此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

2 k9 K# r$ n: ~5 K4 X% j9 K8 k其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
/ N5 B4 G$ M# u+ H' V问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
7 s3 h) v+ T9 |3 a" W
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
% r  P" _$ P( t7 t2 c
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
4 H; N; i  C. z1 v
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

4 A7 l& O3 ~, C! d: T8 Y
您对答案的理解似乎有误。
2 a1 X) [2 S" b9 Y随机变量X是测试过的元素的数目
: j0 {. b) E! U/ n: _7 q# ?! C而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
, d! o2 s3 |! I7 b所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

  J7 X% p5 [5 D2 P3 G1 G3 H: aE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
9 W3 F% q6 @: r0 BE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
" n& ?3 h" x& M6 {7 EFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

" K, h6 s9 W& F/ q0 l- [原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
1 H2 n* k* c' T您对答案的理解似乎有误。
7 E! M  v8 a. j! f' d随机变量X是测试过的元素的数目
; j" L; c8 x3 {" i0 M1 S0 b而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

0 i$ D9 I% S4 Y# |2 U2 e7 W明白了。
# u1 H5 O  m5 n- M  S, s/ m是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
$ e, j1 E- V% @1 u这个题目可以用递归的方法解决：

  h7 y1 r( \! l. v6 xE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 S% p2 n8 `1 o4 g, I4 k5 @9 g
4 k2 x9 a8 U. q# s# {递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
- Z9 s3 v! f& M# {# w递归法也是可以的。

& X4 q7 a4 Q9 H% M: q2 S$ G( ]其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
$ i8 z8 s3 x8 d* E* n* q2 c其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

/ p* g* x+ B6 a) C6 p4 t
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
+ t8 \9 V0 T/ G8 p所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

2 r" ]$ @9 \- p* S" bLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
) ~2 K5 N" |1 U
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
0 z4 U; u; A; b) D4 x! r
" R8 u5 ^/ n6 Q4 l- x- ZFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
  g- F  K0 A$ O# S" W
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
* \" R2 b& H4 m
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。