此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

0 c* a- \# F5 Z8 O其实是个概率问题。
3 k% n2 v: w0 z, I' M那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
! J5 K$ ?, z* Q" y4 H在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
& k3 [# z5 d5 Y, q, M0 J4 B
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
# K4 ?5 o* t8 A
8 ~3 g0 l4 Z. S4 T$ [# X没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

2 k8 v4 i% V$ W. L
您对答案的理解似乎有误。
8 T0 N1 v9 |5 H( y1 L- h随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
* m3 H: N, l, h0 h8 ?* o4 K* |而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
: ]/ Y. l' p, s& w- S- O' T* N
5 P$ I6 F" l& CE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

2 x' {5 }& q5 T- y4 P# u然后从头开始：
3 D" s" a/ ~; _' G# _2 M4 hE(k|k)=1
& {9 \! T1 C. D" n4 B3 _# B1 OE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
2 _* [$ _' }) T0 e8 ~' V( fFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

% t% B+ G* z  m/ h* O原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
8 i: ?: R# w% \+ J2 {$ t  ^您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
$ w; K: c+ K) T, V- s8 ?6 @而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
9 Z) V7 v4 R7 G) o是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
5 e7 e" S- l. s4 i5 F) h$ ?$ E+ I  q这个题目可以用递归的方法解决：
% U) W: w7 \$ N1 @/ M3 B
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

3 k) j4 E' Q4 }5 x

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

5 _0 F. t) E. H" a6 S4 l  i6 |) F. s
. d4 v- E9 p! b$ ^! C我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
" T+ k5 K: B6 _& a! s% D
! C9 W. l% D4 r7 D而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

9 t7 t- A0 J. a$ d+ lLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

, R0 a: p! ]& G& iFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

+ g+ I) q3 I( R2 v* d% l5 D1 vThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

4 d8 Q7 Q! O; `9 M理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。