我理解的拉普拉斯变换

可梦之

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6 O7 s/ E5 i' Y3 C. ^! O& S. W最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
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电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
8 L+ P% }  P, P; d
9 N4 F$ a( j- n' L$ ~

不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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: ?+ x& E0 I7 J# K% v% {

9 |% M" i# o- H4 X8 I数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

, o9 Z. I' P% ]$ K" f( J2 Q
( H- P; K& ^& F: [9 G2 C
" Z: U9 E; R* r- i4 p( j6 U傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

) F% M6 z- m, z! h2 `+ z$ C8 K拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
, M" K$ N4 {1 I3 ~9 V' X+ _3 B# k

# ~2 A& \% x# h' e# x5 s
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
! a" H" S. U9 c5 W. M* M) g1 y9 W
, B/ d0 R5 ?1 @* H有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
' m5 l3 _# Z7 V以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
0 E8 k5 J' _1 C5 Q2 P! C# U高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

" i  X/ K( o+ _3 G3 k: o( C- q对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
$ `0 ?: v# E6 }- u( v又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积