此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

5 I8 H. H1 l0 K1 g! Z! z; C
2 g. L, d" }) c4 W2 w% O其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
8 z, n& f) o4 c" E4 A, qhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

* M" m3 |1 U4 o% O: C. p按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

: u7 Z: e+ D! [! _% T% W4 P. t! _老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

2 ~& o  {8 N9 H6 g6 A5 j9 L5 s
0 ~; _( ~7 F7 ~7 V1 D# l5 m您对答案的理解似乎有误。
; A2 l7 v% Q# R随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
/ @& j  U" V  G* F所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
* K& h: Z/ {: Q# j而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
$ Y! t3 ^  x- |& H1 r3 c) I+ s您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

% i1 s& C7 Z0 B5 u/ `1 k5 j然后从头开始：
8 W  w) [3 A4 [1 i) e, c) KE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
) g. T1 M( C0 V4 R* Q" ^Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

% J$ A* L: o: m- R  N原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
# S6 B, n6 u. w4 R. S+ o. E7 i是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
& ~1 X4 C5 f) Z$ P5 a, k" d* j8 o这个题目可以用递归的方法解决：
* \  E# U' u$ s) W8 E
1 a! H6 m9 Z7 Q2 G) \/ EE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

) G9 A* q# v. n, _) Z$ e" W( _4 ~3 G递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

4 D* P+ z( W8 `其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
; Q7 a" V* {3 U8 G; v其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

3 @5 Q$ h$ f1 I: m( Q我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
4 ?' @7 u1 j. A
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
+ c9 A! c1 X: K7 s& F4 {: I所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
8 x7 B* f( b; U. [
: V# O# e+ F- x3 M( aLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
9 d4 I( B. ]0 I1 }8 r
7 M+ X, g( q* T9 d! B理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。