此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

" `' ^/ ~; o( l* M
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
% I6 T- Z. r5 a, T问题就是这个人的表述
5 i) @* ^/ f& N& S  yhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
0 G* E% \% y, A1 l' }5 K
* o& _5 ~0 I+ `" n% |" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

, a$ N) S+ z+ O. {没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
' p( h8 O. N5 V1 ]+ b; Z" p% q  t
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

  b/ N/ e3 c3 N! {
; A4 c$ g# D. N4 s' w您对答案的理解似乎有误。
" _7 A/ e' N( ]# R随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
: E9 H- n  H- b$ @而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
/ X- _" M/ K' W( `9 {! u' b- b您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
: m3 u# t- g4 P7 Y# V. S! P$ p. F
9 \$ N5 F, c) E  u1 w9 q4 O0 UE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
; K0 W9 m' D) j# }1 V( KE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

3 |5 z; k- p" [5 o. x原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
' t5 J( M% u; v+ k您对答案的理解似乎有误。
" n' l, z5 m! Z' v( S随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

  [0 _0 Q7 i. t) i9 ]8 {明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

# B% ?. U7 q* u! kE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

( U. ?9 T: K- a( c; l2 n递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
  W  P7 S2 l; o+ a( ^. R( @递归法也是可以的。

$ N5 \/ I  V) M6 K/ o( E: ]6 [其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

( L* w. s! W3 c
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
2 }: a; K, f- |  c2 W6 Q
3 g+ O8 c% H- P- q9 v% ^/ i# Z而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
% ]5 V0 t$ w  x  X, m7 E7 s1 q, m所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

, x' O' k0 C- z; z  _Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
1 R" L8 ^8 c" {! h& p: _
  C- O! D* {) E; qFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
3 h6 f% i4 i9 ^: L9 M
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

. J/ X& S! A! BThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。