我理解的拉普拉斯变换

可梦之

5 o: G' c! q: _; B0 R9 k最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
# M- m+ d9 F  {1 J/ _( m9 r. d
/ Q4 E3 H# [* F4 K  `' g众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

5 q/ M4 J" A7 i2 z2 r, f电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

' Y% Z- E! h/ S
# v. O1 V6 ]2 D7 k
$ o/ d) F$ I( Y, {  o3 x不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

# }8 |: t8 l3 C( D5 T
# C3 @0 ], ]0 I0 B( t& U7 f
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。


# j6 u" r! e, k; [! I
+ Q1 @3 ?4 J+ m2 @; Z/ K7 j8 S) E傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

/ D) Y* r/ s; L' N+ K; V拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
* S; ]- l# S" ?
3 v+ l/ O" r0 C' I$ p* O4 g

  d# o. n& Z, d# P2 @! C指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
1 h. U" B, P1 U
( j. B  F& a1 ~' B4 p! x. N有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

6 h. z8 R0 e' [% a: X3 J对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积