此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

& J5 |, V" F5 i% x" f其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
! |- w' u. B1 p: rhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
5 f3 z0 e) P& m
/ a2 U/ O& {  b9 c- Y按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
" {  w2 S  c. r# X; |' p2 l
4 a8 Y1 c& n* w1 \6 r" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

# S7 I( O' A% ?9 h$ ~没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
/ ^7 S$ s4 e- G1 [$ C$ t
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

, z  B  L/ [5 b5 I+ g" B0 m& j
8 {/ h% o" \3 q您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
" ]) T. R9 I: e. r( @; Z5 N. h9 M' A您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

6 d: U4 K: p6 C. R$ J# eE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
9 n8 I4 w; r) [4 A
& {5 x5 y/ `/ R% ~: d% f然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
5 G/ \* [4 F) ]1 XE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

, G/ _2 x) `8 S' W3 z" O原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
& V4 O$ U6 M/ o% N! Q2 N随机变量X是测试过的元素的数目
9 r& j# K0 S( Z& j; |而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

5 Y. h9 |1 w! [7 E2 a% g5 \明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
/ w( E' f2 A  O- ~! B多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
; y- N, M- X- _0 @0 A" J" x7 l* i这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

1 B' U( x+ U1 |+ N
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 J6 [1 B" u7 J: w& ~递归法也是可以的。

, o- a/ A8 T& |/ v. J/ ^其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

  y3 C3 C2 t4 e  M# r5 v$ ~

老福 发表于 2022-3-26 12:01
8 p  k/ j2 ]5 ^0 Q! W其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

- k9 u5 v. t! j/ Q& A8 C0 r
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
5 X; {  K% s9 J7 M- V所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
$ {2 ^: ?6 {# G: O+ n* G  t* t; e& q
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
. A7 y/ w% l: e" Q
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
+ R6 i) W) D2 E# m; [
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
1 H  V( |# `; p
3 D/ O; H( r2 }$ S! NThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
/ P# a% ~0 K" q& n4 c' B
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。