我理解的拉普拉斯变换

可梦之

: m* x6 m  b7 o& p- C
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

1 l: e# o" @% J3 ^8 u众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
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* Q+ @- g1 H  k, f: B5 C* T电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



9 K- N( y! J( u) n9 s* }- B翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：


- w. w8 w* T7 y, O7 q
3 ~3 o$ T1 L8 U! g7 T! [% X不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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8 ?4 o4 Q4 P% Z9 ~! r1 ]6 D* v( _
# n. j) I" H4 ]) m数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
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2 n6 Y3 c" t9 q* M. }
# F3 E" b# u0 m* t* I, K- W
8 n* A% W: n# k3 j傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
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8 M, U* m0 O: c0 i指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
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7 `2 j. A. n$ [( F/ N) f) f有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
" ~( t/ K2 w% p1 z" s# n0 b又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

/ s. F/ m" z: o0 ?. ~# m对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积