数学在经济学中的意义（已更新）

贾大松鼠

经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
( f/ J6 K0 i5 |5 R大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
8 E6 F( G7 v: x! w
  n9 ^! ^9 b! k不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。

一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。

这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
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, l- d4 B* ~8 _% n( u; I( P8 J8 G$ @所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
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! d' w$ V4 m* Y; P8 H+ v那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？

问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
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5 z% s! H: K- L7 v量化在第13楼~~

人在江湖

牛啊。高中就开始思考了

gordon

! Z8 f* v! V% _, P
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵

理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
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外行人瞎说的，别当真
  L. b; a- h  c) C; _
- r: E$ f# j" d2 h3 D* j
- n* b3 Y) @9 r6 v

假如十八

这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

+ `& f$ C! j/ f5 p( v, n1 \7 {' U1 S+ J收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
. m" q: {' J, C* |5 X* U, e' V效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
  D3 b4 S1 f! k你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
只要是不连续的函数，都是不可导的~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
+ C# Y* h5 y# R. P% u3 t你的意思是marginal ...

就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
4 U/ F: j" o% f* i  M) q! g
" Z& u, G1 W# D这种处处不可导的utility function真的用的多么？

贾大松鼠

gordon 发表于 2014-1-8 20:09
# y/ O' X' m. o4 c经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

' @8 B4 ~: a, w经济学又有点像理论物理 ...

6 [- _% \: n' t3 h嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
% e* `$ @9 E$ l2 R% V( S不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
. ~, w6 u8 [! e8 l2 s! z3 O, a就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

7 {8 N: O! s# ?% Y这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
5 k6 l( z) L# ^6 C' c+ x+ C! J' G几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

( I4 t! o" X# Z# \/ g5 Z( b所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
5 J, ~1 M/ q! v: G+ b就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

; z( ]6 a: p- V4 p8 W这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

" H  M0 X! C: j9 _- C你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
  N5 `2 @# M( q$ q
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory

! B. @9 L- K9 v% Y( N' I经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
* y1 R& f/ o+ J7 @; D6 M. D9 {

假如十八

不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文

天马行空

gordon 发表于 2014-1-9 09:09
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
) G' F' u9 J; J. i
经济学又有点像理论物理 ...

4 G9 h% z; }- ^0 [  L* s2 h. x经济学还能挣钱的。

. t, Z* j+ q' V$ I! Z# t; l
理论物理真中枪，只能当作修身养性

贾大松鼠

下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
术语上来讲，叫calibration。
4 P, w1 D6 \2 ^7 I0 p怎么找呢？基本上就是来match empirical data。

上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
* a2 R- t- J1 q那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
( S- x0 I8 m1 ~, C+ s( F! u——计量的方法。

计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
) U) A& I' D/ ~9 b! t. x
下面我提几个问题，
' N9 O' D, w" [* Q) R" _比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
- n5 n$ t5 m+ |: R术语上叫做regression。
, ^  {- N3 V% |+ o; j$ h$ y而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。

4 t( S! p; T8 m4 x5 r) U- }最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
+ ^6 v8 c- o3 C! A每个观测到的数据之间是否是独立的。
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
" C: R: _  p% l9 u% L这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
8 S/ p# U  Y$ H- \6 E这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
4 M* U, o8 R$ u; c& |
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
& N4 W; t6 z; ~! J( b) f2 U+ C至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
8 J& o6 ?* z7 Y/ [; [7 n2 ^
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

万里风中虎

效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

万里风中虎

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
0 y! K# B  Q" L5 E( Q下面就要来说说“量化”了~~
3 a' W0 V2 G+ A. ~- M对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

, E3 ^0 E! U1 w所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。

假如十八

万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

" a" P& a8 b. I2 F( @这个我有个模模糊糊想到的问题。
( y% j1 i0 K" d2 d& B0 V3 V! M
: b: c& T! m" h! o2 v比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。

这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

假如十八

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
& b5 A/ ?* E% v3 I* w& X1 N  D# N这个我有个模模糊糊想到的问题。

6 w: S. N7 H# B& Q比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

$ J' W$ k- ^: z/ C, b* q* B0 K! j万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。

多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。

Dracula

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
, }" H* t: h/ c对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

0 C& W4 R/ C7 }4 t3 NCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。

Dracula

( q/ S5 N: A, f, ]

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
/ q9 k9 S$ C. C# ?) T这个我有个模模糊糊想到的问题。

8 P; k! \+ A+ I# G' X3 }; |比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

  M5 f* q/ C; i
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
. M' v5 C4 ]. F; q# t
2 A& K8 m7 W+ B; G) R2 X金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
% l" C( N# v- M1 h
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。