此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

* H; H) E- I; |" x  `  k5 }
3 r( X+ P7 _! X0 F4 p. @% A  K# i其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
$ W% W8 z4 ?5 V* w; Z% {4 Q6 x) o' V+ V在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

0 t8 r, r# |  I, m* x按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
  ?- v' c+ k( |. X$ c9 K9 {
" }" H* h# @5 H" {6 F; t: X5 [" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
* G9 v1 H) @$ @% H$ q
4 J, U( k% ?1 x1 Q+ d4 [" O: Z没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

- n  n& \2 r: `9 F0 }" `
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
. [% y" K9 e# W9 h; y而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
) k4 C9 U# D. m所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
( ~- v' V+ f' n% q您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
4 {- g  H4 k4 N+ p  |# F/ j4 A
  T+ {$ n! t3 p- f" n2 [- _; W0 [E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
7 o/ x7 J5 H4 q# E3 p' A+ {
然后从头开始：
" C# z0 K: K5 U# dE(k|k)=1
$ e- j/ @( Q$ W  {2 [2 p. xE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
/ r# Y5 ]' D- ?6 V' C2 R6 |  Y; J5 |E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
4 v9 }* o$ `0 u7 _' b您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
7 s* G3 D, C: B" C而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
* u) V5 ?: {6 e' Q# K: L这个题目可以用递归的方法解决：
; I/ K; H2 I) O3 m, a$ }9 ~
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

5 A% ^3 v( M' \# |  P" q递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

% l* R& C2 E; d+ i3 t/ [6 J我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
& |9 i) Q6 X9 j5 q. f否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

% [8 T: O* o( b; f, U0 X1 i: uLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
& x6 u! b2 H& O1 T
4 [& W' a( l2 O6 j. {( u* HFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

% X2 ~! h3 P4 G$ M( oFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
$ c# J1 N" M! x) m: k
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。