此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
% n* E- _" ^% A3 ^4 A& z4 E在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
; Q% Y$ a3 r8 e5 g2 T3 F问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
6 ~( ~4 V4 Q: t; l7 |- C( T0 Z% W
# w3 J! a. T& X按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
: B6 N0 v- b0 f/ [; I  [$ l: G, t, R
" P9 L0 A% s. n" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
- o" W# ]2 J) a+ J4 d, C
/ y2 H* i( c$ E) a没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
5 w1 t% @* b6 Z$ Q0 m2 y
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

您对答案的理解似乎有误。
$ U1 Y* q+ z9 i: G随机变量X是测试过的元素的数目
% x1 [. Y  f6 y3 R2 \2 q1 M, }而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
0 w. H% j5 U. _3 T3 {而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
4 \) Q' p: W  V& k4 Q  i您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

+ x) z5 f* v2 \2 [! j3 mE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
( h9 O2 {( k$ W& y3 S" P2 f
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
+ H* y$ g/ ~& [
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
* [' `8 S- s' l1 p0 r1 t随机变量X是测试过的元素的数目
6 \+ ~7 W" v3 x* c而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
' z3 A1 u6 T" x8 q4 c! G! o8 g$ K, _* b多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
5 p' E. ?9 i9 m$ C( W这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

3 t$ Z- b* c/ J6 }6 m) v- S& e
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

) J# H& h, c: E; `( j- J1 c其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
5 {: w" G1 ?! u( K. U& a其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
1 I+ ?5 g5 _) ~; P. h& n7 L4 J% M* D
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
" ~: J  }7 j5 `7 m  E2 z% ^5 J$ ]所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
% m7 t' Z' _8 G; X& N
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
5 g+ R4 j; K, _( y1 d
. k* ~( c3 f, H; K: O) z4 G! |For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
6 i* w! q' J2 \& @) d3 \
2 b9 z% N/ a' o% ]There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
1 R8 v2 G4 h% r# G# a% @' ]* X3 L' K
. F0 o8 S4 O4 k' j6 ?/ c& v理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。