此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
, U$ \( H9 [* g6 y8 j在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
! y; p0 l* J" }7 k/ V& s& A问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
0 k5 P) o$ }5 }: R" f& O  P
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
" ?& A2 T5 w8 X) q
* g+ x" E. R# }, ?" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
! O( P: a7 i: e( n/ c
# p; l7 y7 y& `' x$ Y8 e没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
% k( E3 Y3 `: [9 A  E1 ~  P
# r2 A; z$ k# r0 J! N* {9 T老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

4 P. P7 d3 Y: O. J0 a
! R6 Q4 B# b% F) Q您对答案的理解似乎有误。
; M+ L4 r0 M6 a8 M# T随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
2 x1 m0 `8 O# B6 y9 f. ]. I您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
% v2 @7 I# ^5 u* a/ S% Y
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 e9 s8 W! h' }* u0 U( Z然后从头开始：
E(k|k)=1
; c$ o& y: ^2 w+ ]E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
, `% c, o, {; T; i* JFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
% [$ u+ v7 o/ D( C
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
/ }) l; I! m. `) o3 Z. O5 J随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

' c* y) |+ Q; b' U- {4 T; w明白了。
" `1 x2 u  P7 K& m: G' c. m3 z是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
, M1 p4 r1 }# t2 `( R这个题目可以用递归的方法解决：

) C* J) \0 X* K/ v# `E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

4 S4 R5 @( i: A, c1 |8 l7 D$ E5 K' g
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

# Z. Q1 S/ c8 p% x( I2 d

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
0 I* G; u4 h. W9 S: f$ A
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
& u3 K4 Z" ~. Z' h+ O+ h) p所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
/ L5 Y  `  V! ]6 f3 y1 m
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
7 I/ D& |% A* E7 l8 X# u! l. l1 e
( {3 }* {: n# _5 z. R1 H6 |For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
8 C% t( M/ t% \. k, @+ J
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

; z* v: _) ?; s$ w( i. W% L理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。