我理解的拉普拉斯变换

可梦之

/ D- [/ G, P0 ~+ B
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

9 [5 o# e4 O* R" r; M8 m% O$ b电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

1 U8 |- x% g- H% ~5 y  W' x
- \& \8 ?% E8 V3 M7 l
, l% Z# j2 S) N% X翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

8 E" r( ?0 K$ ^+ B# h5 B
4 {- n5 k$ n  V3 h& Q( V9 h+ t+ @5 h
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法


% \1 A7 Z2 v; F, Z6 b* m
8 w0 F3 ^8 u8 }( u0 s3 D* E数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
( g4 a/ \) ~* |! B2 q
! w, o6 Y) x: r8 V

傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
5 X8 \" \7 `5 O4 T- N* n0 s% U
2 b2 N$ y; \' I6 h2 W, E! a

指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
" E0 V" b3 q3 X1 z* C) P* y
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
9 u; |1 ]& F) n. `6 o又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

) h: T% Z: x6 ]# q: d' @+ J7 u对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积