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爱吱声»广场 › 研究生院 › 经管智库 › 数学在经济学中的意义（已更新）
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[经济] 数学在经济学中的意义（已更新）

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贾大松鼠

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楼主
发表于 2014-1-9 08:04:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
; X% T: K. ]. O5 ]* R& l
0 C( A7 J" T% g1 L3 r0 {# c: c7 K经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。& I( h+ K; s. B8 A# d9 ~+ d
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。4 ^) V) T; I- U4 ^

! e( I' ^& T6 _8 l( Y3 `% ~  ~8 V  V不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。1 ?7 s7 O0 a3 P# p& \' L# o9 c

7 i& ?  Q" e6 C" A) K一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
, E/ N* }. b' W" }" r$ M) O, i/ U1 _. h! _" E& b8 G
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
0 c- \2 B7 B2 d' ~! t) {' L9 I1 U# s9 Y2 }" H/ I* R
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
8 ]: I/ |6 D& B0 I3 m2 c4 n$ O3 c; X4 w3 E/ y; B* S5 ?: l3 x
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
) N9 d# \/ L$ x7 P, ]/ t5 }( h( Z
' P/ m- r: N: n, F+ D6 O( R/ v9 M问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
2 F2 |5 ^" Q* m6 {* f& o7 C- u4 h$ j# j: H
( W6 Q- ^' x) e- s6 q
量化在第13楼~~
经济学, 数学

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人在江湖
  • TA的每日心情
    奋斗
    2019-2-3 22:30

    • 签到天数: 17 天

    [LV.4]金丹
    沙发
    发表于 2014-1-9 08:16:51 | 只看该作者
    牛啊。高中就开始思考了

    点评

    贾大松鼠
    高中的时候是觉得自己数学不好，怕学不了经济。。。  发表于 2014-1-9 09:00
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    gordon
  • TA的每日心情
    开心
    2016-3-6 10:27

    • 签到天数: 1 天

    [LV.1]炼气
    板凳
    发表于 2014-1-9 09:09:27 | 只看该作者
    本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
    4 P, T0 T. E4 I3 J4 Y6 T. e1 p1 H' P/ G( W, t  k) C
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
    & j0 \. x) r$ j$ b2 c4 T! n
    $ O4 Y) d# L( z0 \3 a; p% F* h6 q经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
    & k; \6 m0 `  S0 `/ j% g5 s$ U) j2 i
    理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系0 {; P7 W5 s9 z! q# O" T& ^3 g

    ; B/ x3 [6 G' h+ F0 @外行人瞎说的，别当真
    # D; u9 J: W( P* i6 o3 u
    4 _. b( s" [$ e# k. y$ [
    3 }% o1 ?% ^1 @* E

    点评

    万里风中虎
    真正的经济学家其实就是物理学家，收入不会太高。  发表于 2014-1-12 17:07
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    假如十八

    该用户从未签到
    地板
    发表于 2014-1-9 10:25:31 | 只看该作者
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    5#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:44:02 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 ; O1 Q  N. L% v0 B) ?) i
    这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
    ) @$ r( b! a) ~3 l
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
    1 S* Q9 e' y% ]% b( l效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    ) V! j6 R( M9 P+ t3 D你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？. f) b$ |; @0 ?8 [5 G1 Z# O/ N8 `
    只要是不连续的函数，都是不可导的~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    6#
    发表于 2014-1-9 10:46:49 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 : T. w. M( |0 M
    收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
      Z+ h' J; s. r效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
    6 V/ ?3 i# V9 J* P6 W% h/ P你的意思是marginal ...

    , i5 q( F1 d, ]  p; J就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    5 L* c0 T% t3 t+ c/ C; |1 p; I  u1 K7 a7 S9 H; x
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    7#
     楼主| 发表于 2014-1-9 10:47:08 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-8 20:09
    % a7 J2 F( O5 F! h& M8 \3 M$ K经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱, j5 X3 e1 t, A+ S$ x0 o
    / j9 q7 Q, H3 J' L- s% o
    经济学又有点像理论物理 ...
    ; f) T2 i* Q0 l9 o) N8 y
    嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
    ; t8 |0 }) e0 V0 i不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    8#
     楼主| 发表于 2014-1-9 11:13:11 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
    * d0 w  r: x  D3 u就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。/ ~0 w; S2 J6 a. M* A4 P
    " P6 ~7 f4 z4 N
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    3 s6 h6 l1 L5 e几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。/ k9 f5 G2 A5 \& n
    因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
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    假如十八

    该用户从未签到
    9#
    发表于 2014-1-9 11:14:32 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 7 ^& O( s/ V. @% L: D6 [2 x
    几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
    + d, f; L% A& O" Y; H; g
    . }+ }8 o: n% N' D
    所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    10#
    发表于 2014-1-9 12:57:13 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
    + J# y0 B5 N% ]6 t# i8 r就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
    % k+ j) b% P/ ^7 ]( p- F/ f! h0 a% y
    这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

    , ?! r+ p( R" D' K# G  e你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
    3 W$ J! w& D; _! z$ U. ^. s2 A, E6 O9 x9 y
    http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
    $ y  I& Z' x6 H6 @5 a; m9 D6 z0 i$ X* Z2 o. T7 ~/ I
    经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。5 y$ }, u7 a5 M  p, K
    , ]4 G0 M3 I5 U- d7 `1 h

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    假如十八

    该用户从未签到
    11#
    发表于 2014-1-9 14:20:52 | 只看该作者
    不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
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    天马行空

    该用户从未签到
    12#
    发表于 2014-1-11 16:24:53 | 只看该作者
    gordon 发表于 2014-1-9 09:09 2 q" f3 ?- O! T7 `$ E1 F
    经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱( ~% A" e1 L+ r9 W

    : w- S5 o9 p: B/ T经济学又有点像理论物理 ...

    0 l! j/ k$ S' p" _/ f9 I经济学还能挣钱的。0 c- i& X7 Q- v
    ( Q7 p* `1 f* j6 W

      A0 F4 }* T  a+ P0 Q: s' O6 U理论物理真中枪，只能当作修身养性
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    贾大松鼠

    该用户从未签到
    13#
     楼主| 发表于 2014-1-12 10:32:13 | 只看该作者
    下面就要来说说“量化”了~~8 q% d1 c$ w% |$ ?) b
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。- r. k, ]4 x( H% j3 o1 s+ x
    术语上来讲，叫calibration。
    ( X3 k5 F3 p4 q怎么找呢？基本上就是来match empirical data。1 q* ^6 @% P4 A) d: I: Q% x- L
    6 y) C$ Y% V! q; q
    上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
    0 m1 L' t" B6 u7 P那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。$ k& ?+ i0 g" [5 Q6 b( G* Q
    ——计量的方法。$ D0 J2 X/ \5 R

    ) \- L* A. J; }* e# R计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。" Q# t9 L% t! V# T0 N6 D7 k
    9 B  [% J4 R; O% y
    下面我提几个问题，
    ! D6 r( D' S1 z. E9 I' ]3 ]. s比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
      d0 K- p2 ?& ?+ D( o/ K再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响9 l1 c" w! p$ G- w. O
    再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？5 I6 K2 s% V, f1 E
    这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。$ D* U( l6 H) u, _
    术语上叫做regression。2 B9 y. T0 @( l) }' z# _2 H4 Y
    而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
    $ {+ }) |* A* L; w/ v4 ?0 R6 t/ }
    最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。& o  J# ~, a6 f+ q$ E0 o
    每个观测到的数据之间是否是独立的。7 X9 H: V& K2 X3 T
    比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。" I: C3 g7 u6 y4 F$ z$ i
    这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
    1 E* j# g! ^0 ^, B. R这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。; J" s! F6 b# ~% h  R/ @( ~
    2 K- p; O4 `" D4 u- R+ @2 d
    于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。. C9 [% D0 M* i  x/ i% j
    这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，  a1 I8 V( p! g* K1 J3 F8 ~
    至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
    0 r! r: {5 y; Y& X- X1 s7 z- ~' P/ f; B  {
    经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

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    四处张望 + 2 谢谢分享
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    14#
    发表于 2014-1-12 17:06:38 | 只看该作者
    效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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    万里风中虎
  • TA的每日心情
    开心
    2018-6-27 14:41

    • 签到天数: 13 天

    [LV.3]辟谷
    15#
    发表于 2014-1-12 17:38:31 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    % \8 D$ W1 p. K% {6 e" X/ A下面就要来说说“量化”了~~
    2 |: x5 {! |" f# |对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

    ' `% i$ ~2 V$ y  L' o所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
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    假如十八

    该用户从未签到
    16#
    发表于 2014-1-12 18:15:39 | 只看该作者
    万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
    # R% |/ \) `' Y" K. x3 u( X效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

    ; U/ x4 `* A5 g+ K+ `) T! h这个我有个模模糊糊想到的问题。
    . M& Z" B& Y* h+ c7 {1 |1 `9 T+ H4 ?% ]" ?4 p( ~
    比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
    * ~/ w3 ?/ h& p( y2 q4 }! q% l3 G$ u" s! L
    这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

    点评

    万里风中虎
    有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  发表于 2014-1-12 21:58
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    假如十八

    该用户从未签到
    17#
    发表于 2014-1-12 22:07:30 | 只看该作者
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    - a. W9 g. }. K# f) h7 A6 A这个我有个模模糊糊想到的问题。
    0 `* `( x* @$ n6 J! f
    # w' d+ Q1 r! L; _4 L2 h9 B比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
    3 S2 X1 f  ?+ y2 ~9 _1 F6 A7 E) f6 b# j
    万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。3 s* C; a1 ^" R6 k( b8 D& C

    ) @" l$ L7 D% p8 _/ K% O多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

    • 签到天数: 1017 天

    [LV.10]大乘
    18#
    发表于 2014-1-14 07:15:37 | 只看该作者
    贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
    2 @: g& r2 g9 P% q- }7 o下面就要来说说“量化”了~~7 U/ J4 s' Y5 Y6 m. o: r8 l* @- U" n
    对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
    0 [% v0 ^  p8 H) @
    Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
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    Dracula
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-7-26 05:11

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    [LV.10]大乘
    19#
    发表于 2014-1-14 07:33:15 | 只看该作者
    本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 0 Z( H. ]( z% T8 x; ?0 A4 A
    假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
    5 t2 Q5 y$ a2 k- [6 ?; C这个我有个模模糊糊想到的问题。0 |. }9 b2 ~$ k( G4 a

    % `* H6 y1 o6 ^# K4 M2 u8 G9 B# C比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

    $ b4 c3 Q1 Y& E  x* ]) w$ L% `* U5 n# Q: I1 b" U' |8 K2 \
    由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。# m( V( s9 B4 a" E- I% E

    $ d9 e; y2 ~/ E8 u金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
    + r9 j6 }, [4 I  \- Y+ d1 S1 m* R# c
    金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。5 p3 H# b# X+ U! K

    2 }& I# u% r, _* }, [0 |2 t7 d" H8 I& u. u

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