此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
- E- _1 Q  ^/ A问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
# X% x- j) N# n7 u5 R5 X( c6 ]- w9 K, f
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
# W; A' }; P3 ^) {7 H7 C: _1 T
% v. M4 ^# ], q  [; E  ]6 J+ c" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
" B) [* d( u1 H7 Z( ^- y$ ^4 |. n3 j
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
( s+ x1 t% ?1 j; S/ s
/ u1 u1 `- f% Z; l3 \4 g: s7 |- J老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

! b8 I' k5 w2 k4 R5 v! P7 y0 S
: A2 ~4 s$ y1 X5 C. s1 [- @您对答案的理解似乎有误。
6 v+ X  I: i, z& c- a随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
7 W) j% ~/ F8 z+ n所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

& k( j3 q7 ]+ `& n2 s" G6 F1 _# aE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
  a4 P, O. u( |, v1 K4 J7 ?/ }
然后从头开始：
) a. D$ Q6 {' y2 O- jE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
* R5 D4 Z5 L; bE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
& q: y% l! u3 S& y9 M/ N1 s您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

9 b0 I1 h# i+ T; {明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
! H: {% f6 ]: ]# M) \多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
" K( m0 t: C8 a3 C- P8 F这个题目可以用递归的方法解决：
6 @, b/ m) L9 u
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

+ V# {5 c) {) R2 P9 j
1 C) j* @8 r, G递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
% ]/ T- d- X. k: h; L0 h递归法也是可以的。

; U9 A6 q  D2 x: \$ B其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

- X, w& ^1 b( C0 I$ Z

老福 发表于 2022-3-26 12:01
% L, G5 p: y9 ^# ^: j: q4 M其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

7 G2 ]0 l$ H+ u' d6 q: c
- I$ x/ ?* h' o2 y我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
) ?, |+ S4 A2 f  w9 Q* r+ c  Z否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
! G* c" Q$ U4 r' b3 k
% Q* q3 \3 V( J* o5 W% \/ V而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
; U0 Q7 l8 K- F- X, _) e6 }
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
1 m$ O$ ^4 \  e' v
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
$ P/ o. E/ N$ f( q3 S" m
9 D/ T& j9 x' ?  i  \9 T5 B7 R理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。