7 i- l; M" `4 F7 H0 t! ]6 ~
; V6 L- e' l( o/ _( R" Q递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
# T/ o4 B! z7 P+ D否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
4 a# B" ~7 U: Q, Q& X/ v
: s' N% \2 V! j; }& a! F$ M而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
+ f# l+ m+ x/ |+ G/ @+ N1 m所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

- H% S" n1 H0 B7 h/ p/ d( vLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
; t; f& S% A9 i5 T) @/ J7 `5 P
- K' |! S+ J0 d# L0 A6 Z+ Q% L0 O- N4 y. sFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
" I! Z$ G3 F4 _2 B; k
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。