数学在经济学中的意义（已更新）

贾大松鼠

  y6 g$ N$ N4 K$ ?# y( Z7 t经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
' N4 |6 q! y) B% \大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
4 l$ `* m; A) b4 ?+ v) B; b* q
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
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一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
5 q5 }2 E* W4 }
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
$ ?& r3 V! n6 d. C6 h
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
, S) X! h8 E+ n* V' X
4 n7 M) F+ D* G: G5 _2 w% T( i* J; y那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？

问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。


. O# t" \0 ~" S" E) q: j" A# x量化在第13楼~~

人在江湖

牛啊。高中就开始思考了

gordon

" w5 m% g' a; m
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
- M' l# r+ N7 e1 |. E6 E
& c* F8 c1 Q2 F经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵

理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系

% u+ s; X$ P. J- D5 K外行人瞎说的，别当真

! [0 h% i9 I5 G( k6 y
4 K& X3 `: f, I) ]$ E: s- f

假如十八

这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

1 M$ |, ]1 L6 S9 s+ g* g/ L3 i收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
% c7 U& s9 Z$ ~: t' j, N  {6 [你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
只要是不连续的函数，都是不可导的~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
  K1 K9 y0 ^" o7 }* W0 c收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
6 {0 h# y# K4 a7 D1 S0 A效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
你的意思是marginal ...

7 ^9 L. d) Z& b# ]; r' S& L* J就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
& U! O) t9 A3 X' X) x- Q
这种处处不可导的utility function真的用的多么？

贾大松鼠

gordon 发表于 2014-1-8 20:09
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
( x# U& u9 e# z8 B# M; L6 e+ n
2 a2 K3 @8 ?" _' m$ E经济学又有点像理论物理 ...

嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
  @" F. R1 s" n* L5 Z' w1 ]! h不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~

贾大松鼠

假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。

这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

4 z4 g; P9 M7 a几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
& f# i6 ]/ W1 T& S# {7 M$ ~/ g因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~

假如十八

贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

# |1 u0 o7 W  Y: e+ i所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？

Dracula

假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
: B5 j& G2 p2 H: c2 S6 p" w就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
  f$ G' G$ Q9 @" G0 V- X
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
9 r3 \% P# h9 [6 |% p4 e0 p
, w' h9 w# B% qhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
0 G2 ?- J2 ^6 ^4 |% r1 [
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
8 T* Z4 K& k6 p2 y1 m  I
* }% S+ T* U7 o3 }9 Q; `

假如十八

不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文

天马行空

gordon 发表于 2014-1-9 09:09
7 O+ N7 N$ Z& m5 u- g" ~经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
7 ?0 w' M; T+ k% {1 l+ R+ z0 p- Q% a
经济学又有点像理论物理 ...

经济学还能挣钱的。


  I9 ^9 J2 t& T) `$ f2 Z; f理论物理真中枪，只能当作修身养性

贾大松鼠

下面就要来说说“量化”了~~
7 B, c7 b6 q3 _6 F" M! n对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
! g3 A& W; v' Z/ ~6 O; i3 |5 @6 I; r术语上来讲，叫calibration。
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。

上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
——计量的方法。
, G9 x7 _. P) Q
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
! r- {$ r% n1 ]7 g- U
* E: F/ D% x) t3 E8 C7 H1 E下面我提几个问题，
0 Y8 @: p9 L( ]1 _比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
' C5 R) a# i2 U) C" @4 o8 Q; n再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
' B) |, ]& I/ p5 ?再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
5 b" _0 ?( [$ N5 D% N2 j术语上叫做regression。
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
+ m# ]- ?) W0 @; R5 {1 x6 n
' ^* ~) ?5 ]" d) v3 d; S! U' ~最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
$ I% k0 Y; j& a( q每个观测到的数据之间是否是独立的。
) i, v! Y/ N0 ?# S9 c比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
8 \1 J2 ~! q. i2 Q. l0 Y2 O! ~这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
. f) N& J. \' B" {1 t这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
. G* w- V( l! V! f$ A# R
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
( u. y7 C4 t1 @( }至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。

3 H3 T5 y7 b! w0 F9 m. n0 u- Y经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。

万里风中虎

效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

万里风中虎

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
' O3 _2 e& Y$ @5 J- r下面就要来说说“量化”了~~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。

假如十八

万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
% y& ]3 L& F( V  M7 a* c3 u( E效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

这个我有个模模糊糊想到的问题。
- {) U' o5 w( R! m
$ x. k( y8 q- l: I比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
0 H0 D( C- [0 }5 S: X' T6 ?: d7 k
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？

假如十八

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
这个我有个模模糊糊想到的问题。
) L6 J& i% ^3 Q* O' `0 B* S2 h! l
7 D( A4 ?  d; @( @比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。

; i2 l9 n; Y) _% ?# G: ~+ l多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。

Dracula

贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
- U8 V: y# Z) u, ?对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

1 R: d/ p  A2 CCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。

Dracula

4 U. j/ F4 {' v. L

假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
4 u2 ?. ?* v- y, U( k  e8 p6 s这个我有个模模糊糊想到的问题。

比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。

金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
/ D  T1 K! Q' x3 Y
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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