此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

/ ^+ ?8 u# |5 u& G, G- A' T, ~其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
9 a! N# S2 T; p5 s- t在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
* p/ }% s" G7 p3 S问题就是这个人的表述
# \' J. Q+ D0 h) Phttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

5 k  [) W3 D% N9 D- L7 r% R按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
" I/ g; B: X2 u0 H0 L' e6 z
# p- ]/ W5 S1 n" x' O老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

  P6 l: h( a* B3 N* t& }) a
$ R( @' r! {" @4 l$ o您对答案的理解似乎有误。
& ?6 b  ?! t8 z  q% y4 Q: A随机变量X是测试过的元素的数目
) r5 ?( `6 F8 S& o而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
- i, k( l( t  G9 l! m/ g- n
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
+ q$ Q; p! G/ A( r% X
* i' ~8 H9 w( Y5 D% ~8 o然后从头开始：
# v3 U( \; y" z6 q3 H& dE(k|k)=1
: _: J; O4 r. q" K* Y& ]7 @6 \E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
" z. A. u/ Z+ I  y. K% ~- fE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
! g  F% `7 \" e) R
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
; a% B6 ?1 P+ N3 H随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
4 `4 B8 ~0 O% ~6 s, S多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
. O. w$ g8 D1 f8 S8 j% s) \$ u这个题目可以用递归的方法解决：
2 D1 v$ B: J' M6 ~: f3 f. ]8 ?' o
/ {1 C* G: e& x9 NE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

  A- O* c. v9 g
) l2 u7 Z6 S, ]* m3 ?递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
1 M. X7 ]+ c6 K6 \& X$ {. s递归法也是可以的。

/ b) s& |2 V) `; Y. U其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

  s5 e: ?4 R  F: Q

老福 发表于 2022-3-26 12:01
8 X$ K: x: A; L& _( R7 \# N其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

0 K1 w  i3 [! [' c7 d) C
5 h) I  W  n8 z9 }& d: x7 c我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
% Y7 {1 [$ v4 r- h
7 S7 W+ j$ ^: p1 b/ [1 n* ?% b! k6 r- D而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
% a) E1 W1 A* Q# D# }" k; [- c/ {所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
# Q+ Q1 b7 {) y+ S
$ j. e/ m. n/ a1 u- V) N0 D/ i6 rLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
) A' M# m. m* `7 A: h+ \! Z3 s
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
! f) o: y9 H6 I* I+ G
5 A& n3 I" G  l2 s* X5 ~For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
2 V4 z8 u: ?' g( q0 h' r
$ Y: A6 r# ^2 E4 NThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
+ j( Q+ m% i. S; n* @8 ]( X0 m
5 [- _; A" M4 j; c* a6 W6 b- Q理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。