我理解的拉普拉斯变换

可梦之

最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
. m: M$ {: Z! M* ]- p/ O" @
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
0 z8 I+ \6 C- F1 ~- \
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
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4 n% ^, e7 X- }' i; d
) t7 i6 k  w5 f: W( s4 ?. u0 X7 R0 e
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
9 |0 T1 K1 `" [5 J1 W8 J' C
* M" U, ~+ e# D0 Z8 {+ ^
  v" {2 C) I6 K! u: y& Q  h
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法


$ F" V  e, B* d: u2 x5 ^! A
* z! M: ]; q) M数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
  D$ l2 i. d6 U4 U
% d' U/ V& o6 W6 O* d

傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

, F# x& W# X8 }# j0 U; A; b: G拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
- y- @1 x' [5 C: l7 U; F' `/ H
4 w  d. x; l. R1 e: Y, s  y

! K2 O- y3 o# G5 g9 W指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

$ S5 t& K$ j' @5 J0 ~+ P: V( U对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

" W: Y. g! ]% X对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积