此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

  _# o3 N; w) M; v其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
9 z, j/ Z9 Q; f& v在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
$ V8 f" c" d1 M2 a$ V4 _
, F6 j5 Z3 R; n+ i3 v1 T  P按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
7 R7 d, w  H4 J2 Z# X0 t
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

- o: \* O! z* n( X
6 Q% m. `: m  i' F4 D' U( A2 d- M您对答案的理解似乎有误。
- X2 l0 h* Y  \# ^# C随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
! O/ C+ I; W# T4 w6 N" m" ?1 i9 H
" X/ K0 H" F; [% B7 h5 f( xE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
, o# }$ g' h& cE(k|k)=1
8 `3 x$ a9 k* X% C5 T. D& B- mE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
' E" c0 u. F; r; V2 J. b; [( RE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
: \& D! a) ]. a) t4 U$ AFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
  Q6 v% m  S. e0 _
$ i/ v* ^$ [: _  c: W, t* H9 L原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
1 z' \. |  @/ I& B0 l! M您对答案的理解似乎有误。
+ n  o& E# A2 P( K& u3 Y随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* Q/ X. v6 \6 u3 K) J9 \( d多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
3 |. D9 i! J8 K) @4 I6 e/ E) ~: A这个题目可以用递归的方法解决：
6 k8 c% R' J: P
; F4 h* F5 F( |- X6 cE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

0 N* E% T5 x1 d6 H/ c- d递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

% D( A+ _! ]$ S' L& b

老福 发表于 2022-3-26 12:01
( h- H' ^# g3 Y- _! o其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

  K6 I7 j4 t7 C
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
$ N4 X/ l! b( o! L% L% K. `否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

( N4 E# q, l0 A7 Y3 ]而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
  h# E1 B5 \& ~: j+ V& u5 n$ {所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
, z# k! o2 x! }( I/ ~' T
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
) I1 [5 C" s% T( u; s( M
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
: B- o: f& m7 x
+ [( @  Q; ^" H% K" s' X: pFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

: b' Y7 e8 \  [4 p: J/ ]There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

# b5 ]! G7 `: l% f% P5 t* M4 G理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。