此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

5 ?" J. D* E/ [4 L# p- c* k
( T2 R; d, P5 u9 ?$ X其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
' b* u, r; V' j% N问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
+ u) k9 U, V$ }2 Z5 l
, U4 t6 U% ]' d7 j) u: z. m按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
, `. ~' u0 _5 T% P! p( g6 P/ m
8 `+ f; q0 ^* x# Q' Y" C1 s" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
) Q7 u* T. E5 v$ Z8 a* }% e
, A' Y4 y$ y9 O没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

2 D9 @) S! ?0 q, A您对答案的理解似乎有误。
% n( o& k  x, r! l5 D* M% `随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
0 a( B0 W2 |! {- d; ?9 B
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
! r; \0 B, `+ yE(k|k)=1
1 Y6 Z, R3 ?  BE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
: W& B8 ^8 ?7 H9 D) i$ x/ D' w3 _# }0 ?" pE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
: s7 @4 [' e. \& U
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
/ ^; c! y# x6 x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

7 \" B4 Z# a* ~, G! }. `+ d明白了。
- k! i" E8 B: t* l8 ^是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
; j8 w& S. _$ l( T多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
" v, V& P$ O- O" q8 \3 J这个题目可以用递归的方法解决：

  D8 p, r! P2 h  D. [" f+ xE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

% r8 q' N. G( [/ Q  @' a递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
% u) e2 U7 I9 W# ^& T7 s/ |" d3 d9 J- j递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

, V5 _& ~8 `3 R' ]' q7 m& @. d

老福 发表于 2022-3-26 12:01
5 t+ j  G1 t. Y其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

* V, {- D, i+ l& h4 z我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
8 ~' R$ W) W, }& t否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

2 O4 S- k, K0 O- s1 |  K而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
3 w8 C# ?+ x4 E9 a
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

$ Q; ~7 Z3 C. Z2 M. D# A0 z/ WFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
+ ~) C- g* ~1 O6 K$ V! m6 ^% D
& @) }1 Y) n5 s- {8 XFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
. t7 K. X6 q4 X1 W, m; t4 E  w. f
) |3 S( V, b( L/ j; w* U0 g/ f理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。