我理解的拉普拉斯变换

可梦之

" t7 M2 q" \3 ~+ w
: V/ i- C( _) ]最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。

众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
: H  \5 o0 F/ ?1 V- O. o
$ ?% B' c: F. [! N1 H电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
( c/ f/ ~( B& N


& p7 |) x# F* f! f, f翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
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- o+ S: t; M5 J. o1 h; z' A& L( L" i0 r

! P/ h. s( V# y) n6 Z0 {* e不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
: Z. G# ^0 b# h- t8 L

& D. q! f# X; L# o  f
8 B# Q" N( L4 t) U) E8 X6 A( Z$ c数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。

( \6 w2 F' \5 U8 a
7 D% x7 n) u0 R
; }% E8 V5 E. T% T1 \傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
! W# p* W5 W5 h8 m) N
. F/ Z6 {6 ]. w& T- L% l2 w# e2 Q( y拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
3 o3 D: \' Z2 c% y
5 P$ e. J+ L! I& z3 V8 I

指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
( h' u8 p+ ^4 k; ~
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
' h4 a' b- T$ O- K* s; S% K以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积