此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

+ Q+ I" X% t: ^* {0 `) z1 f" T, Z
其实是个概率问题。
) }$ w9 C' \0 m. L' `那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
! @+ M. t, a0 q' {$ @+ B! f; ~在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
! A8 j% `5 ]- `, \' j- Dhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
4 s' R% H6 j# @+ c" w3 ^3 M& L
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
; @3 c: ^/ D" ]6 a) L/ s
. P: G$ c* h0 v" F" k$ |& E老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

$ M. n& V$ {) O您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
& i# Y6 b/ u- V! t  v6 q而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
: k4 |& I1 n4 t0 d& t您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
- }8 M% e/ W3 ?; _4 D
& {' U- ^; ~) G" p' q3 BE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
2 j* N# `# V/ k* b4 ~$ h6 r& U* J
然后从头开始：
. l! a  @1 S# }0 u" `6 h2 n! J" CE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
/ N$ q4 @7 g6 \. }% w, F
. H" l/ K6 `! |2 S! c6 R) L原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
+ Q( @/ n/ j: a4 g9 U2 ~您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
  u( a  i) _; F5 n2 g: O- d8 A
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

( o: l1 A3 x0 e5 T
/ W1 J/ N8 Z! H3 z$ `+ A递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
  d% y& Y1 Z6 \* R4 k% J, w7 _: m0 \其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

* n6 T2 e4 S4 F" E% m. G' ~8 P! I3 L! ~
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
0 X2 z5 I/ F* U9 {' c9 x
; z* p$ h9 A5 T4 [& K9 z! X" D而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
+ J0 J7 U) b2 P# H" R9 @2 I8 G所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
5 m5 |# @, F0 H" ~& v
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
. u7 y% ~' B4 P$ }5 z1 M1 ^4 b
0 C# k: X$ Y, e) w8 B1 t& c) AFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
1 O; t* r: ?5 e2 t3 h: e
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
* H% f, ?& q" n" v( o  Q' G/ K! U9 J
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。