此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

( `4 r$ k: e( O3 Y
+ Z. V  V. `' Z7 V7 a& K其实是个概率问题。
+ j8 W5 o' \; H' L那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
! I8 J2 j$ q" o
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
" I! ~5 y! E% n2 H; u
! E+ W* J3 J7 J* u: c. h" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
1 P3 e' ]' Z: C1 l  r6 D1 Z
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
7 p& K6 o, L. L  _) q* e3 N而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
$ e' |% d5 o! a7 G& h而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

0 ?% c% t, H2 y/ |E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
7 y: ~% C6 y$ C8 h1 u# m  JE(k|k)=1
9 M4 N8 v) {) tE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
3 N. W$ N, O: y9 U6 y- PE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
( i+ N; [, o4 l! c" NFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

* x& o3 g) b) }  c( ^原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
2 y/ E. e5 \/ A5 C3 H6 [; P2 I8 W您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
8 w7 U$ R6 a4 K- A5 U4 b而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

( {% H- W, [5 x9 c* F明白了。
) d8 Y' D$ H) o0 n8 w+ J7 |; [% b是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* {  @9 d2 N8 }  p' k多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
% d" c; t2 J4 P& n  k1 p这个题目可以用递归的方法解决：
: {& x: z) ]5 i- h) I
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

& p( _0 r/ g' l递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
# }: b4 b4 L+ I' h' t递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

4 I  \5 L) L: p$ K; Q: k

老福 发表于 2022-3-26 12:01
/ ]4 |8 F2 U9 m- a* z, Q其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

% N3 y9 a8 i+ c$ m7 }6 c4 `我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
% w5 X4 ]! J. `3 O# N0 M
+ P  r4 w  i& E3 }6 B0 S4 D. y而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
" L/ m3 G# {* p0 h' x  ]所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
3 T8 B) D$ m( @" n- k" `
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

( X& Q+ e8 k1 K4 a( {$ Q- a* {& h理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。