我理解的拉普拉斯变换

可梦之

5 \( H( H, Q; n  S7 W* u1 n最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
1 s! v; s4 L2 w' D  I% u
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
. W0 ]4 S2 o6 |" Z8 j, w6 U
  o. \; v1 }2 K: u电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
' [5 m" K0 G: {  _

/ m' R" O0 u# \+ I5 g8 N
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
7 [, c- W: x2 Q' `$ q8 K
+ X/ u) f* P, q: ^9 ~( O/ j- K

数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
) E; v. D: ?9 L& ?! W+ g
. s4 q5 f+ u3 x& P9 `- l+ v7 Z" ^
; @3 ~9 u) M: J% F+ d% ~3 Q
, {) ^1 U  k  C! l6 d* H( |傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
2 X1 i+ {4 _) b& G+ }2 ^# g) G, P
: X5 Z7 i. p4 x0 H& Q2 U0 Z8 t拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。


7 }! {! D. V0 v
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
8 D) J8 h7 o$ s
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
. V/ N6 ^9 c( S5 `/ M: ]# {高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

3 t* p: o( y+ ]0 r对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
8 j- n8 F7 G8 }$ W! L1 W( l8 I又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积