我理解的拉普拉斯变换

可梦之

/ c0 E: U& e) C
* G! x+ v5 c1 G! k最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
+ J% G" W/ P* P9 r* |1 L
% L, t. B4 e, Q- W; k/ J众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
7 R0 O* |$ W  Q5 r$ z7 N5 t
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

  P7 V0 e/ x* p0 |8 j( Y6 q

  P/ U% ~0 V7 X0 O7 N翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
% R/ L9 j! O7 i! J2 w$ S5 ?

* K' a% I" d4 p+ }2 w5 H
( d% k0 R5 K, I, f- ]; s不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法

- X5 m" ?6 F5 `, Q
7 x( p6 J! Q8 ?$ @! y! Z
- V0 `8 E0 r6 d- B5 ~3 a) S数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。



傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
  G5 N" v) g* |& J
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
. P& y2 L; ?9 U* N* t
) I/ K* j% f" s; o4 u9 l  ^

指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
7 z' F; v6 k* p$ B0 T; Y. t& I$ K: l
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

/ p# p- U4 |/ \2 |. s. G$ F7 W对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积