TA的每日心情 | 奋斗
2021-4-20 05:43 |
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本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 - t) o/ [4 Y3 g! l
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最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。( R) D# ?8 U+ Q+ g' t |
F4 ~$ [; E8 I/ t众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。 K# a' ~$ k+ m7 a5 v( o
8 j( F$ I; S+ R6 k" l电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？3 _) D: ]. N# p5 J, |$ d
0 E6 k9 _5 j" G7 |0 |3 Y2 R" Y G6 Y
![]() " K0 S" B/ s0 O3 U% [3 L* I
% [2 q% Z2 I0 t翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：" N, o: x$ Z& D, k. k) L/ L
& D0 X- t: ]: j![]()
: B4 f7 B& t; i0 b
2 Q2 g: U; c1 r& x, {9 q- t- t不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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& y0 D f+ \: _+ T/ G. h' ]6 h# H![]()
d6 K% Z/ M$ {( l( d9 _( f( M$ M
& }1 ]) `0 y3 d' Q! ?数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。& F+ m w, \# L* b+ H
4 T W* b) V8 T: L4 y" }
![]() 6 x3 |& p3 ^$ N! P4 C2 M
7 ^7 Y+ J, R) w3 X, B2 y$ ~傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？6 N; k% p6 b" e9 ]
, D1 D* w- t* w: V, I! c拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。; s8 |' y* `2 j- {) f3 c. S
: A* u0 C W; w8 T* Y
![]() 9 q) |9 s) D# V( U0 P9 J! w
$ e/ ]" w+ ?/ E9 h; I' U
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。! O' T& ~1 b% r/ K# S& j8 n; k% j
2 y$ t: C. W% P# x有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。 |
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发表于 2023-9-27 12:05:26
