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[经济] 数学在经济学中的意义(已更新)

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 4 P8 D$ F! |( j/ F7 @/ m' \. G
: }6 m+ q5 p  k! M
经济学与数学的关系,是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济,需要数学好。而数学在经济学中的意义,是我直到念了博士,才一点点理解。. H' h: ~' v2 _: ~* E6 A% O# Q
大松鼠感觉,经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱,还可以用作在微博上大骂国家政策。) ^4 F6 Q+ h! o# S( D9 f
2 h% z: I. d1 z
不过,经济学本身的研究,与这些人的区别,据大松鼠体会,大抵有两个不同。
% K* {5 Z3 B3 J. [% j- ^1 g
8 p6 K4 ?, g2 J# [7 U* y' d9 m一是,在理论问题上更加抽象,二是,在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词,都和数学有着紧密的联系,但是也不尽其然。9 V. I7 m7 z# y1 L' z1 q

' Z& u# U5 p  A$ x: |- x! t0 G4 \. v这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。(量化在第13楼), ]1 w  w" O& c" L9 Q

( y5 h7 S$ ^% {" G9 J1 M所谓抽象,是指把很多具体的例子,总结成一个例子。而这“一个”例子,必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子,必须是可以解的。否则,问题放在那里,也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程,实际上是一个由繁至简的过程。这个过程,不一定需要高深的数学。举个经典的例子,乔治安科洛夫1970年的著作:《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》,这篇开启整个不对称信息研究,也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章,就没用任何超出高一上学期数学的知识,最难的数学知识,是分段函数。
7 n) H+ f( k, Y+ G; i# ~$ u; G& ?7 Y
+ Q% j" b1 A* F. r* B1 t+ ^3 f* F那么,高端的数学用在了哪里了?在理论问题的研究上,高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设,是假设一个人choice,是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系,就非用数学而说不清了。首先,人的选择,可以用通过分析函数的最值来分析么,这个函数是连续可导的么,人的选择的空间,是稠密的么?这个函数,是凹函数还是凸函数?
: Q6 m. ]8 ~$ y& |5 g: @4 {" Y: q  }3 A( L
问题接踵而至。大松鼠在这里,当然不是为了要讲解这些数学问题,只是认为,其实越是简单的问题,越需要深入到最根本假设上的思考,越需要严谨,越困难。* M. ~! j6 T5 ?: m! U3 u1 k9 c! q
3 s, q- o" V6 X3 D
2 w, f! z" N, O: x+ ~
量化在第13楼~~

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    奋斗
    2019-2-3 22:30
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    [LV.4]金丹

    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    高中的时候是觉得自己数学不好,怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27
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    [LV.1]炼气

    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 ( `9 U; g7 z0 B

    ; _6 v& W& M4 X3 V经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱2 L* m; C6 b5 q4 I

    ) h$ Q2 U" \! {6 u  |) ?) c0 l经济学又有点像理论物理,总是自己在创造理论,呵呵7 x" G3 r) `* `; M! f
    0 u, f; ?" N. \. U4 z6 W/ P, Q
    理论有点像货币,可以流通和实物进行交换,但理论又不是实物,它是一种指代关系$ ~4 X" L1 T/ K) K
    3 E3 ^6 T6 g1 j1 h. h. Q
    外行人瞎说的,别当真
    5 H# h5 D) R4 ^7 c+ m9 U/ o; z+ b
    ( y% z" S9 \5 E7 x# q( ^3 J6 e3 W9 e( f+ A$ d( m9 t5 k. Y

    点评

    真正的经济学家其实就是物理学家,收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07

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    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的?

    该用户从未签到

    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
    ) j- s6 s- i; [. U( D这个说utility function处处都有不可导,因为收益和损失效应不同,数学上怎么表示的? ...

    6 w2 Z! X  B' c# D3 a  t% K6 c* I收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。! Y$ E( \3 J  f0 n1 E# n
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~# g3 P, n( e  M: T+ @% G
    你的意思是marginal utility不同是么?大概是一个函数从左边求导不等于右边求导?! I* }. b% ~5 E2 M8 H
    只要是不连续的函数,都是不可导的~~

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    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 & I: q9 i4 Y/ M4 Z1 e2 Q& H; X
    收益和损失效应不同?木有听过这样说的。。5 s0 x$ B9 P$ X% B' ~* J
    效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~; Z( N: ~7 Y$ L) `9 N0 m
    你的意思是marginal ...
    9 h6 T: D, J6 H! Z
    就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。" U  b+ M1 U! v5 a1 Q
      q# r* a6 \, ]
    这种处处不可导的utility function真的用的多么?

    该用户从未签到

    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09 / r6 e# b% @5 U
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱* ^9 ^; x! S/ [' H
    3 |. w3 i# F4 I  ^4 ^$ G# Y3 m
    经济学又有点像理论物理 ...
    9 h* p$ n: d6 Z- t% |
    嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币,是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的,都是人创造出来一个概念,然后去研究它。不像物理化学生物,研究的都以自然界的物体为基础的。
    ; l& w* B* C3 }  h% G. q不过经济需要数学,数学不需要经济~~嘿嘿~~

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    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    " {1 v" O' Y% B/ Y  a& m: o9 L0 e就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    * t$ c( l  N$ y6 J
    0 U7 r" U) l+ g" ]4 H这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    7 U+ j3 z; [5 y0 }: n3 k: ?几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了,就把这些特例扔掉了。- I7 {$ A5 n$ y) S
    因为应用这些理论,来解决实际问题的时候,绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导,那么求不了边际效用,那么什么都解不下去了~~

    该用户从未签到

    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 $ _( [' _# }2 J" J
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论,把它讲出来的时候,要非常的严谨,比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

    % k- O  u. _( L5 Q
    * g9 @1 l% `$ Z& m所以行为经济学离实用还有挺长的路要走,可以这样说吗?
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    4 B5 p+ y$ x5 e+ m. n4 Y就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    7 m; u5 Q% g1 C0 x& B- }8 [' c7 q8 i1 ~+ ?! j4 ~
    这种处处不可导的utility function真的用的多么? ...

    " ?8 T7 _# ?7 g) M# P; @* f- e1 H你说的是loss aversion,比如投资,损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小,在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里,人是风险中性,对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型,我对这个领域了解的不是很多,不多写了,这是Wikipedia上的简单介绍。
    # D1 k9 O! i) d2 H3 u$ t4 m  y! `( o( i7 X1 A
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    : ?1 k; @5 o) h: v: y! c" K" _
    0 |$ B0 k7 u6 a" i- D* L9 b经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似,里面肯定有很多假设同现实相违背,需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题,效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导,推不出漂亮的数学定理,但是对结果并没有太大的影响,比如解出的函数不是单调增加,而是在绝大多数点上增加,对实际应用没有太大影响。# u* Y" @& E# u/ m. A# D

    3 y0 X( E# A5 ~

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    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续,花等下文

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    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 ! j( S) F- O1 A: e
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱,数学就没有干工程的挣钱
    , J) J) S. f, @, }. @$ H4 K& m8 O: j% t& \2 N1 k
    经济学又有点像理论物理 ...
    6 Q. b5 a: B- f" U9 R4 N2 \
    经济学还能挣钱的。7 M5 ~# a1 x' m' b% h! G# V6 j/ Y# N

    ( E6 Y: X2 S0 f- _, \) e6 i8 }8 ?9 P8 C, c' q3 x/ g
    理论物理真中枪,只能当作修身养性

    该用户从未签到

    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~
    6 |; m* p% b/ Y2 w8 l对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模型而来。之前说过了,大体上,理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后,量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的,就是找到这个特定的参数。0 W7 y; h( q" }5 s) k4 d
    术语上来讲,叫calibration。
    & v6 b% N2 y9 _3 H) F怎么找呢?基本上就是来match empirical data。
    / ~. \5 v- ]( J( f
    3 V$ l; C# F/ e上面这种方法,大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。' y4 b0 h& `& p- W" A$ [
    那么还有一种方法,是从外部入手解决量化问题。& V% n, B& X/ U! Y
    ——计量的方法。
    7 O4 h$ S' \& g* h3 U( T0 ], h4 f& M
    ! F$ W& N4 z: A! H计量,可以用来检验一个理论模型是否符合实际,也可以直接作为研究问题的方法。# P+ e& W- ]. @# q( a8 y) v9 `

    ) b! t% l2 b$ L; Q: v; D* t下面我提几个问题,& x8 L/ b. F; q# \3 k  P- \6 _: |
    比如,大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响?6 t( p, f0 j3 H
    再比如,一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响0 G( n/ J) X. c! }& A' a' P
    再再比如,如果多看电视的话,会不会容易引起儿童患自闭症?
    5 S+ n9 p( T) _% ^+ q9 x这些问题,不太容易从建模的角度去分析,因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢?我们从外部,不用参数模型,而直接用数据本身,得出答案。
    6 Q, h. ]! [' {5 ~4 z3 a术语上叫做regression。& ^  X) y8 S# W1 ^# G0 B
    而这里,就会遇到一定难度的数学问题了。基本上,是统计学的问题。
    # W- T# Z# A$ s* q. B2 n8 t- c) b/ V* d  [' w
    最先遇到的问题,是统计学上的大数定理,是否可以应用。
      D! a0 W8 O; v  \+ C- n每个观测到的数据之间是否是独立的。; f3 a: i' h2 h( ]: [2 c$ V. V, c* d$ e
    比如时间序列函数,每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了,明年的GDP很可能也是高的。
    ; E# O7 r4 ^1 p6 p" E这个数据本身,是连续的数值么?还是1或0呢?还是0或连续正数呢?(比如工资)4 T+ m$ y; }, {1 `
    这一系列的问题,都跟统计学有极强的联系。$ z+ x- Y, R2 I

    ' F4 V& {5 d: r于是统计学分出来,与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起,出来了计量经济学。
    4 c, {! s1 p3 K& n5 B5 }3 Z9 B5 S3 @这个计量经济学,又深入到其他社会学学科领域,
    " |/ d( w( K& c  Y至少我知道的,政治学和社会学,前沿的研究,都与计量经济学有关。
    3 C4 \# d$ _/ y8 a1 H- [9 g0 ~0 a& e* x( {$ D6 Y
    经济学用它独特的量化分析,统领着整个社会科学研究。

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  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41
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    [LV.3]辟谷

    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ) t! E# s7 }' [, ?4 b. q
    下面就要来说说“量化”了~~) G; ~% v' U% Q. D7 R9 ^
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    8 f5 i: E( V" E  p. i所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用,可以为其他学科服务。同样,其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域,只要他们的技术足够强。

    该用户从未签到

    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 " B1 `6 S2 ~. _
    效用方程的描述是最困难的,而且从个人效用再到集体效用也是难点。
    : U5 v. c: N5 i' ^4 \% i& r- R
    这个我有个模模糊糊想到的问题。0 i8 H' o/ q; V* W* e; [
    ' r- r- T7 Q% r9 P' A
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏好,是不是在某种程度上就是风险中性概率?这个也是从个人的估计到市场的估计。
    0 L& w6 r8 }0 V) |+ ^# h- F4 j) Y# `# S
    这样从单个个体到集体的归纳,好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括,因为彼此有扩散的作用,还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的?agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了?

    点评

    有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58

    该用户从未签到

    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 : |( ~$ A9 S1 R" H# F7 A8 ]: G# l
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    ( L1 L' ~# |7 y3 W4 v' M
      ]& W4 q1 q7 J/ P  s比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...

    $ s: L4 l; Y% S7 J万里风中虎  有,以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的,这是一个大流派。我不是搞这个的,只能做经验统计。2 c/ z& }2 Y  @5 e' P9 C$ U

    * N/ ?2 m( w+ b9 F! _' e) F多谢老虎,这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 5 w" h! x) \' X9 A- e
    下面就要来说说“量化”了~~% J8 K5 O+ N% t- F0 ^
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案,可以有两种途径。第一种,从理论模 ...

    2 }- K6 r" M+ i6 z; P# ?8 @Cabibration其实做的就是moment matching,可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信,不做Goodness of Fit的检测。
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    慵懒
    2020-7-26 05:11
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    [LV.10]大乘

    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 9 Z1 x3 Z  @$ a" I  d% o
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 $ ]1 X+ m8 N6 N6 g4 ?, z
    这个我有个模模糊糊想到的问题。
    ' w, H4 P- v0 c+ u( D2 H8 T  k3 b9 v
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率,再加上自己的风险偏 ...
    ) W! N; _0 g& x3 V( d$ P

    * N7 w& D# \% R8 l( r! C. t8 Z; l5 V由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现,这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现,MWG的教科书里专门有一章,你可以找来研究一下。
    0 _0 C2 L+ p. g3 u0 r1 T$ n
    ' i+ h) H; |1 G3 ]' L金融经济学里假设的representative agent,也是在这些限制条件都满足的条件下,才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键,我不太清楚。
    0 q) p& A: q9 M9 j/ H3 W! y
    . U8 A8 G) ~4 l" f9 b. U8 V金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架,一般假设每个人是risk-averse(我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果),因此有risk premium,风险高的资产预期收益必须高,以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability,涉及的数学有点高深,说的是存在着一个新的probability measure,在这个新的measure下,资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
    + E$ M) I% ~3 A6 B1 Z  l# n
    . P/ K+ ?5 `: V4 t6 k' {

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