此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

/ M# b) E1 V7 V3 ]4 n- ^$ I) P
( n$ F, N' l5 B2 B' g3 ?3 i' J其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
$ v* ]+ w$ N3 k1 B7 d7 i在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

6 F/ B6 F+ K' L6 ]' b按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

. t8 P4 ?& `( d/ d  h8 c" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
! O5 R2 Z7 c: P6 F, Y" u
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
3 \  e! ~9 y' F) c( q3 m
6 \4 K* Y% N" r# a: T- [老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
$ L* x$ N/ u$ |+ b) Q3 F5 t) @而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
8 v7 Q6 s6 b- h( G' ^9 C所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
# f+ b( Z5 K3 b4 {而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
* s3 p& R6 b" V; J. j3 m  H  T5 o您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
; Q+ n, S2 U& H
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
0 F' k  u* F: l) VE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
6 b' q' Z' `/ l- o7 RE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
! Y1 h8 P- q9 T" b7 r% XFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

* x5 [# d, ]! h- F1 n原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
! t6 q! F' l7 X您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
+ X, z9 R# M- J( D6 {, B; o2 D而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

  ]) g& C7 G9 y5 k3 u% B$ j& I9 F" r! ?明白了。
* v! d9 y- p. s9 A! w' V是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
! v, b4 Z( C. R# K: B7 |多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
3 v3 Y+ k9 d1 N递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
) g1 a* X  S4 v2 B其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
  ~4 @- y& n+ A* _. a/ n0 F
" E% d' n0 o4 I而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
! Y1 n4 T. G* B+ n所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
& g6 \4 a2 E: p) R1 _2 m; }; R
! s7 l9 U* s. O6 W9 u( BLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
; }& X& t5 y& B/ B' {- N! K; e* N' T
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
: \3 w9 u  @& ]" N* }) H
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
& W( J6 Q" {# o) d/ ^$ u
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。