我理解的拉普拉斯变换

可梦之

6 o" |4 H. f7 i; B最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

( q$ V& {  S; r. S/ J6 C电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
* s  _" q6 u0 @3 E4 P

9 U. u3 N9 y' |; h$ k7 u( b
9 d. w) u9 D, {, w& q' |+ P翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
% x/ s2 f  f+ n2 ^


不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

3 A$ c" N9 Z3 q  D5 ?% Y! K% i

* `* n  Y2 E! c- b数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

6 J7 M; s7 y" i0 ~1 A3 D- ]
4 z* x) ~: V8 g/ Z: V
  s$ k2 P$ m5 ]$ e( d8 l) \傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
) [( {/ i( f, X) @0 s' _

& o5 W+ `4 A* T
$ A5 [, r! r6 _2 x指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

7 S- E5 P2 d6 N3 Y! E! m: n! z有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
! T' I! ]* `) P; y$ i2 |高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

3 U: p6 y' A. U8 \对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

: A, t9 e* q6 K9 e3 [0 W对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积