我理解的拉普拉斯变换

可梦之

5 P. a9 O1 ~) l9 K/ L
5 j, }! ?2 i- T* E最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

+ D/ b6 o8 `2 m2 \( j" a8 |% j# o众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

' ~* p/ ~& z/ |! G+ W1 W, Y电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

& m* A6 @4 f) a2 x0 a

4 @9 q  |5 E& U; U: z' Z5 A翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

' T- v! @4 P' d% ?9 q5 j0 T4 k5 w2 s

不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

1 B) f' N7 U0 f: ~! D+ q% ~$ y+ s  t

数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。



/ v/ ?. V8 i. n- z  V傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

4 d1 |- w& f! u
2 A, L3 ]; s. j/ A; c
6 f! [+ Z; G7 L: Y2 V7 w指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

4 G8 O* |$ U2 L有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
$ H. M0 e! f- V. H, X以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

4 n) V1 v3 C9 O9 s9 n对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

9 ^/ B  A7 m4 Q2 z+ l" L对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积