此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

3 I" n- U# ?, t. m1 R) \
+ @# U2 G2 m' m6 b) \/ v8 J其实是个概率问题。
/ K3 N8 U( W* [6 M' I那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
% f1 L0 m2 e" I4 U4 Q2 z问题就是这个人的表述
. x+ L; r. u5 M4 N; Thttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
& W: R5 Z! s8 A( E
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

1 ^6 X0 m8 K4 v! C" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
$ v5 p; r# D* ~" R( o* B% l  j& ?
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

& s# ~% r/ x5 g; |5 s
4 \, j# ^* t, T/ W; A您对答案的理解似乎有误。
  b& A5 z# R/ W0 ^随机变量X是测试过的元素的数目
. g0 J$ T5 `' Y) i而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
  x5 @& \' [, i8 U) S& M  L所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
6 V4 A0 o, [8 K; l4 s而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
" K) _" |8 e" h0 Q# t% D9 WE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
; ~: J* e: R7 [E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
* R+ ]  M- H* f# e/ ?' d: Q2 b& x随机变量X是测试过的元素的数目
4 \5 O  j/ F0 T4 Z/ j; @. M而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

! ~7 M- A7 y3 B+ R3 [+ T' }7 z/ ^明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
5 Y& \3 v7 P% W7 M' G多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

3 w: s8 y0 c2 @7 nE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) H: |  w+ u& b9 v9 k6 l- n" c递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

9 s. j1 b0 E: p+ d

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

- Y7 \; Y5 H9 O# _* X3 ?& l' e7 e我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
: a3 X2 Q! n' F  M+ t+ C
) Y; `; c2 p3 u) T6 T; k/ }Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
8 y0 m. l+ A- N
# Z  X7 o1 W; E# U& i. fFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

" l; i3 D# \2 K, P. t" U. WFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
( l2 K7 _, Z0 O3 G2 @
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
8 \' G+ h+ j7 O2 W
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。