此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
$ ^4 J8 v' H6 D/ v0 ~# @在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
2 N3 S* x% J+ x0 I* r) x- d问题就是这个人的表述
, l( e6 d4 x5 Bhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
/ h% m& i* x, H8 Y! L
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
- y- {( u4 l# U: B- h9 v+ [而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
' F! z7 u  C) V4 N, z- z$ b) r而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
  T& \$ g# L* \  _您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
& B! l0 O( u/ J" ?) S& k% K
7 t, q8 i# z) r# i; F, S5 {" SE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

. o2 V4 U/ Z6 d5 G: s4 V; c然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
, L7 \" J) Z1 PE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

5 i2 c8 s) O% q8 W* m+ H) J" A原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
  L* O! [2 I2 E' d; @您对答案的理解似乎有误。
' S; G* }8 w; |8 B! c* }随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
) L$ N1 \9 V1 e4 \+ r是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 Z# B' ?$ d3 N- T9 A多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
- O) U* @& ]" x+ H5 m1 o$ q9 U$ M8 @这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

0 s4 s1 ~( x0 m+ N( {4 c/ B
+ S* j1 Q) z( I% X递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
! l) y. N4 B2 C9 [递归法也是可以的。

  `8 }1 r; }- \$ H( E" O其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

1 D* q2 V( R1 K$ F3 `8 }

老福 发表于 2022-3-26 12:01
; l' r. l8 s  d6 @其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

0 W5 n8 Q0 W6 e
' a" {& T9 K0 v* n1 |我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
1 i( b& A" i9 T5 x+ S
$ H4 X; j  \6 F7 M" R而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
4 L& O! q3 _! D. K. {1 Z
: V: X$ s/ [) B6 X* nFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
6 z! [8 {! Y/ ?0 S& S6 s  ~
# ?  j; X. o; ]2 w. PThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
" ~6 `$ P' k" D
$ c, t1 i( s% r& O) O理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。