19世纪中固体方面的力学的发展，除 材料力学更趋完善并逐渐发展为杆件系统的 结构力学外，主要是数学弹性力学的建立。 材料力学、结构力学与当时土木建筑技术、机械制造、交通运输等密切相关，而弹性力学在当时很少有直接的应用背景，主要是为探索自然规律而作的基础研究。

1807年T.杨提出弹性模量的概念，指出剪切和伸缩一样，也是一种弹性变形。虽然杨氏模量的形式与现代定义不一样，杨也并不清楚剪切和伸缩应有不同的模量，但杨的工作成为弹性理论建立的前奏。C.-L.-M.-H.纳维在1827年发表了他1821年的研究结果《关于弹性平衡和运动规律的研究报告》，此报告从分子结构理论（1763年博斯科维奇模型假定物质是由以中心力相互作用的许多离散分子组成的）出发，建立了各向同性弹性固体方程，其中只有一个弹性常量。A.-L.柯西在1823年将离散分子模型改为连续统模型（A.C.克莱罗于1713年最先提出连续统模型），对应力和应变的理论作了详细探讨，建立了各向同性弹性材料平衡和运动的基本方程，其中有两个弹性常量。1829年S.-D.泊松发表的弹性力学方程，又回到了给出一个弹性常量方程的离散粒子模型，但它指出纵向拉伸引起横向收缩，两者应变比是一个常数，等于四分之一。各向同性弹性固体的弹性常量是一个还是两个，或者在一般弹性体中是15个还是21个，曾引起激烈的争论，促进弹性理论的发展。最后G.格林从弹性势，G. 拉梅从两个常量的物理意义给出了正确结论：弹性常量应是两个，不是一个（一般弹性材料是21个）。

弹性振动理论在18世纪弦、杆等振动研究基础上得到发展，这方面的代表作是瑞利的《声学理论《两卷（1877～1878）总结了当时这方面的成果。在弹性动力学和振动理论基础上发展起来的弹性波理论指出，不仅有纵向波和横向波的存在（如泊松在1829年所指出的那样），还有表面波的存在（瑞利，A.E.H.乐甫，H.兰姆等），这对于解释地震等地球物理现象具有理论意义。有意思的是弹性波最早的成果不是力学上的研究所得，而是1821年A.-J.菲涅耳在光学研究中提出的，他指出弹性介质中存在横向波，那时认为光是在一种弹性介质（以太）中传播的。

弹性力学基本方程建立后A.J.C.B .de圣维南着手方程求解，得到一些有价值的原则结果，如指出局部的平衡力系对大范围内的弹性效应是可以忽略的。在19世纪，陆续得到一些具体情况中的解，这些成果总结于乐甫所著的《数学弹性理论》两卷（1892～1893）中。到20世纪上半叶则出现更多的来自工程技术的问题解答。

在19世纪，在建筑、机械中大量出现的固体力学强度和刚度问题，还不得不依靠 材料力学和 结构力学进行计算。包括物理学家J.C.麦克斯韦在内的许多科学家都曾先后研究过 结构力学中的实用解法，如图解方法。此外，由于结构中出现失稳现象的杆大多不属于欧拉所考虑过的细长杆，许多学者如Φ.C.亚辛斯基，W.J.M.兰金等，在实验基础上给出一些半经验公式。有关材料塑性、屈服的规律研究结果也开始出现，如1886年发表了包辛格效应（在J.包辛格以前，1858和1859年维德曼已在实验中观察到这种效应），1864年发表了特雷斯卡塑性流动和剪应力屈服理论。