我理解的拉普拉斯变换

可梦之

% P9 H) ?% S1 c5 E, I最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

; |6 T8 X7 u2 a$ Y, X$ B/ S众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

( d- _- k" S8 N, H! s7 L% N电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
; e5 k2 s$ D- Q- c

( `9 L- d5 o, a4 M* Q2 E( u
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：


# n9 |! f1 R$ F$ @! ^& C
$ l: M  K* ~$ a9 e0 X不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
8 U8 H, M, F" R: M- e. p7 _


数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
/ U7 ^. t5 _- T, s& _6 {
; b9 O! U* b' M0 `

傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
3 I: G  t8 ]: U' r/ E. P! \
5 v8 e, R. t% o拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。

6 g2 b1 e) l% S+ t' d) U0 `

5 e2 N/ q: ^6 @2 e7 R& N/ L指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
; R& F  C) ]' H
0 |7 ]2 j7 o& O8 w' ]: y& V" w有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
) t5 R# e" t4 h. f& Z高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

$ B+ T. h4 I, u% m% }对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

colin1992

高手就是信手拈来
1 P6 g# C; X8 ~; k% K以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？