此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

+ a0 S* I- ^+ i, w. {3 r6 t其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
  f" s! x9 U. {7 D! H- w7 X问题就是这个人的表述
1 p; m# z2 E% h3 ihttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
0 d8 J$ w& [) s
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

# M9 {. M  T! t8 p% `% r" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
3 z0 z1 T6 c. J' e$ A1 W4 a
/ H) c9 w' r) V) r: g+ L没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
( l4 Q. I( J1 l& _- q& Z( r* u0 b
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

! l/ u  V9 w; z$ p
" y, Y! w; o! u您对答案的理解似乎有误。
8 |8 W) E6 P0 w4 R- U% e随机变量X是测试过的元素的数目
) e) R  W  {+ g# y3 u而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
- S) p6 z7 I/ D4 e) a2 u, G( }* C您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
2 A) D6 ]5 k% T% d$ s7 ~
3 W% ~4 x# r/ }6 E: @! ]4 P8 xE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
$ v; C9 v% O  x4 n
0 E* W7 O: c( k' |  F& @然后从头开始：
E(k|k)=1
- ^. f1 A+ l- P2 lE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
; v5 R9 S" b% i" mFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
8 u6 |& m2 ^2 t: E9 D: B2 `2 d
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
4 a7 \. Q0 _) j, S8 G- J- N. `, T您对答案的理解似乎有误。
7 \* P2 c+ a: u% `: G6 }# ~' O; \随机变量X是测试过的元素的数目
& X9 V& r' ~$ i5 ]5 H1 u1 x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
8 m) q" B- I" J是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
& J8 w2 c! ^- H( I8 E0 i  m这个题目可以用递归的方法解决：
: V0 G! W; N, b9 [
- a( a6 a9 y9 g/ L6 XE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 \9 H/ P+ [: ^* V递归法也是可以的。

8 o6 G6 C0 c; {  F: U2 i其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
) U/ q5 M% P. |3 M其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

" f3 J; r5 h, n2 F
: g7 r. A: x: I& L, }! T; N5 H2 c我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
- ~+ Q4 N' H7 Z1 ^4 s; z
% Y7 G: u9 M1 P) z/ n- G) w而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
; T9 Q  c8 r2 E9 p( g所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
/ h8 M7 ]+ Q9 a$ a0 Y8 K
2 Y3 s$ R! q9 E3 m5 ]Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
# a: P/ |! m' a1 N
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

0 \& G$ n# z5 @+ SFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
. b% ]3 n' e# W8 z/ s
, ^6 l* b& Y' T' p) n' V" ~% L& RThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。