此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

1 F, U5 @1 D3 b# I6 x* A) }. n
, F0 J7 j2 P; Z( Y) a其实是个概率问题。
. _- h8 e8 T4 T/ q# A那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
. a* b/ h" i0 h, B# L, ?- l问题就是这个人的表述
4 {" O+ W. G. [  }/ Fhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
2 {, v3 \. C9 v' s. b! z3 V0 @+ t
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
( \/ p% P% _) T3 u. {
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
" b( K8 t5 P5 w0 C
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
' \- Q: I/ A/ Y5 J4 q/ i4 N
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

  D& T/ G) i3 Z, q, q
1 l& F5 R/ k8 c0 w您对答案的理解似乎有误。
& U! Q+ ~8 r5 R2 l# [1 u6 ?随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
- v: D; K) C( F1 c4 U, j8 V您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
* i5 f- n% t/ m
) z' h/ [- D; J5 T& [E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
( {) o8 @6 j, x0 x; Q1 d/ ]% Z9 fE(k|k)=1
& T3 v4 |2 Z6 d- c' ~3 O3 R& UE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
5 A1 M& ?2 k1 KE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

* N+ C7 ~9 l+ ]5 Z8 p原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
' n9 L6 [: A0 v, z# h1 F7 w您对答案的理解似乎有误。
7 w0 q7 p6 I- ?& m随机变量X是测试过的元素的数目
7 {8 X0 K2 @0 C4 k, D, A而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

- J* J, K7 s7 `& @明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
3 w- S! q2 {; p6 k4 d& Y6 R" K这个题目可以用递归的方法解决：
3 _, ^2 l: G0 l0 y" `
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

" {- s: R/ |; [$ c; d递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

- n. y9 J+ c0 J% ^* s; ^3 w8 _7 w7 V其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

5 |% X+ D3 ]+ K9 i0 h+ d, W- a/ u# l我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
$ r6 G) u$ u1 |  ~% U. D) O' }所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
$ x# C( d( `" T% E
7 {4 U4 H# a; A  Q( MLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
3 m) a9 }$ z1 ?0 `
1 U4 `6 E0 r; h4 |. S5 NFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
; t& O8 q- K: L  O
- Y1 Z  Z! a0 nFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
+ P2 r0 q4 j& S
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
9 r  Q. h/ r: W, [3 ^5 \
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。