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[科普知识] 我理解的拉普拉斯变换

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

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    楼主
     楼主| 发表于 2023-9-27 11:25:14 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
    本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
    ; `( u1 s( X  y# Y2 F+ f  Q% F4 t0 R
    最近工作需要,又重温了一下电路知识,对拉氏变换有了“新”的理解。
    # H4 z- W1 C  X: t$ I3 R
    + Q3 J; q. |. A9 k众所周知,高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看,天地自然宽。$ e* w; i, H! F
    , Z' e( r1 X. T" L2 U( V( T6 ?
    电路中很多微积分方程,如何解就很烦人。我们能否换一个工作域,将微积分变成我们熟悉的乘除法呢?
    ' q& n8 ]; ]# i5 c5 T0 C" w7 {
    $ h  a& v& U! Z0 N6 N+ n# f
    ) j& m1 E* J8 b1 F
    . a8 j% S- c% i' u5 l翻开数学工具箱,复数看着靠谱。复数有三种表达方式,欧拉公式将其转成简单的指数表达方式:
    5 X* a- {  P1 ~4 O
    ) {* U8 o  e3 w, b0 @2 ]6 l8 U6 v; N' P( j1 F
    6 \& R' k; b' H# O7 t4 t
    不去管复数的具体含义,运算从实数转成复数后,乘除法变成了加减法,微积分变成乘除法
    ' b. b! e$ w9 W  ~& r: C" L8 K. p. c$ m  ~% L7 Z( l" ~
    ! m4 ^! [6 ?9 K. Z, W

    ' J3 E& K" W+ h数转为复数域,那么函数呢?从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢?大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望,时域的微积分变成了频域的乘除法。
    + W( V# ?/ ^! H6 I$ P; `& B' r0 x- |' L/ s. d' b

    0 J3 n6 a8 }- |8 Q
    # D, Y( E4 S  ^9 N2 J傅里叶变换有一个小问题,要求函数绝对可积,也就是积分是要有限的,否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件,比如x^2。那怎么办呢?9 r) k/ F# k1 U/ Y. w
    7 x: U4 o: g: J9 j) Y6 |
    拉普拉斯跳出来说,我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大,我给你乘上一个衰减因子e^-at,在t足够大的时候,都能给你拉下来,满足傅里叶条件了。4 N* H+ G. i1 |, ]* x

      M( S+ m- R7 ?3 {) i0 A
      U; M, M/ x. O- p, v0 V& G3 C
      c: U- H) N& `& @4 m/ p2 U指数相乘可以合并为加法,a+jw不就是一个复数s吗?这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
    5 T; M" j9 D: x
    9 F. q- V7 O" v9 Z. ^有了这些数学工具,我们可以将电路中的各种变量变成复数,方程转到复频域,这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

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  • TA的每日心情
    开心
    昨天 18:39
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    [LV.Master]无

    沙发
    发表于 2023-9-27 12:05:26 | 只看该作者
    高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2020-3-8 17:23
  • 签到天数: 94 天

    [LV.6]出窍

    板凳
    发表于 2023-9-27 12:06:14 | 只看该作者
    高手就是信手拈来$ a/ _* O& ^% C. G9 w, r" _
    以前看卡文迪许扭秤、云室,感叹设计的巧妙,没想到数学也有这种操作
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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    [LV.8]合体

    地板
     楼主| 发表于 2023-9-27 13:20:28 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
    3 V3 s( J) s" q% z7 j% y高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧?

    2 }; W3 K+ ?/ ]对对对,1+...+100,本来想说高斯公式,但是高斯公式太多了
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  • TA的每日心情
    开心
    昨天 18:39
  • 签到天数: 1932 天

    [LV.Master]无

    5#
    发表于 2023-9-28 04:40:41 | 只看该作者
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-4-20 05:43
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    6#
     楼主| 发表于 2023-9-28 08:43:42 | 只看该作者
    数值分析 发表于 2023-9-28 04:40; E- z& W. z5 r2 F- }# N
    又看了一遍,时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法,在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
    : D* @$ W( j: W$ O9 D
    对,还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算,可以用时域的卷积

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