此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

3 I% y  e, O" x7 f9 c6 J& \
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
/ F  O: `4 x5 f8 P在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
+ X8 O& P3 u& R+ F
- k! q+ A# T& w$ f3 X- R& h按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

9 S- h* }/ _2 J$ x" z' H& R# b% x没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

7 J! ?9 l8 t' C( u4 l, Y' y老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

+ r/ m# `, N5 L您对答案的理解似乎有误。
  O) n& p+ V3 Z: C# g随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
) p, c) \( |9 I3 N& p* N您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
8 i* u' {+ X* g$ Q* P) j6 C
; H1 @, W6 `1 @$ lE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

0 z+ l2 `5 Q- j& J6 w, Q  }2 s然后从头开始：
7 G1 W; M' n/ i, t& jE(k|k)=1
1 g) p1 Q9 h, U' k7 ~/ h9 uE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
* S! j! M! g+ l+ c( ^- _; w- wFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

$ G9 P- o* d: |原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
) c8 c7 I6 Q* m, c您对答案的理解似乎有误。
, M6 U$ @+ R. f( ?# a& C/ D7 d& l1 {随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

% {7 A8 |( Y# F4 L9 z+ w明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
2 }0 l4 u$ D7 C; ?% Q7 ^  I
6 {- Z4 q/ @: [3 R) r0 ~/ uE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ J1 }1 X% ?2 G* u; k' o7 h# \! q递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
5 V5 ]0 ~: c" z# w2 k1 y) K/ k& `递归法也是可以的。

4 z; }; g. A' ^# {4 A4 T  F其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

5 R7 ^1 b  w% L) q

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

' ~# L6 X# F" R
9 p7 ^( _+ s- H4 q5 ^8 j我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

. ]% J: T, ^7 a; R. |/ q5 ZLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

7 ~; Y4 K0 |7 ^For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

: O* ?" I2 m  Z: H; i2 u# {0 E# {For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
8 B' S4 j1 |; Z- ~) K
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
& G; G# [2 ]$ K" S+ U' r
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。