此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

8 u- X1 n  n& j, y, q其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
# X( K# p* l3 c% Q! D) S在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
. i, \3 e2 a( E0 ~4 G$ d
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

5 n" _% L6 y2 r3 E2 v% @没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

' C% {: t0 f+ v8 T, J, J' e
您对答案的理解似乎有误。
$ y; S& N/ G: o. T4 c/ R9 Y1 g4 W0 M随机变量X是测试过的元素的数目
7 L, k) _, d  t) V2 D6 x. C+ g6 x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
3 z- p/ I4 T$ ~6 u. ?8 h8 {' A所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
: n0 i/ H1 k' U$ k2 o4 D- c而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
& \# F2 F4 f  `7 \. I+ W- m$ H
( T: v& E/ U9 R* p$ QE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
- A$ S4 ~  \4 _
, M  p5 e$ b# |5 u% w  b/ L7 Y然后从头开始：
0 l. ^4 C' \& O9 A! {) o% H* xE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
( o1 K" I4 w: W- }# G- P- qFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

3 K- [% Y$ g: K, F: D* W原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
8 ~( E' S/ B2 p+ Z' f5 s随机变量X是测试过的元素的数目
9 b" s+ _! }$ l+ Q而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

/ Z- I1 t) y7 P9 b明白了。
! A2 g5 e/ K2 l7 r+ v- g是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
3 x& d" \( v& @- [& k8 L9 j. U多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 @; F9 Z9 d* M8 ]9 D0 ~递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
; j- A+ D0 H6 B5 H( x递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

* i) P7 H& X/ {* \  m

老福 发表于 2022-3-26 12:01
0 o6 J( r* D: K$ r; |其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

" F6 z- |! I5 W+ A
& b# j0 ]8 K+ W" z0 o+ }! ?我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
5 q/ X6 R* U% k. x8 r  t否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
4 q# a1 Y7 A; ]8 C* r所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
; A1 J; E1 @6 j' R
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
( e$ F" W) Y9 d" e$ Q9 e& [4 K2 r' T
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

: ]6 A8 i5 K( ?For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。