Nash：你的领带这样糟一定有数学上的合理解释。
Nash：亚当斯密要修正他的理论了，如果我们全去追那个美人，结果一定全军覆没，谁也得不到她，然后我们去找她的女朋友，他们肯定会浇我们冷水，因为没人愿意屈居第二，但是若没人去追那个金发美女，我们之间既不互相侵犯，也没有羞辱到其他女孩，只有这样大家才能赢，也只有这样才都有上床的机会。亚当斯密曾说过，最好的结果，是要能做到分工和专业对不对？那是他说的，对不对？其实并不完整，因为最好的结果是，团体中的每一个人，都做对自身和团体最有利的事，各位，这就是博弈论。 电影 A Beautiful Mind 台词
1994年度诺贝尔经济学奖获得者，John Forbes Nash, Jr（纳什）的传奇人生随着电影《美丽心灵》的热映，已广为人知。同时，由于对纳什个人生活和纳什均衡描述不准确而饱受指责。
纳什最大的贡献之一是关于一个N人有限非合作博弈中解的存在性的证明。这个工作是在他刚到达普林斯顿的14个月里面做出来的，当时他只有21岁。
除开博弈论上的工作，纳什本人也是一个非常好的数学家，他在黎曼流形和非线性抛物型偏微分方程上的工作也是非常重要的。
纳什从卡耐基工学院（现在的卡耐-基梅隆）去普林斯顿时，R.L.Duffin的推荐信只有一句话：“此人是一个天才”。
即使是纳什这样的天才，当他在1949年把这个思想告诉Von Neumann(冯 诺依曼)时，得到的回答是这样的：”这个是微不足道的，你知道，这只不过是一个不动点定理。”
谁让他碰到了冯 诺依曼呢？冯 诺依曼和Morgenstern(摩根斯特恩)在1944年的《博弈论和经济行为》奠定了博弈论的基础。
我们大家做中学数学证明题时，碰到困难的话，一般会用“显然”，“易得”来糊弄过去，这里有一个关于”显然"的小故事：
普林斯顿里面流传的一些数学家的“显然”的标准：
如果Wedderburn说“显然”，所有人10分钟前已经看出来了。
如果Bohnenblust说“显然”，那么的确是“显然”。
如果Bochner说“显然”，你大概需要花一个半小时想出来。
如果冯 诺依曼说“显然”，如果你是一个天才的话，你可以在三个月内证明它。
如果Lefschetz(莱夫谢茨)说“显然”，那么这一步是错的。
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深夜,蒙面抢匪在街上截劫到一个衣冠楚楚的男子,用枪指着吓那人说:[把你的钱给我...!!]那人勃然大怒,回答说:[你怎麽可以这样作,我是国会议员.!!]抢匪:[哦!那麽,把我的钱还给我...]
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自由政府是从猜忌，而不是信任之中建立起来的。 Thomas Jefferson（托马斯 杰弗逊）
前面有河友指出《美丽心灵》的导演不懂数学，其实在电影里面严重偏离事实的东西非常之多。有兴趣的河友可以去看看原著，同名的传记《A Beautiful Mind》，由Sylvia Nasar所作，并获得过普利策奖提名。友情提示：已经看过电影并为电影中一切美好的东西感动的朋友请慎看。
电影中纳什具有神一般的破译密码的能力，并因此而在对军方的恐惧感下产生精神病，这也基本是瞎编。现实可能与此相关的，是纳什曾经加入过Rand(兰德)公司担任过短期研究工作。而他所从事的工作也主要是博弈论方面的研究，而与解密无关。冯 诺依曼本人，也曾为兰德公司工作过。兰德公司设立之初，是以美国军方服务为目的。但现在已经发展成为研究科学技术，教育，医疗，经济，以及各方面的公共政策研究为主的非营利性智库。兰德公司虽然跟军方关系密切，但是其公共政策研究方面也非同小可，其曾经的雇员中，获得诺贝尔经济学奖的人足有7人之多。1972年诺贝尔经济学奖的主，Kenneth Joseph Arrow（阿罗），即是其中之一。
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阿罗1921年出生于纽约，其父母是移居美国的罗马尼亚犹太人。阿罗年轻的时候，是一个有理想，有道德，有。。。，总之，是一个有追求的人，所以，理所当然的，他成了一个社会主义的信徒。但是随着苏联的事实和他自己学术的进步，他最终放弃了社会主义的信仰。
在于1941年从哥伦比亚大学取得数学硕士学位后，由于战争爆发，阿罗加入空军气象局。（难怪经济学家的预测不靠谱，原来他们是气象学家出身。。。。。）当时几个气象局的年轻人通过计算，结论表明他们的预测结果跟比根据往年数据得出的平均天气预测结果之间差异并不显著。于是他们写信给自己的上司，建议将气象局解散并将人力物力分配到其他方面去。但是在经过他们几次三番的去信后，将军的秘书回信给他们说：“将军很了解你们认为气象局的预测无用的想法。但是，为了军事计划，这些预测是必需的！”
可能大家发现了一个问题，这篇说了这么久，好像和前面的笑话有点搭不上边。好了，下面言归正传。
阿罗获得诺贝尔奖的贡献主要是在两个方面，一是一般均衡理论，二是社会选择理论。
对于不管是哪个政党，国家，民族，地区的政治家来说，有一个口号是放之四海而皆准且永不过时的，那就是“为了最大多数人的最大利益。。。。。”
但是口号归口号，这个“最大多数人的最大利益”到底怎么决定呢？就算在一个家庭里面，也有人喜欢吃咸的，有人喜欢吃酸的，所谓众口难调啊。其实菜可以各吃各的，但是有时候往往我们只能做出一种所有人都要吃的来。比如国家通过某项政策。。。
那么解决方法是。。。
我党的方法是：我党n个代表，代表了最广大人民群众的根本利益，代表了。。。。。。
免煮人士的方法是：人生而自由。。。。投票吧。。。。。。
社会选择的研究对象，就是在给定一个社会里面每个人的偏好顺序的情况下，决定一个规则(这个规则也称为宪法）,这个规则制定了给定社会里面成员的偏好顺序情况下，如何作出社会选择的方法。比如说，少数服从多数，简单多数票规则，或者彻底独裁，这也是一种规则。
Arrow's impossibility theorem（阿罗不可能定理）证明了，一个同时满足
1,集体理性条件（任何社会状态都能排序），
2,帕累托最优原理（在所有其他人利益不变，而是一些人能更优的状态，优于原来的社会状态），
3,非独裁（如果有某一个人的选择代表了社会选择,则称为独裁），
4,不依靠无关方案顺序（从任何状态集合起来的社会选择只依赖于个人在那个集合中不同状态的顺序）。
这4个条件的社会选择规则（宪法）是不存在的。
下面有一个例子：
假如有三个人甲，乙，丙，三个备选方案A,B,C。
偏好顺序如下：
甲 A > B > C
乙 B > C > A
丙 C > A > B
如果我们用简单多数票规则的话，
A 与 B
2票对1票
B 与 C
2票对1票
C 与 A
2票对1票
我们将得不到一个结果，或者说，安排方案投票的顺序决定了结果。
而阿罗不可能定理则在更一般的情况下证明了，绝大多数情况下，所谓的“最大多数人的最大利益”，都根本不存在！
这个定理的含义是深远的。。。。。。
在阿罗得奖14年后，James M. Buchanan（布坎南）由于其对政治决策理论的系统性工作而获得诺贝尔经济学奖。
另外一点关于阿罗的八卦，阿罗和1970年诺贝尔经济学奖得主Paul Samuelson（萨缪尔森）是亲戚，阿罗的外甥是萨缪尔森的侄子，此人就是Lawrence Henry "Larry" Summers，曾得过John Bates Clark Medal（克拉克奖，此奖在经济学界称为小诺贝尔奖，两年颁奖一次，一般只给40岁以下的年轻人，很多得主都是后来的诺贝尔奖得主。他的两个Uncle阿罗，萨缪尔森都是此奖得主）。Summers曾任美国财政部长和哈佛大学校长。后任校长时因大嘴无忌而辞职。他有一个中国学生，这点性格跟他导师很像。
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关于阿罗定理的描述有误：有5个条件（不是4个）要满足 by 太阁狗8 i& F. L' i$ {8 w( t5 l
首先，阿罗这个定理说的是满足5个而非4个条件的社会决策规则不成立，漏掉的是传递性：如果社会决策认为A比B好，B比C好，那么社会决策也认为A比C好。这个假设很重要，只满足楼主说的四个条件的决策规则是可以存在的（参见Maskin2000年左右的一篇文章）。
另外，原文列出的4个条件也有误：
1、原文：集体理性条件（任何社会状态都能排序），
其实这个是Universal Domain，指的不是社会状态的排序，而是指社会决策对选择对象都有一个排序，类似于数学中的某个函数在某个集合的每个点都是良好定义的（well defined）；
2、原文：帕累托最优原理（在所有其他人利益不变，而是一些人能更优的状态，优于原来的社会状态），
这个是帕累托最优的定义，不是阿罗的假设，虽然阿罗的假设是叫Paretian，但说的是如果所有人都认为A比B好，那么社会决策也认为A比B好；
3、原文：非独裁（如果有某一个人的选择代表了社会选择,则称为独裁）
其实，阿罗定理说的是在满足其它4个条件下，一定存在一个个体，他的偏好和社会偏好相互一致，也就是独裁者一定存在，但是他自己并不一定知道自己是。
4、原文：不依靠无关方案顺序（从任何状态集合起来的社会选择只依赖于个人在那个集合中不同状态的顺序）
其实“不依靠无关方案顺序”，英文Independent of Irrelevant Alternative指的是选择对象之间的顺序，而非决策者（个人）之间的顺序，准确而言：
如果社会决策（个体决策加总之后）认为选择对象A比B好，那么当新的选择对象C加入后，社会决策仍然认为A比B好，这个决策结果社会决策给予A和C、B和C的顺序无关。典型的反例是博达计数。
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雷达卡
发表于 2011-5-31 21:31:44
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发表于 2011-6-1 10:11:01
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