此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

- W( L) p0 Y: U9 F, Q其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
; l+ b5 Z6 m: J, ~在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
" s7 o; e$ |; x" P5 c8 Khttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

4 w7 K2 d% d7 L2 p" D0 A9 A按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

+ w  f/ e; e3 @5 |" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
' Q* D2 d0 K: e! Y" \4 b: B* |
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
9 Z6 v9 j- B  m) j( Y7 }7 c
5 ~+ e& Y7 z. d! C4 \- b) r/ x老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

! e4 Y% W, q& T& |( _3 O( K
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
; |4 g0 c8 O( O: t- t3 K5 {! @而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
! ^, v% z, t0 C, L2 U2 P  v而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
& P9 [+ y( d  N
$ D# f$ {9 K/ XE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
% A. r7 U3 d& l! w4 y& u( M% U
' m5 y6 M1 ~+ H; z, _" `3 D* _然后从头开始：
- L5 e! g1 S  a" ~# t, |' yE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

! x7 C% R. }7 E原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
  N& `- L) z' A1 m4 p0 m0 d随机变量X是测试过的元素的数目
- o0 D" z" [& |( w5 _) x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

& T) u* ]( d/ U明白了。
: v1 K9 w0 v, v+ Y1 V/ R7 C是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
/ d& \- R& N4 F' ~这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

( v, t- J/ |" z
6 G- l- f; r, j3 x4 r递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

* ?* |" e, ]& Q5 G8 x9 d! ?7 K+ r其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
$ V+ z3 W7 X# [1 X; b7 M# G  H其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

  e* L3 U' S0 x6 U  F, O# K
& l9 X, Z1 s2 k4 w# P, T我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

$ X# ?2 E5 \4 V( ~7 p: q而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
5 x0 \4 o4 V* w' R. Z所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
/ \( Y, ^) p# o$ E
) V3 i( v+ E( D- QFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
4 [4 X: i& q: \  S, Q: }
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
- a8 Z- d% h- @" q$ O# [
$ q* a6 E- Z& b0 j9 B) I! @8 h; E) P理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。