此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

, k; [/ `# {8 \% `
其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
8 M1 z  z( ~) [$ w在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
# J. L& Q+ q- l$ h问题就是这个人的表述
3 b9 p9 p3 o9 D, t: J( F1 e- @https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
3 m7 b7 d3 o5 \0 L* {" u% U
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
5 P$ Z* i, U" K( N
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

; \8 C+ f0 }, W9 s您对答案的理解似乎有误。
+ m' S" @% x& \6 V随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
$ ^. }: A* D. I$ @所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
, X& W) W+ {& i% w) t' y$ a% c# h+ Q, q
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

; r4 C' F; o: U# W6 a# p然后从头开始：
+ t) S" M6 e! x! S8 ?1 X% XE(k|k)=1
0 c  C2 h$ X0 Q! p3 E( QE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
/ u. F( l& I" b" t2 O# D# V( GE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
- Z: R9 y* O2 K* ]Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
9 R7 X0 M+ [2 |; f4 S# Y
原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
6 w& ]; b3 H3 ]; `1 u+ t您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

; E# C' g- ~* L7 U; U明白了。
4 }  a* _8 J2 @5 d( h是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
  @. m3 I' ^6 G  ]* ]5 _! y这个题目可以用递归的方法解决：
6 h8 q* h/ e/ [* t+ z+ T- _5 _
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

8 A  Q: ]' G/ i
, z. ]2 }; w# g递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
: u' O& Z3 d5 f: }) d递归法也是可以的。

5 m$ I$ G, _  c$ X& s- ]3 n其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

$ T- ?0 r4 R8 _
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
& k1 ^1 i2 F2 a8 _2 Q4 t
) a. ^" q& C/ A! n1 B" ]( P$ L/ X* S而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
$ j7 ^9 ~' u0 H( B所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

! M. \1 A$ ~8 x  E* FLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
5 S8 ~0 a' [! i+ C% c+ W% T
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
. s! G4 `/ s) Y: f6 C. z1 y
7 M! H2 i6 X8 f5 _* nFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。