此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

  q4 Q- K) ]* W
其实是个概率问题。
! I: B. T7 }/ \7 C1 G' E" U& x% m. b$ j那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
7 t! v: m1 j. F7 K7 x7 z; _+ d2 Z问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
/ t+ ^8 W% l: t/ ^9 U
6 ^7 j3 i$ V$ a' V2 ~7 U按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

/ o5 o7 _2 F8 I1 C" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

& Q, C, v! y/ w; k4 r您对答案的理解似乎有误。
/ e8 Q; {2 F8 v5 s随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
/ F1 y- J) d% f; Z  b所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
$ n6 ]. U4 A' @0 j, |6 x# Z3 ^/ c您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

6 [# V+ o+ \' S- W- ^3 t! ~2 Z* p( xE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

% m2 x. M7 }% O1 _" Y- X% @然后从头开始：
. v; }4 A9 I3 n+ R( T0 |% K" j" sE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
3 A) L3 E/ q1 b4 z; qE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
5 l( [+ i* T" y5 ?随机变量X是测试过的元素的数目
/ J% n% k$ ]( c$ t) h+ _/ f/ Y' h而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

7 [6 }; R# J$ {$ `. {$ {明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 q# a2 J4 l' n7 p' s( w多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 ]! P2 {$ S# S
8 g/ @% a. P; T递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

4 G! @% s. a% x1 Y$ v7 i其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
2 c5 r% h' W  M9 I- P8 R; d其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

& M* O' x) A0 `8 A7 Y8 [4 @3 O
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

9 s# `8 j6 H, E% U而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
, h2 {( @# a/ a# z+ H所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
* P3 y% a! C: M  `9 [  k& u
, A- U$ p  J; i/ q. A( x) v8 JLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
5 r# g* G4 j$ g3 |
3 h3 c& a7 j# Y6 j' ZFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

% N: {& @& ]% h$ e' VFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
  }8 c) L$ B  g9 }/ q# W8 s; }
, D" m  S" t5 I7 ]/ f( _6 k/ n理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。