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[信息技术] 此间大牛多,请教算法高手一个问题

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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

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    楼主
     楼主| 发表于 2022-3-26 08:43:59 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 ; u1 Z$ X( P! f' i; R" l

    ; |$ i9 c( n, K" z( ~6 m" h; @其实是个概率问题。
    ) J$ f  u$ C- L那本CLRS算法导论中,第 5-2 练习题。
    " a1 b& S4 q+ _; N: C: _5 [- f在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值,用顺序算法搜第一个 x 。
      C. l; E$ p/ f问题就是这个人的表述
    0 J+ o) S; m( }7 Phttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
    - Y0 v1 A; f1 S+ d$ {4 j
    ! ]" }9 M2 ^$ B# _9 S按照答案,从头开始,之前没有出现过 x 的前提下,每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)( Z/ W" J. S$ R+ ^  c5 U" Y% |
    ) C" |  k3 G+ w2 _1 I: A
    " If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
    9 ^" c) Q' l) R1 U2 c6 T
    9 w" E6 [) D. t, H没看懂,这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的? 按直觉,这个概率应该和 n 有关,假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较,概率应该不一样才对吧。
    9 {9 @6 _, Q$ A& K+ I4 `8 i
    9 ~# Q, I3 G9 }) P' J  x- W$ X老了,脑子水掉了,希望有高手解释清楚一点。多谢。

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    开心
    2026-2-7 02:13
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2022-3-26 10:32:30 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
    ; n0 Q2 A3 M) O1 f- d
    + ?2 ?1 t" R. r1 h# }; w您对答案的理解似乎有误。0 \+ ]7 D1 I8 G) l+ N2 ^
    随机变量X是测试过的元素的数目
    % u, f/ m+ C, d0 L5 O$ n' x而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个indicator,取值是0或者1,含义为第i个元素是否被测试过,而不是该元素是否等于欲查找的值。
    : \, g$ L3 Y. B' ^8 c所以才有E(x)=sum(E(Xi))。( B% E2 I1 r" i" x+ R, Q
    而如果 A[ i ]!= x,那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间,而我们检查了这个元素,所以这个元素必须位于第一个区间,所以概率是1/(k+1)& P( T, E/ m( y' u
    您再想想?

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    板凳
    发表于 2022-3-26 10:44:05 | 只看该作者
    这个题目可以用递归的方法解决:
    8 c& y/ P1 s' [" i+ L) F3 P" M# r/ y( G, c9 X  Y4 p
    E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
    7 H, f: n: ~1 R: n
    ! h+ _  Q1 K5 j然后从头开始:+ @  y2 k% A/ N" d, i: g6 t& \
    E(k|k)=1& _6 Y+ s- c1 {- g* R) s
    E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)& \' U+ K  B7 t8 v* S" j) p, K3 k
    E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
    1 v4 t5 j2 I* j9 f/ WFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)7 a0 ?' i, d2 t8 w
    3 d! \6 k) V- w: D9 Q+ F! g/ L
    原文的解法有点绕,还没想明白。
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  • TA的每日心情

    2025-9-22 22:19
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    [LV.10]大乘

    地板
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:00:35 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
    1 {/ K2 G: \0 @! Y9 L' d您对答案的理解似乎有误。
    4 K7 V% ^" [0 b  j2 d随机变量X是测试过的元素的数目1 _' A' S( S! `- X
    而随机变量Xi是另一组随机变量,每一个都是个ind ...

    4 n/ ]$ ^3 w. h5 v. a明白了。
    7 u3 u- {. p$ N* F是指的某非x元素在所有x之前的概率,实际上有 k+1 种可能的位置关系,所以在所有x之前就是 1/(k+1)
    % T4 F8 y: w2 v" O  @0 v多谢
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    [LV.10]大乘

    5#
     楼主| 发表于 2022-3-26 11:07:00 | 只看该作者
    老福 发表于 2022-3-26 10:44) S/ Q3 S1 I- n; J) f6 B
    这个题目可以用递归的方法解决:. N+ x3 N# N& a( I6 e% a) ^2 {" \. P

    % h, B# j( x; }E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

    $ N2 N* A1 A/ c
    / ]8 b7 O, N; K2 Y# z递归法也是可以的。
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    6#
    发表于 2022-3-26 12:01:27 | 只看该作者
    雷达 发表于 2022-3-26 11:076 q: N( ~9 _0 s" L
    递归法也是可以的。
    ; T3 @' v( J2 _% U4 @
    其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/(k+1)。
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    开心
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    7#
    发表于 2022-3-26 14:46:17 | 只看该作者
    本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑 ) ]0 L1 S; n% t0 }7 J! }: g" q
    老福 发表于 2022-3-26 12:01
    # J* ?) s. Y7 Q$ u其实原文的解释似是而非,试想i=1的情形,对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/( ...
    : Z7 v: [( N3 Z9 v# T
    : c. C' P% Q; j/ f1 ^7 x
    我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号,而不是位置。
    $ n" s3 n: M1 Z1 T5 |否则没法按元素是否等于x来分类,因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。3 x- e" X) ~+ p8 y+ ~! Q
    : ~  A% |5 Y6 x7 e4 ?0 ~- i
    而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号,然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素,其是否等于x是个确定的事件,所以元素可以分为两类讨论,等于x的和不等于x的。
    $ L; F1 }/ |/ C8 t所以A[ i ]这个写法有点误导,这里这个A并不是要做搜索的那个数组,而是所有元素的列表。

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      发表于 2022-3-26 20:40
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    8#
    发表于 2022-3-27 00:32:22 | 只看该作者
    一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒,终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下,作为总结。
    * [3 R6 W4 Z: k( y; U- h: V% ^) I+ ~  x4 J
    Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
    8 X; N1 l' J" F
    . }$ ~& S, q# k, f- B* ?For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.3 \1 i" I" a5 x, m3 {
    6 H) G% L4 X0 W
    For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).' q1 ]1 {" h1 f- k5 H

    : r6 G% ~  I3 gThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
    : d5 i( ?9 @, m, N7 ^
    3 O: p. T: }3 p8 _0 |8 {理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element,它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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      发表于 2022-3-27 02:46

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