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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
    # G% D9 V9 |- ^3 [- _, S1 I& t; ?6 R: Z& _8 I/ k
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。6 r" P! _' e# g# a4 N5 R% E5 U% n
    & g7 B( t* R/ w9 y: O
    众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。" |2 K3 C/ ]$ T$ @

    - V- d" @) u# E* C3 L- \# U电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?
    $ x% V4 k/ i7 n' z, N* k- }
    ! v1 f! `0 B9 H$ r8 O
    . k' O* r/ `1 d5 ?' B: H) O
    , x' B# P- U0 d翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:
    ( N7 |' l, [% p* x8 ]. ~+ P" V& G: I2 A3 L
    3 z$ N  D+ n7 m  T* l
    ' C! y  a3 P7 b  @
    不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法
    ( A8 T9 d0 O. V2 @, x2 Z1 c/ B, H/ N
    6 c* P, a2 a" N: @( E! m' ?0 l

    / R/ h. H  A* f数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。! n7 T. h& p, V/ ^7 L9 b

    % t5 c8 \9 ?) v9 W% ?- s0 T3 p

    ) r; W) s  U; q傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?, h4 q# D+ K- j* Y6 l9 `! R
    ( o& z+ }; V. y8 _
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。% i* Z6 S5 J* N" F1 L

    8 E! I( ]- [3 g% `
    % H; _  c  `. w1 O/ F+ s, w  ]6 O
    9 j9 Q% D8 i" R+ c指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。& [3 i0 b. }; K
    4 U6 J9 r- L" S0 O6 y) n5 i
    有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情

    9 小时前
  • 签到天数: 1653 天

    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来
    1 {+ B! g: g2 Y$ f  P以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
  • 签到天数: 300 天

    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    7 v4 P/ g' x# s8 ^+ K! F# h4 i高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    8 T' c& S+ b$ m% \3 D) }1 m5 k" k/ f4 N对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情

    9 小时前
  • 签到天数: 1653 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40( `. P- f" e0 n7 n4 Z
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

    . j* w" y/ W+ D对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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