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爱吱声»广场 › 研究生院 › 经管智库 › 数学在经济学中的意义（已更新）
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[经济] 数学在经济学中的意义（已更新）

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贾大松鼠

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 3 T0 B" ], y$ M2 s4 w
4 L9 a6 W7 ?4 w# X( [/ N, z, [
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
, E9 ~- P" C6 J5 C, q0 W大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。% l1 V3 S$ M, B* @+ z
+ _' h$ b) V4 d- ^
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。) V2 _% D5 H+ Z$ J9 O6 R
' v, v2 b6 C0 |+ k7 |
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。% Y% V5 `  d" F* I( Q. v; j
( U  C4 _' X) Z
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）7 e* D3 R9 V7 D7 y- m
  ?/ |! L0 F1 {! V8 Z: H) M8 T7 {
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
1 `1 ?1 W, ?5 i9 V9 X9 z3 j, ?) O1 k# c. q4 g9 w
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
3 ]0 B( S5 P% `# f0 Y
3 s2 b! `( @! S$ |8 G) v, J问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。" v* H( V; _+ V+ M2 F0 _

. `; R4 J8 k. r5 o7 j0 I0 _0 N# L7 `) }# a1 i/ h8 X6 a9 g4 j4 Y
量化在第13楼~~
经济学, 数学

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人在江湖
  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30

    • 签到天数: 17 天

    [LV.4]金丹
    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    贾大松鼠
    高中的时候是觉得自己数学不好，怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
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    gordon
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27

    • 签到天数: 1 天

    [LV.1]炼气
    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 3 `8 P8 h# [, q0 X. d3 m7 m" p% P

    8 y  B% ^6 n3 V/ F9 ?4 H经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
    * G& g" l1 Y; @( q* S* X3 p% }- k$ E+ h
    经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵$ F& R; }1 f& j; J

    ' E0 ~& q; B& t& Y$ m. k, F理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
    * |9 b( E  J+ @, u6 W# L5 ^( c) |- k, D: u
    外行人瞎说的，别当真* v/ [0 \6 V4 P" ?+ c+ K

    ) S$ ~" m2 B- Y9 d4 L1 S2 m8 i0 K+ D/ q* m' e6 I1 P" P" k; U1 f

    点评

    万里风中虎
    真正的经济学家其实就是物理学家，收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07
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    假如十八

    该用户从未签到
    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 . Y, \! ~  g* |* G* [& |
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
    " y2 t# F3 o9 R+ r: B
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    7 N$ A+ o. j( \效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    % x" r; ~' J) s# x9 A) {" l- U你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
    5 r+ F. L# n  z  x只要是不连续的函数，都是不可导的~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 , ]7 R4 B. A* K5 E* s1 w: s
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    , v$ D/ V/ @8 v" t. d9 l效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    ( A! a& G0 V2 @$ }0 Y; `$ a# X你的意思是marginal ...

    % r3 U) y9 u3 o# a就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。! [# ]1 |* u7 U/ T: N

    " |$ S0 P1 A. I# a1 [9 P这种处处不可导的utility function真的用的多么？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    8 P; c" A8 o% Q9 I8 T经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱4 X" i1 C' }* d0 S$ j, S( z0 z
    : \$ A# A; B7 D
    经济学又有点像理论物理 ...

    : K$ G4 W/ {- c2 ^6 |6 k嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。1 M& X( x4 B3 L& l  N1 ?7 q
    不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
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    贾大松鼠

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 & F/ d$ T! D% S( u/ y
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。: Y5 z5 v- M( J: T" I: [( ?  {
    . W; f: O% A0 x. \% N- M
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    $ Z& I* i( V2 T! w0 h几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。; C$ S. @6 l6 |
    因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 2 X: g+ H  r) o; L% `4 g8 b
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

    ! O$ M# W' t; m8 a: P2 Y2 A& ~6 v- k; |! t  J, ]/ m3 n; N0 y
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    - ^" n$ M  z+ f+ P3 {8 }就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。$ t% Q8 v' v* f5 |  ~
    & b* M- `+ f$ T  Y2 O. c$ B
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    & `& h8 O% i9 k+ W你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
    ! T5 u: Q4 B4 ~( k" g1 Z, ]4 y9 u; |! S- c0 r
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory: J; y# W1 x/ k! v3 f
    ' X: n: l( Y) ^% J
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
    : R; M: K$ J5 r$ s7 P. z+ W3 v
    - @# E8 _: b0 Q3 U! X

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    假如十八

    该用户从未签到
    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
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    天马行空

    该用户从未签到
    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 ! `* A" K/ c' g3 I: k
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
    & G4 U: s0 q$ F" P5 r8 y3 A7 S6 ]; N# D6 ?  H7 W. o( ^$ M" D
    经济学又有点像理论物理 ...

    / q9 L/ X$ w! }: U经济学还能挣钱的。; d7 ]1 `( E$ S8 ^
    $ L3 \- E5 a6 p3 N
    / K; j: a: U: e0 b8 t
    理论物理真中枪，只能当作修身养性
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    贾大松鼠

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    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~& ^9 k% l2 v2 ]9 Z
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。, w2 H' D8 d" ^+ J9 P
    术语上来讲，叫calibration。$ [' g+ J+ Y, J  h$ w3 L
    怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
    . I1 j- F& P& n. R; l7 ]  k  V9 e% g+ [/ _3 \( l4 @
    上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。' `+ O; Q4 @. u* l: U. q
    那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
    - v- i# A! i' g. g! m——计量的方法。% v5 Q1 f  d! `" K

    5 L( d4 d( D7 Q( F计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。# I) C* J! w" n0 J: ^+ h6 M

    . O* G4 n$ O( N下面我提几个问题，' x& L8 s* G9 v( e9 ^3 I5 V" _
    比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
    9 c2 M: h6 K) D. C; s, N& P% e7 w再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响% R- Z4 f; I: w" t
    再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
    $ b+ a9 P+ a9 a1 e# D$ ?7 e这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。0 L. I# A5 c( ?$ c9 l
    术语上叫做regression。, O; r* W0 P. N* k
    而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。" q7 z4 s7 J; S5 Z8 _2 ]7 n* W- R2 h' N

    / z% P" @  \/ i' t5 Q9 d最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。/ m8 v1 s; V3 c8 _  d
    每个观测到的数据之间是否是独立的。
    7 j2 B* @+ V/ R& J* s比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。9 p1 C, c* r: m4 B( v
    这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）& H6 m1 c0 [6 \
    这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。( L$ F' C! {4 a

    5 ?' I8 q( H: f8 H于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
    # f: w+ L" T3 r. K这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
    3 `/ h. _/ ~3 K至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
    3 H1 a, K( w0 v
    3 s2 X( u' w; V. _6 q经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

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    四处张望 + 2 谢谢分享
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

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    [LV.3]辟谷
    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ! r( `4 Q) u( V* [' R. ?# I% F$ {1 x
    下面就要来说说“量化”了~~) e" S  u" G" i2 k9 Q9 I$ G. u
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    6 s3 a; ^+ e5 o) X. D1 a& z
    所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
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    假如十八

    该用户从未签到
    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    8 P, J6 T4 K( _, Q( A效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    ; T& u, \5 c& u% \: ~( L& Q这个我有个模模糊糊想到的问题。
    / T2 Z; v8 Z9 W$ S0 F
    : a- Z* ^$ y' F比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。9 R9 S( ^* y4 T! a5 v: q

    ' g3 |+ c- G+ {" G0 f% C7 }, _这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

    点评

    万里风中虎
    有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58
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    假如十八

    该用户从未签到
    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    4 [* d* s  ]: A' p8 E这个我有个模模糊糊想到的问题。
    % W8 \+ S( D/ I. ]
    ( ~9 l7 w% y( C2 P7 e2 U4 K比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

    # i1 A6 |# ^1 ~2 d7 @& |; @万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。, f1 C: h) U1 y* k6 m0 N8 g

    + ^, z  z) Y' n: O# {* ^; J多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 4 v+ N$ z# _6 F9 p- K* X: t
    下面就要来说说“量化”了~~
    9 a1 N5 m& `- k! y4 u6 U# O7 V对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

      J- t  ]$ S" i" X1 yCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 " {; _3 o; j% O1 o3 y6 Z5 p
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    $ K9 Q  ^3 j# ~) t2 D& r; e* M这个我有个模模糊糊想到的问题。3 Z0 \& l; u7 s3 P3 Y4 c

    0 g- B4 |4 n6 X# d% \) z比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

    4 a. s% @/ ?+ K
    0 p* K0 I9 p7 W. y5 ?8 _8 ^" B由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。2 T% r( r3 b8 G4 w
    ! z5 N3 ]/ \% x$ O4 e7 v" ^; x
    金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
    1 d3 S& K1 G* h0 F! e! C5 g4 \9 p9 Q9 |5 r& p' r4 g
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    % b" J" w% _% w2 _+ Z5 S
    6 o$ b9 [/ n' p# D* W

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