数学在经济学中的意义（已更新）

贾大松鼠

+ f  r1 ]* s" j2 U# ?, a
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
+ Q/ n' x7 e3 ?( _4 a大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。

9 ^1 |4 c, G; T4 [/ L不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
& u3 w' C; f6 j2 U1 w$ c, W
5 l& X( J* S( ?! t( V' m一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
- c  T: h1 s$ W# o- _, G
( L% q& W6 r# m% Z+ O这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）

所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
. T2 s, `) ^8 i" l( O# y
( \; W1 C. f* {4 h那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？

% Q/ e" F5 e8 `4 s% Y问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
# w! R7 T5 v( o% x

量化在第13楼~~

人在江湖

牛啊。高中就开始思考了

gordon

4 y' u' P, L* z: b- u经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
/ F0 V. B4 T: `3 p& h/ ]& r8 t8 b
) O# J% `7 V0 X2 F经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
' t& \% o. f9 H4 Y( ]4 b
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系

$ w/ s8 d) o( y) p: q, a& `2 a外行人瞎说的，别当真
7 }9 E1 n. X9 n4 j
5 Y0 K6 J7 s% a( q6 B8 V

假如十八

这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
  r! Q7 p( I" s6 m5 q1 N效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
, `( S3 ?' ]. y  l, A: J) P  \你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
只要是不连续的函数，都是不可导的~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
! i) m8 o/ s, G9 p, j+ j0 {" f, }收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
# D2 q. q% g, r$ E3 g) T' n+ f效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal ...

就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
5 R# [9 ^! ^0 d; {: ?6 [$ f3 @- h
这种处处不可导的utility function真的用的多么？

贾大松鼠

gordon 发表于 2014-1-8 20:09
1 J8 O) ~( E! X- F; }经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱

经济学又有点像理论物理 ...

嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
7 P+ s3 x; a* \7 m# E就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
: y' V, @8 l% v8 F
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
: X+ G; k/ ]3 [. D几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

# h- d* |% w9 @& t所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

( `" I; g5 N, y! {你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
2 i! J- M+ h1 [1 v* A4 {' x
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
8 `. t( K5 F) `
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
, z* \* K, l! j; w1 ~/ T. W

假如十八

不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文

天马行空

gordon 发表于 2014-1-9 09:09
4 S0 n' s; }" f+ Y% G% J: M- ^: s# _经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
$ y7 A) p$ r8 z8 ?% {3 A0 F# U
5 z2 U! u( n  _/ x% k( _经济学又有点像理论物理 ...

经济学还能挣钱的。

$ W( W& W6 w$ }: q' H1 M2 q3 d
理论物理真中枪，只能当作修身养性

贾大松鼠

下面就要来说说“量化”了~~
. b& x. N% h( Z9 G1 W# b对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
术语上来讲，叫calibration。
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
& E8 ]2 k% p2 M0 l9 f
0 H, Q3 N: J7 n% Y) V上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
! e* d6 G9 M; y% }( f——计量的方法。
7 @3 v4 s: C  `5 I5 j6 }( ?
* p8 S3 b. u. x1 j( M" ?8 w计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。

下面我提几个问题，
8 b! y0 g2 E4 u( U1 D& y比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
术语上叫做regression。
2 W! y! }$ [+ [/ s( f而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
/ l0 }6 \. B" G& {/ d: U6 L
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
每个观测到的数据之间是否是独立的。
; S- @4 E* M* n4 l+ p: p比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
1 g  o& w8 q3 B  ]7 U, @7 Z这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
$ `, o: F' X9 M4 v+ K+ {; l& G这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
2 [, {9 v4 x, S" ?3 a" ^4 Q
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
2 C# `0 a) Q7 }$ [/ {5 Y2 o这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。

" f7 ~9 t4 ?2 x, y! @经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

万里风中虎

效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

万里风中虎

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
) l2 Y" J4 q' g5 w( y下面就要来说说“量化”了~~
+ t# B* C$ c+ F+ j  U3 \5 g6 R对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。

假如十八

万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
1 D% D0 ^/ `% S  e# C/ ~效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

. c. T. i' _7 D9 L9 d这个我有个模模糊糊想到的问题。
' j, {! G7 |5 G5 S  U/ i
9 x0 c, M+ U' M! s9 z8 j9 O& {1 f- \比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
7 _2 E% L. W% p6 O4 g$ V
9 T' J# F& y% a! }/ u( J7 l这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

假如十八

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。
4 [0 F+ C9 y2 a8 X: C1 a# o
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。

多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。

Dracula

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

5 a; d8 i! V- x9 F3 K6 H" \Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。
$ K8 o0 c" Y$ T1 J* z
- X) a) l& w/ O. Y& Z$ Z比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

  O( o9 \; [" _0 y- B由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
& q8 ~/ y7 m" f7 ~9 \
# v- H8 `: R8 H: Z4 J) B金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。

7 R2 N/ W  h/ b+ Y# q, N7 X+ k金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
1 G( Z! I6 T8 s