此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

( i4 ]9 ^/ l  u, o
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
8 I0 k8 D' f6 b3 ]; T8 T4 I问题就是这个人的表述
- b6 W3 @* Z! M& U# u% lhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
" v3 _) Z- ~5 w5 a$ v2 L
8 k5 k, u) ], ^0 E9 C2 I# _1 x0 S" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
1 A6 \1 Z; B6 V. m4 p( F1 c
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
3 ^, J, U$ S- r. v
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

0 `. ]5 q- |/ z1 l! p: s! K
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
( C8 b* p. O5 ~: I0 H" {而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
- h( u" B' G* o5 [  N% Y所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
% s3 C* v2 d9 o' t# \! h1 K/ B% Q' X您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
! ]% [6 r. ?' I% W& k; b% o
6 I) G  ?: ~8 h: i- PE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
9 D) k2 K8 s* ]* m: Y
1 K+ n7 f6 o  L% j7 ]2 e! `然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
/ _4 |" c" x; j3 y' Z+ \- cFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

: }, W" k5 `$ k, R$ U原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
& N$ y6 F5 P( Y/ G3 w而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
5 h1 S# M+ ?6 t& H: q6 O/ H是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
( l6 ?/ m. N4 C3 c: F0 t
) L+ L: a) ?% U* l# B) }E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

% P3 V' Y3 `2 N/ t' P递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
8 i* C* C* ^5 B. t4 e* p递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

: I$ a3 @3 f/ n" {0 w; h- k( I我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
4 H: x- q, t4 y4 V/ f
7 I0 S- i3 r) j  x8 t5 t而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
1 F3 X9 u  v" }6 D3 P  ?3 h
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

2 A; W0 D- P( ~$ D3 V6 L4 uFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
' ^0 @4 ]7 v1 ^& G/ O2 g0 q
- `0 P& @# i/ j4 @* RThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
+ X& Y  `8 h) j( ?+ U
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。