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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑
    ' L- a9 J! n" }/ x. [
    / |) c, [6 m$ t其实是个概率问题。( h8 w! \3 Y( I$ d
    那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。
    , U0 m, T8 K; G+ Z+ ]! v, a* u在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。
    3 F" C6 z4 B2 V% q. S7 k: {问题就是这个人的表述& b5 a! C0 }  @% e1 u
    https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time8 [4 C, y1 a. i) u6 f& d: z
    , I: A! f3 V2 ~6 ^2 r) w$ i; `( ~
    按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
    2 ^$ [3 D/ w: n7 \3 T+ I
    # E1 |; I4 {1 M/ `: _" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x". 2 \9 t: A$ U7 l  P+ D' n5 A; `

    0 v, g( _8 D) \9 B% I没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。
    2 y/ ~4 Y0 d: x- \8 O6 K4 d  u. y2 \, ]: ^% G: O
    老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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  • TA的每日心情
    开心
    2025-12-26 03:23
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
    - p0 O$ {& w5 ~7 L* u# {( j+ g& O& y/ ]3 e3 L
    您对答案的理解似乎有误。
    - [0 U2 h: [% p/ ^随机变量X是测试过的元素的数目! m- p* X, c0 z$ u+ j3 r4 Z
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。
    8 E+ g$ {  F# {; B3 r  G* U7 P所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
    7 N: ?& i: z8 |, R0 J8 x而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)
    ! G# R: M  W7 J  _% D) m, k您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:
    3 V5 q1 v- L3 _6 o
    & |4 u5 H$ f5 S8 Z+ P7 gE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    ' q4 @8 n3 ]& r& t
    6 h% E& Q! r$ c: n然后从头开始:
      q8 Q- T. G, i) wE(k|k)=1/ y1 q5 W/ D( B: X! P% z
    E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)$ |  `; c1 p6 U7 s1 B4 s% Z
    E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
    : A8 i0 T9 T( h" _' B6 oFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)& _% J9 b; ?$ O
    * w4 d" _: f9 |" |* F
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    地板
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:32/ F8 I$ B5 E+ _
    您对答案的理解似乎有误。3 l6 D7 ~+ c* L0 e
    随机变量X是测试过的元素的数目
    5 p' X. e5 u2 h8 |而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...
    7 M7 U+ o" r5 Z- i4 a5 r: A
    明白了。; l, l& j+ e* I' Q9 v; u6 b
    是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)3 g, A6 {. [+ Q- x1 K6 j
    多谢
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:44  R( I- R! t9 c& z" R  _
    这个题目可以用递归的方法解决:
    / F3 d* W8 |2 L$ |( j5 n2 D1 a5 r% d) {+ y* j2 s
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    ) }& r5 l' f( B/ M
    ( t/ u  U2 ~1 K* K
    递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:07
    / m% o3 D+ s- _4 X递归法也是可以的。

    + |0 i" c& v0 r其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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    开心
    2025-12-26 03:23
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    [LV.Master]无

    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑 5 z" d- C. h% o6 ?" p! p
    老福 发表于 2022-3-26 12:011 n/ r: k( @/ {4 V4 x, X) B# }: t6 v
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...

    8 ~, S4 M# L1 Z% q+ ~( r# e# w; U# p4 i! X7 l+ Q7 |
    我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。
    6 m% R) W* f. m. M. U. Y4 y1 ^: I否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。  c; n& |1 G8 k( p4 E- _
    * G* g: Z; m3 q
    而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。: U; `* e- w+ ]: f5 {# J
    所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。
    5 x1 ?0 ~0 M. u
    + Y% O! ]7 m" l: \3 WLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}. - X( y, I3 h. C5 f1 G" f

    , F0 ~0 X& |7 A5 g$ U+ S; ~# aFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
    , v7 k# {6 H! P: O1 }5 H, r0 X0 p( {1 t
    For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
      j: `, \$ _# P3 ?. |4 n3 ?* C
    . d/ ]" f7 c1 W8 T3 r: oThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).7 r: @6 d+ h+ l- C
    $ Z0 e: c4 t- P+ e1 e  Z
    理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

    点评

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      发表于 2022-3-27 02:46

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