我理解的拉普拉斯变换

可梦之

3 f. Y& Q" t1 O  X; a
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
' `1 q2 h# T9 s% l% u4 h
* L5 ]& D0 I% W8 q4 G7 p众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
- V: Z/ Z1 ^8 L5 S: B- I8 [- b
, ]# A: I5 [$ j% k电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
( n/ R% ~9 n( ]5 }; D/ K) B


7 l2 Z  G1 ]# Y( Y/ L8 @翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

, h+ d0 H( g, V6 p
+ d* r; S! T! V6 Q0 L# y
# u0 ]' P% e+ Y( r) Y' b不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
$ m: q& r" M; ?3 L+ s
) F- S1 V1 o! L( U9 }) q. b  E3 R

数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。


! t' x; B3 j  ^  k, _
/ t; c3 C; s% a6 E# y- ?傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
9 s- i8 Z3 _' S: Z7 c% U" R+ V$ m
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
4 O2 y3 F6 z+ V" t( Q% D5 e


9 p1 s6 W4 q' F  I指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
! U, `/ o1 d. F  s4 _, L* A
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
% {* s! ]$ T% [又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积