此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

+ U" Q1 W: g# ^/ g1 y& p0 b
其实是个概率问题。
) C( N: C" f8 M  _5 _那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
9 p' a& f% s8 I. r& j5 g问题就是这个人的表述
; X  s" x1 e2 s1 m) jhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

9 b. s2 }# V0 O) _8 Q/ o按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

+ }* F% p; H# ~4 N) y没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

: v# t4 S! G' ^0 p. j/ U! d5 a  K老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

; ~) z! p4 i6 y! w! Q
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
* m! n7 w* u6 E' J0 A' u而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
4 [+ n1 r) Q0 ?" u! g! ]9 C- D
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

/ G5 W$ F0 V* {( d$ ~5 t然后从头开始：
; g* S$ u/ f  P: jE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
. r& R1 w. ?, E0 AFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
8 [! M! D2 h  b# U您对答案的理解似乎有误。
! g/ o0 ~; N2 b随机变量X是测试过的元素的数目
" `  I" Y. ?2 [3 ?* B1 k( ^, R1 t而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
# ]7 I6 C3 {- v* o0 V8 C是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
1 c3 p7 e; |) c
2 M, Z4 ?+ [" Y& o& UE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
6 s( M% R, y: f/ V8 G8 `! c递归法也是可以的。

& h% a! _/ p0 o9 \5 s; s其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

9 B6 C  e# x, H% r我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
! z8 d0 ^4 b+ C/ K& X- k6 C% H4 A否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
% D- K2 D+ u. j% m8 r
$ Q) P( S1 w0 d. y4 `7 ~7 P& R# F而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
7 T. B) a8 g0 Z! N) R9 ^所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

/ T  v+ p; \5 ?; O% W; hFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

7 i  q3 P# E6 Z理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。