此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
7 k; O& c/ n' ^. i4 N/ d那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
, Z8 I) ~8 ~5 w  G问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

& u" V/ I$ F2 L4 c% e( w/ B* u按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
; j2 D* A& ?( s- g) t' J/ C! ?
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
0 r3 v& m- x, j
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

( P9 Y' M2 d) n! b3 T, ]您对答案的理解似乎有误。
2 M5 F3 Q, K% i  `# A- l( g随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
) C( p$ }4 \0 m7 [2 e所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
6 A% z( c4 E9 m5 ]您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
  a3 t: h/ `5 v" l2 q+ [( {/ i" x
% u* V2 c1 n; ]' G) F1 @E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
: y8 G1 u" _" u; U" h
然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
+ Y0 [! b: _  d; ^E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
0 R& q. b& O) t2 KFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
$ l4 U; ?, T$ J9 {9 [/ O而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
- _# @2 D2 y% `) o是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
9 A( \4 }) e+ m* `* v多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
; s0 ]1 H* l5 V, R% J# q这个题目可以用递归的方法解决：
; Y& K+ g* P; E/ }& T
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
* a. c( e+ \4 }# |7 d递归法也是可以的。

6 \1 W  h4 C- G. h# h( y1 j; V其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

6 a0 ?1 t2 x; y/ \

老福 发表于 2022-3-26 12:01
1 u: P) {' T$ i7 Z+ ]其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

/ p0 Q5 ?( c3 X' }
8 G3 m+ d/ k$ W" R) ?. m+ r我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
! e" u* z% t+ f4 h否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
4 a! m$ S; n! T3 V2 S6 f/ D
8 I, {* j4 f, e而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
. l' U6 ]8 Z, a& e; ?" }/ X0 G
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
3 @( G0 ~5 p. k! q
; r6 T5 _; Q9 E. j/ W- HFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
2 ?. d" w9 V9 l. ]8 \' x4 ~
9 K. p# t& I& x8 CFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

1 j0 Y' F) o; k6 \理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。