此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

# t* n3 v: T$ S  T+ X2 o0 ?0 i其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
7 D- @* X7 w) ?! ?) x  U* L在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
9 b- d) Z; Q! K6 s; c问题就是这个人的表述
7 J3 w7 j' n' C2 ]- F6 y, Y- `https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

& @0 E/ l/ X( U4 G4 d/ L* m按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
+ M5 v1 r5 F1 \7 O6 C( y/ I; a( H- R
. ~. a3 R5 [! Y3 _; j" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

  s& H; M/ y4 h- s8 p& M* j没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
7 W' ^7 p* S4 C4 q2 J
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

% C0 u$ g4 K/ }8 I! c1 I  p您对答案的理解似乎有误。
, ?  O: e8 G, H随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
* Q4 C4 S! x8 n2 R7 L4 Z8 e$ |+ z所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
7 y* Y4 @+ K6 {. @8 i而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
3 X6 b5 L8 _2 e; \0 U; W
& E1 u: H* n3 K. W2 DE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
5 g# \) H& T! J0 W9 c
/ R6 K$ U# ]* U# D然后从头开始：
; Z! k; y. F+ i, \2 ?E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
* [8 Y+ j( w: C' A  lFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
  `% R5 q' Z6 V# c6 a/ ~您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

1 `  R0 T6 }& w0 G; Z8 b明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 a) E6 Z6 v, p. X4 C# g& e多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
  t' Z  L0 _) q$ N这个题目可以用递归的方法解决：

1 W  h' @3 l" B1 b/ w( p6 @+ B/ k: aE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

0 s% i8 F( r! p" U3 E* _; k7 r! W递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
+ \1 b. C7 x9 H# Z! J8 f+ p* X递归法也是可以的。

3 M5 [* U; N0 P( X/ |其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

* [# V4 Y5 B3 y

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
' J1 s+ g' y; u! Y+ m8 R& \否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
. r$ J4 W( v1 G  `1 I' b
- q' Y; p, L$ R: X5 r6 C而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
. u! h4 I( q, c2 f
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
5 V/ {- J; _$ u( J- d
4 L0 S2 o0 Q/ K7 ?6 {+ {' I; DFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

4 B# A- }7 a7 \# s6 K# AThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

* I. G! v* x+ E- ^$ r& R; X. _理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。