我理解的拉普拉斯变换

可梦之

. E% m" `" X+ r' m$ N* x& O最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
3 ~3 F: |; U+ \/ l/ x/ y
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
  f0 E2 M8 E' d/ N
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？



; d6 X6 N3 w  l0 L! U翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
9 {& B9 m% I3 z" a3 Y, y* G
, P' a3 X2 X0 X, A: V
8 [* v: y2 \: P
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

) R2 h1 e( p* H; Q) S4 Z8 T( V

/ ~, O2 H+ e6 S- q! I$ v6 ]数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。


1 u8 r3 n8 l# U( D: K8 f
& a5 Q, ?6 j, ^( p2 |: n傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
3 m  x3 Q8 {; U
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
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$ F: V. Q5 ~5 P" T% G- t" I7 Y指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
* y7 ?: `0 f% q) W; t7 ]; S2 c
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
( W" G" L- a! f0 A9 F; |& }高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

: e) J: v4 O% l3 C9 m对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积