此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
. g) }) G* d3 E3 R7 W8 \问题就是这个人的表述
* o2 V' @% J; S. l$ {https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
; F' y/ Q+ |* e5 Y9 Q6 h8 I, n
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

! y$ O. x9 M) z: _! g' }  ]" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

2 u6 m9 u' ?" i- g# o( r没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

, P* ?5 i+ [; t$ K您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
# ^' p2 X% x9 G& ]/ ~8 }; ~! ~而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
0 k4 R) C4 d+ a而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
6 ^- N, K1 \9 I+ b3 O0 ?3 `- V) g) K您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：

1 z+ c) t" q. qE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

然后从头开始：
( w$ B4 C  w, ~- H% f3 mE(k|k)=1
6 `  W( L1 ?3 H( L( a" AE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
% ^3 }2 v5 ^8 P: SE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
1 l' ~9 P6 N4 J; x- b% E" kFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

/ Q& I) E6 N- Y9 z  @7 X原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
" l. `% e2 \; O& c0 [' A' ]; d1 h随机变量X是测试过的元素的数目
. t1 D) j+ J3 d8 ]# w/ V& [而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
0 C8 o" {- k; M! V是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
7 E9 {' L  v5 z2 P; R0 D多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

! N0 [  K9 I- ^# p# X其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

, @; _& k7 L7 F$ O" N

老福 发表于 2022-3-26 12:01
) O( o9 ]6 a$ ~6 U: h- Q% M7 |' u0 I其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
7 _& n: N" h+ Z否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
" G2 S% u' X+ U6 m8 ?+ _所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

9 X6 e1 m& j) G; `Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

# V/ L9 [- n3 q+ q5 gFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

! d, b) ]0 g  A' s9 |7 CFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。