此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

# _& V. W% e) }* K( x! h6 O0 E其实是个概率问题。
' s1 s, d4 W3 i2 ~那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
7 g. j3 c; b' S8 C& }! j在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
! _# F( D8 b, L! n8 ~https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
: y& K9 I  s8 h# i2 ], a
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
" N9 N2 {" K( V  {
" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

5 ]. v0 m2 N5 c+ n9 E没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

* m+ h3 H' x$ S1 w* @# q
4 w1 _" q0 y4 M: v+ H+ h您对答案的理解似乎有误。
* l; I& c! b, y  K, J+ B随机变量X是测试过的元素的数目
8 l6 K: I, J1 b, }$ u6 ~而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
' a! j8 D/ W: b& ~& |& \所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
8 W2 t9 m0 Q. A3 B9 N" V6 X$ t3 r! U8 v6 }( |而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
" D) @* ]8 [# L2 T- @7 ], B$ h您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
6 X3 a; S' w. R/ o' m0 |
* Y: Z9 L* f0 m: R' NE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
2 N. p- E6 V( ~6 q8 T# D
# x* v: i3 s9 A$ `然后从头开始：
E(k|k)=1
3 ~& |9 o" y8 J0 h+ p0 m6 OE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
1 K  F7 `4 n1 q5 S/ U& FE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
4 ^" G3 h, @! Q: u4 J% G9 DFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

7 X% c7 m3 {8 _; K  C2 t) ^# L原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
  `9 k! R6 M" ^您对答案的理解似乎有误。
9 ]3 z' Y8 i+ c1 s/ b  A2 I2 K4 h( k0 ]随机变量X是测试过的元素的数目
$ ~! N% A  B: {3 }- o而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
4 ]$ A- }3 U" i& ?, M- V' A
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

! M" @& J! U, @; n
递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

9 L1 T. L$ I* ]/ V' c7 X其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

0 a" g/ b! a) D# Y

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

. j" }9 A' I* r# f* x3 u* `: t( X我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
% X. i6 ], y0 a1 V, c否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
/ C9 B0 R$ ^" {所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
; u' R# Y. m2 l2 p1 y9 j( N
6 M3 P' _3 ]! L7 F/ m; w6 L$ Q: DFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
  I& }; S  m$ l
( s+ {# U; G  b/ z; e" RFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

% b9 T% p# O; m# ?  FThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
% _3 n9 P/ u# r. y% w
& P: S3 Y, x7 |# y4 V理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。