此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
- |. \; A# f% J, X在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

- T" r  u9 ?3 Q0 k按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

9 j! Y! n- y/ X+ E1 J; K" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

( n" ?4 A: {* |$ _1 ~+ Q9 z没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
. o' V2 V# h0 g, ^: ]/ Q
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

3 k' ]/ F8 z* ?, N您对答案的理解似乎有误。
3 Q/ {1 T" i" D随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
$ ]! K; z; E3 z6 q而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
; P% n8 f( _' S5 g( s3 {( L! S您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

) p5 m; B$ c' E/ q5 r( K3 o: nE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
! }+ f& \% h8 hE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
' N+ Q! L8 D8 vFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
4 Q$ g' ^- g# g3 [1 U1 j5 j; ?- S# z; c您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
+ d4 ~" A; b  }$ E0 L2 k而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

* Q  F+ L% ]* {# z$ B' I5 r明白了。
- K1 c. d5 F2 E0 Y0 H  L是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
/ c9 {/ h: t: Y+ H  Q( N+ U) _多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

+ E# M+ F! j; v* ?5 o) oE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
2 E( t+ v3 {0 l2 u- ?递归法也是可以的。

, z2 x8 R6 G/ ?7 ~" b其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

/ l7 z! Q' @6 S% `8 \1 Q

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

- q4 Z! Y& g; r- W# x
6 m8 ?- x6 [3 J, q0 m( G, t) \我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
, ^! G" u: @7 d否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
! c% k% {8 c# ]$ f! c
4 H; c8 M9 _$ Q8 H) E# Y而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
( ^: b5 ]5 S: ?, R所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
+ d+ ^5 ]  M# G, @
- a! o) K5 C6 s  BLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

9 j6 n' L8 {1 ?! u% ~& O3 r" @For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
# Y# n1 X1 T# E# q# r% Q
  t6 z1 k0 A) a5 e& g* ^) v. k7 T$ ~For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

) U! Q0 ]; ~5 d0 d& ]" @There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

/ l4 Q" Y" E- Q% B- p理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。