此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
  a5 k/ f8 X6 w那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
. q9 u9 e0 b( W9 w$ P4 _8 P在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
3 r' I) i3 H1 g& d* B4 }0 V问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
' W* j& M. y/ \9 J% K5 q4 m6 J
" U7 R9 w. C4 v- F9 `, L+ W+ q' k1 O4 O按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

) w+ V! `9 U4 s! l" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

! a$ V' O* x5 n/ ?4 r. ~  I没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

: e9 H+ x# _( F$ P7 t/ M; @老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

% D9 u$ H4 C9 Z! F+ P5 J) J
9 J; t) Q" h& n8 q  U您对答案的理解似乎有误。
. Q, L" F5 F8 r" x随机变量X是测试过的元素的数目
! g& z7 `1 P( p, D& K  X! L) X/ t而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
" M" Y2 S; A  a* ^您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
# \7 H$ F  \2 ?0 @6 w
9 Z5 N3 _& L- N7 ?6 k6 v然后从头开始：
, t! G0 J' B! O, N# l- A7 a; e3 PE(k|k)=1
$ f4 T7 i* L$ t3 u2 P0 l/ f  TE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
) d# ]* \  ]- u* h9 vE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
1 F$ `( S' E- {' @, e* i4 ?您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

6 U1 j) f  f- b! A/ Q6 o明白了。
! ^. v$ A6 z2 `- U, [0 B! B, }是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 V: }1 w$ \' k  ?1 h多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

& ?; j6 j5 y5 y1 ]. d其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
( j. e/ J+ v; [1 v# p否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

! ~* ^; x- [4 a" TLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
- Z' |( l& J- [4 E# e2 G
  K2 W! d) l5 `For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
) U1 a; K1 {; F% r2 k5 R; U
- @7 z: {3 C( d& z; f+ oThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
- i6 _9 q1 {, o5 y: i; ^1 ~
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。