此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

' L- a9 J! n" }/ x. [
/ |) c, [6 m$ t其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
, U0 m, T8 K; G+ Z+ ]! v, a* u在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
3 F" C6 z4 B2 V% q. S7 k: {问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
2 ^$ [3 D/ w: n7 \3 T+ I
# E1 |; I4 {1 M/ `: _" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

0 v, g( _8 D) \9 B% I没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
2 y/ ~4 Y0 d: x- \8 O6 K
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

- p0 O$ {& w5 ~7 L
您对答案的理解似乎有误。
- [0 U2 h: [% p/ ^随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
8 E+ g$ {  F# {; B3 r  G* U7 P所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
7 N: ?& i: z8 |, R0 J8 x而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
! G# R: M  W7 J  _% D) m, k您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
3 V5 q1 v- L3 _6 o
& |4 u5 H$ f5 S8 Z+ P7 gE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
' q4 @8 n3 ]& r& t
6 h% E& Q! r$ c: n然后从头开始：
  q8 Q- T. G, i) wE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
: A8 i0 T9 T( h" _' B6 oFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
5 p' X. e5 u2 h8 |而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
/ F3 d* W8 |2 L$ |( j
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
/ m% o3 D+ s- _4 X递归法也是可以的。

+ |0 i" c& v0 r其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

8 ~, S4 M# L1 Z% q+ ~
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
6 m% R) W* f. m. M. U. Y4 y1 ^: I否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
5 x1 ?0 ~0 M. u
+ Y% O! ]7 m" l: \3 WLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

, F0 ~0 X& |7 A5 g$ U+ S; ~# aFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
, v7 k# {6 H! P
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
  j: `, \$ _# P3 ?. |4 n3 ?* C
. d/ ]" f7 c1 W8 T3 r: oThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。