此间大牛多，请教算法高手一个问题

雷达

; |$ i9 c( n, K" z( ~6 m" h; @其实是个概率问题。
) J$ f  u$ C- L那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
" a1 b& S4 q+ _; N: C: _5 [- f在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
  C. l; E$ p/ f问题就是这个人的表述
0 J+ o) S; m( }7 Phttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
- Y0 v1 A; f1 S+ d$ {4 j
! ]" }9 M2 ^$ B# _9 S按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
9 ^" c) Q' l) R1 U2 c6 T
9 w" E6 [) D. t, H没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
9 {9 @6 _, Q$ A& K+ I4 `8 i
9 ~# Q, I3 G9 }) P' J  x- W$ X老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

数值分析

; n0 Q2 A3 M) O1 f- d
+ ?2 ?1 t" R. r1 h# }; w您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
% u, f/ m+ C, d0 L5 O$ n' x而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
: \, g$ L3 Y. B' ^8 c所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
您再想想？

老福

这个题目可以用递归的方法解决：
8 c& y/ P1 s' [" i+ L) F3 P" M# r
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
7 H, f: n: ~1 R: n
! h+ _  Q1 K5 j然后从头开始：
E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
1 v4 t5 j2 I* j9 f/ WFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

雷达

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
1 {/ K2 G: \0 @! Y9 L' d您对答案的理解似乎有误。
4 K7 V% ^" [0 b  j2 d随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

4 n/ ]$ ^3 w. h5 v. a明白了。
7 u3 u- {. p$ N* F是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
% T4 F8 y: w2 v" O  @0 v多谢

雷达

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

% h, B# j( x; }E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

$ N2 N* A1 A/ c
/ ]8 b7 O, N; K2 Y# z递归法也是可以的。

老福

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

数值分析

老福 发表于 2022-3-26 12:01
# J* ?) s. Y7 Q$ u其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
$ n" s3 n: M1 Z1 T5 |否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
$ L; F1 }/ |/ C8 t所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

老福

一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
* [3 R6 W4 Z: k( y; U- h: V
Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
8 X; N1 l' J" F
. }$ ~& S, q# k, f- B* ?For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

: r6 G% ~  I3 gThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
: d5 i( ?9 @, m, N7 ^
3 O: p. T: }3 p8 _0 |8 {理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。