【原创】为数学站台

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再来一个小题——

一群小孩去赶集，
路上碰见一堆梨；
一人一个多一个，
一人两个少两个。
问你：
几个小孩几个梨？

这是我小时候听见的一个“童谣”，说的是“老头”赶集，哈～我给改了一下。

发现那奥数书上也说到了这类题，并以此为例。说来不难，小孩子动动脑筋就能做出来。

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@夏雨 同学说欢迎这样的题。那就再出一道题。

ＡＢＣＤ
          ９
—————
ＤＣＢＡ

不同的字母代表不同的数字。想想看，为使算式成立，ABCD各代表了什么数字？

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七月群山 发表于 2015-2-24 15:58
太简单了吧~1089x9=9801。。。A只能是1，B只能是0，D只能是9，Cx9的个位必须是2，C=8。。。一分钟的事{:7 ...

夏雨是要带儿子做这些题。

你嫌容易，给你出个难点儿的～

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冰蚁 发表于 2015-2-24 16:52
你这两题都太简单了吧。

嫌简单你来这个：

      ＡＡＢＣ
   ｘ   ＤＥＦ
———————
   ０００００
０００００
００００
———————
ＢＢＢＢＢＢ

其中，ＡＢＣＤＥＦ代表不同的数字，０可以是任何数字且可重复出现。
问：ＡＢＣＤＥＦ各代表什么数字？

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再来一个简单的。

　　在小于10 000的数中有3个数含有下列性质：当它们被10、9、8、7、6、5、4、3及2这九个数分别作为除数去除时，其余数总是比相应的除数小1，比如，被7除时余数为6。你能找出这三个数吗？

小学生可做的题。

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量子 发表于 2015-2-24 19:33
3367*198=666666

因为BBBBBB=B*111111=B*1001*111=B*7*11*13*3*37，然后试质数各种组合

量子同学这题做得很好！

不过我也有一些不太明白的地方，比如，为什么AABC中不能出现111这个因子呢？还有，“可以排除7，13，或是它们的倍数”——你是否一一排除了所有的可能性呢？ 是否你大概思考一下，就往“对的路径”走，找到了正确答案，就不再细细排除其它的可能性呢？

我花了一点时间把此题的解题过程展开了一下，补充了你所省略的所有细节，以便其他同学能更好地理解。也请量子同学看看我说的符合你的思路吗？也许你有更简明的方法而不必展开这么细。那样的话，请再指出。


＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝


原题：

      ＡＡＢＣ
   ｘ   ＤＥＦ
———————
   ０００００
０００００
００００
———————
ＢＢＢＢＢＢ

其中，ＡＢＣＤＥＦ代表不同的数字，０可以是任何数字且可重复出现。
问：ＡＢＣＤＥＦ各代表什么数字？



分析及解答：


● 首先从算式答案入手，将其分解因式。
BBBBBB＝Bx111111＝Bx111x1001＝Bx（3x37）x（7x11x13）
于是知道，AABC和DEF两个数的全部因子是由 B，3，7，11，13，37 这六个（除B未知以外，其余五个皆为质数）因子组成。

我们的目的是找到哪几个因子的乘积是形如“AABC”的数、哪几个因子的乘积是形如“DEF”的数。


● 我们看11这个因子，因为它是有特征的。
背景知识：能被11整除的数，其奇数位（个位算第1位）的和与偶数位的和之差是11的倍数（包括0）。例如，198，407，5918，都能被11整除。

那么，11会不会是AABC的因子呢？不会，因为B不等于C。（为什么？请大家自己想。）

所以11必定是DEF的因子，DEF＝11x……（1）


● 那么，DEF还有哪些因子呢？先考虑37，因为如果有37这个因子，就不能再有其他因子了（为什么？自己想），于是问题就解决了。

如果DEF＝37x11＝407，看看题中算式，虽然０可以代表任何数字，但第二排的乘积是5位数，即有进位（最前面那个０不可能是0——这题不是脑筋急转弯，不可以设置无厘头的陷阱），所以，E不可以是0，DEF不可以是407，所以，37不是DEF的因子，

所以37是AABC的因子，AABC＝37x……（2）


● 现在，还没确定属于AABC或DEF的因子是3，7，13，B这四个。我们先看3。

如果3是AABC的因子，那么，AABC＝37x3x……＝111x……，必须再有7，13，B中的至少一个因子属于AABC。穷举：

取一个：
111x7＝777，
111x13＝1443，
111xB＝BBB，
以上三者都不符合形如“AABC”的题意；

取两个：
111x7x13＝10101，不符合形如“AABC”的题意；
111x13xB＝1443xB，此时DEF＝11x7＝77，不符合题意；
111x7xB＝777xB（此时DEF＝11x13＝143），分别以2至8为B，代入777xB，都不能得到形如AABC的数，故不符合题意；

【注】可以判断此题中的B不等于1，也不等于9。但这些不是重点，故不做进一步的展开。若认为不严格，可于此处把B=1、B=9也做代入，即可判定不符合题意。（下同。）

取三个：
111x7x13xB＝10101xB，不符合题意。

所以，3不是AABC的因子，所以，3是DEF的因子：DEF＝11x3x……（1’）


● 现在，还没确定属于AABC或DEF的因子是7，13，B这三个。我们看DEF。

已知DEF=3x11x……＝33x……，必须再有7，13，B中的至少一个因子属于DEF。穷举：

取一个：
33x7＝231，看题中竖式，第一排乘积有进位，故F＝1不符合题意，故DEF＝33x7不符合题意；
33x13＝429，此时AABC＝37x7xB＝259xB，分别以2至8为B，代入259xB，都不能得到形如AABC的数，故DEF＝33x13不符合题意；

取两个：
33x7x13＝3003，不符合题意；
33x7xB＝231xB，不符合题意；
33x13xB＝429xB，不符合题意；

取三个：
33x7x13xB＝3003xB，不符合题意。

至此，穷举的七个可能性里面否定了六个，所以只剩下最后一种情况成为必然：

DEF＝33xB＝3x11xB——此为确定的。

所以AABC由另外三个因子组成：AABC=37x7x13=3367

所以B=6，所以DEF=33x6＝198

所以有解：

　　３３６７
　ｘ　１９８
————————
　２６９３６
３０３０３
３３６７
————————
６６６６６６

解毕。

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似曾相识 发表于 2015-2-25 17:24
有没有什么推荐的书，可以引导孩子学数学的，中文或者英文的

搜一搜“趣味数学"。有的好，有的不好。数学这东西，弄好了很抓人，弄不好很毁人。

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量子 发表于 2015-2-27 02:26
这两天有点忙。。。

AABC中不能出现111这个因子是因为AA相等。

我一开始就是这样（替你）想的，但那只限于另一个因子小于10吧？比如我举出一个反例：1443，这个数不是形如“AABC”，但它有111这个因子。
于是我就又不明白了。
你觉得如何？

另外我没记错吧，当初秀小臂的有你一个吧？：）

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量子 发表于 2015-2-27 21:39
抱歉，没太懂你的意思。

我的意思是，如果排除法算式计算AABC除以111，第一位上A，然后AAB-AAA，就剩下( ...

你是没法懂，我都不知道我当时想什么呢。乱了，错乱了！

你说得对。现在我明白了。谢谢！

……