我理解的拉普拉斯变换

可梦之

# x& U& r: a& Y: L5 v最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
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6 d# @5 x/ P# y) M+ U. N众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。

电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
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翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：

) n6 q7 X. i2 W7 k/ C/ \- j( [! N

# u% P  r7 l' F. K! U$ |不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
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& p1 B' u0 A: I' n

- K. Y' P# i) [* J' O! p数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
9 m: x2 u) H, H% O# {# I. m1 Z+ G& U


傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？

拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
1 W* G0 K; b) g; h; |# q& Z( B) _


6 P- C, V: Z; `; K' c% T7 L$ B指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
" A  r( q4 ^3 w2 h5 Q7 ?
2 x0 L& c! j9 G1 [/ h' j有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。

数值分析

高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

colin1992

高手就是信手拈来
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
: I; ?1 U2 O- o# w高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

) G: c; u: B% I7 G0 t( J' @对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了

数值分析

又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。

可梦之

数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
  i; w# H& F  ~9 C$ x+ C又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

1 c* n1 j: |$ H, m对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积