此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

) H$ G* V4 h) o+ T7 q) p
( u. U9 z7 M4 d# Q其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
, F2 g: U5 z: n3 V
. ~7 H7 X; a7 N+ J4 d7 A按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
+ Z4 h3 x0 k- d" @) B' g
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
9 ^3 Q/ K* o" _7 \' x7 g' m* M
! b& @2 a& a0 Q! y7 G7 s没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
! t  }( H# c1 L/ I
: c: D6 X* d* ?" r3 J老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
/ O0 o' P/ {7 t2 E所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
8 t% ]/ {% B/ k, A, z! g+ c您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
* v1 z6 x5 w# h
) `0 g( q; g% ^+ JE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 i, c9 w1 |' R- G( D: F: y, x+ ?) }然后从头开始：
0 M* \- K# Z  \- c. Q8 K! I/ vE(k|k)=1
, H2 a3 O4 T3 T, oE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
4 g0 [' N3 S' w/ G* s5 W7 a1 mFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
" r' ^4 C3 ]$ Y7 `& J/ p( y5 W
& f1 e" d3 n# \8 o原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
( h+ k4 L$ [* n8 G随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

0 n* H7 E$ P& z! M: w9 B7 O明白了。
# d/ o2 ]  o$ v$ o+ m是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
8 x, ]( W' F0 D* E$ u8 i多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
, @6 X: c  F& c6 A9 E5 c
$ f8 l1 R+ G; U; Q1 fE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

# I/ W4 L: {3 I5 E递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

6 J3 N7 [# Z* Q3 |4 o0 G, w) r! r8 W6 g

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
$ k8 D  a; w! \0 M否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
3 x* S( l! F) O6 _+ u0 X, R' x- Q
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
1 j+ b* t% I! l- e# i$ D所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

- g# H" O2 y( C! FLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
% L* ^  R1 F8 ^2 _7 Y* w, M; }
- }1 c5 O' {" V# v$ F2 l4 u! f0 Y' YFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
6 K/ g. m" [8 z/ y7 S
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
6 J  {: G( {+ S" \, B
* [1 x* u* v7 k! nThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

* S$ w8 d- x, R/ q, }( V; \理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。