此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

" G0 d) J7 A0 C2 Y& L4 h3 t
3 z' h/ _0 u+ k' K其实是个概率问题。
6 B: |0 S0 ~. N8 ~  X. a% i+ O那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
5 c& F9 u- B* I6 }1 @  ]在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
/ C% q1 \: ^+ M: ~* v: [问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

' s4 `' e# ]2 S' h按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

2 u' G6 o' h+ g2 ~# p' F" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

' U  x' A# X) w0 V' I没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
6 B0 s( S, [4 W/ i5 \/ @- }, d
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

6 n6 ]; `, K; F4 _5 D8 h! U
: h+ w2 J( o6 E您对答案的理解似乎有误。
) s2 s1 z% Z& _) N9 C随机变量X是测试过的元素的数目
+ R- ^& N1 q, C6 W& ^8 z而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
0 F1 E. ~  m7 x" r" u# y* R& j) {所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
+ }  x3 h/ ?( _; f
: D7 s: Z: C$ X. |* N- U7 x然后从头开始：
  l2 F8 `+ C' V& ^+ U, \, BE(k|k)=1
; h9 V! w' a% l9 e! O) ]E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
) ^6 P# j& Q- k, i* v) h# d% q0 O* lFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
& m: x3 J( p& J; p
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
5 |6 o% P- u% P& i4 i您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
$ g: k- E2 ^, [% H/ a+ X而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
& d+ u1 h; Y& x% j! ?是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

0 T9 P$ M3 g# e# G- d5 @7 A3 nE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

7 p% T9 v9 J; \3 _: b$ \递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

( c/ `# `8 w. m

老福 发表于 2022-3-26 12:01
0 Z' r3 `1 B+ Q: I其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

" |( j/ t- n. v4 j8 g9 a# u我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
/ ]+ ]: d7 o: e& k. p4 l0 b! J
4 t2 J6 `/ x) O; \而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

7 f6 H* x& t0 B0 DFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
, \) f3 a9 }) ~) {9 l
5 Y0 g7 F7 k" B' P) t理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。