此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

" h* Q1 e' B) X) Y( @7 G" X; W
0 J  R6 S: c0 n( N3 V3 L' y, I6 K6 _. i其实是个概率问题。
7 N+ M" d) D" Y( N3 w; t. W% g. l  z那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
& ?1 J2 Z! S3 a" a6 z3 E在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
( k( j5 i' p1 P. j
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
: }5 G' j, ^7 F0 ~; r
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
+ v7 C# ?2 s6 O' |所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
) w! `2 |) ]  m. o% ]  B
$ ~" K7 P; q5 J4 F7 @% S4 j1 sE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
; V1 m9 v, V) ?+ i0 c& H
0 e$ v$ T- s- U9 b然后从头开始：
8 L- x1 n2 e) \) cE(k|k)=1
! o3 v/ [. p* I+ s& R/ X* |; sE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
. {( y  z7 h. C8 t/ T+ K& C& pFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
: _1 |% x, h0 Z
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
$ N# D) L( k5 T3 ]! @; Q6 ?随机变量X是测试过的元素的数目
" i: \% l9 E2 a/ L. x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
, I7 u/ y% l; k' j; V$ S/ y是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

: `6 T/ S8 l; n) j3 JE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

& w* l6 X$ Z7 w8 d8 r8 Z4 ^递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
/ R4 P* u9 }) P4 j5 g递归法也是可以的。

8 q) o( O5 m( p1 M3 o( I其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
$ k7 F, Y  t3 |
8 ~" e* |: G- Z2 u: B而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
: d5 m* K$ Y+ ]  b所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
/ g5 H; ~! w; U
7 A0 C" P: C7 d- i1 h% sLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
3 U* Q! I$ m/ q; }3 a
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
% ?! H6 |" m1 k# u# A$ ]
. V3 j5 s5 G" m  {. ~0 l' nFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
, t0 P, q0 n9 _) E* p. T' \! V, M' u
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
' s: j5 i1 h* X7 X* @
6 }5 D3 r% @1 X$ V0 H" M理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。