我理解的拉普拉斯变换

可梦之

& |5 d  R0 D' l) A1 A
' V% L. F, C+ o9 J9 l+ a9 {最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
( S' e1 ?7 N" M, }! A* d* F
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？

' O6 \+ N4 E9 B
7 L, T2 p) Y6 B
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
# f  Y1 Q# w% b" O# d. n  m


不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法



( H7 W' M5 S5 Z) Y2 R数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
  x: W7 d4 M# x2 A6 Y
' E0 w* K% e2 s$ q' I) D/ }' Q) M3 v
. u% H, n2 @* R+ n  D$ T8 L
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
1 z9 N7 N: }" `& s; {7 a
4 s" M* k. l; j) |拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。



指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。

) b" o# ]# ~  Q8 C  \( G1 X( c有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
1 ]7 q* x) B$ o& c以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
& a0 [8 Z( b" p& ?高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

% J) j$ j; Q) Z4 z1 l2 ~9 i; G( ~! q9 F对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
$ m8 {, c  B4 H0 d! B7 ~5 I又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

7 q6 o# p* v) V% f# [+ w对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积