此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
0 C; ~+ I, y3 N8 Y5 _那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

. \9 H7 V$ R5 \7 d0 V按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
* }3 w+ Z8 X5 P8 r7 x! p& U
8 i/ a# \* T+ j# S; A  Z没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
# k) \7 Z* g( m. L# B
+ U- g7 H7 A3 M, _. H老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
, m' a3 b6 i; Q0 ~0 U$ g! _' S所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
' Z$ e3 q; ^, J$ n" ]- u0 I而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
4 J: h" D1 L8 B( z! N1 E您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

  Z, w! G- r" s! ?5 zE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
9 A- J4 i7 h5 i3 H8 f! ]+ ?3 R
然后从头开始：
E(k|k)=1
  U) f2 H5 ~- o7 S- `, _E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
* C: j: `/ e3 Y) o! S; O$ Q. EFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

# u- F4 a  N8 f) u3 }; p7 i原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
" @& \, O) R5 F0 i您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

/ T  {7 F' s$ G7 D) |6 Z明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
9 o' \5 h$ n# ?2 ?& r多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
4 P6 n: X: O$ M2 I, I; _+ R这个题目可以用递归的方法解决：
! W. G+ L# n, b+ O6 n, n: r: }# c" q
- q: Y: [: t+ O% Y. vE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
  x( G9 z& ?7 y; M, _( |递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

5 Z+ T! o. I! p

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
9 G$ B% K# r: \否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
6 }# C) \/ L- T6 k2 k$ Y* ^: h
' Y) g3 G( @5 u7 d而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

9 X8 ?+ n* j; ~& ], vLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
8 F0 b5 {9 y+ `9 D% k' b* ^+ J
; h6 ]7 a  I- _( F5 |5 C: m5 x7 NFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

1 w# o: B- {0 ^" Q  O& eThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
( U/ f' b3 c: v
* W9 a- ]) ?9 L- ~理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。