日志
逻辑主义、形式主义、直观主义三者的区别（转）
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创造的神秘,有如夜的黑暗---它是伟大的,而知识的幻影却如清晨之雾。
—— 泰戈尔
前面说到在笛卡尔那个时代，人们都不知道欧式几何是怎么来的？笛卡尔搞了一蹦子还是错的。
逻辑主义的形成究其本原可以追溯到莱布尼兹时代，他把逻辑学想象成一种普遍的科学，这种科学包括构成其它所有科学的基础的一些原则，这种逻辑学先于一切科学的观点，即是逻辑主义思想原则的萌芽。但他并未能开展这一方面的工作。到了19世纪，戴德金、弗雷格和皮亚诺等人继承莱氏先志，逐步发挥，并且都取得了不小的成就。
在《数学原理》中，罗素和怀特海曾通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格的推导了出来，获得成功。故罗素宣称：“从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在《数学原理》中详细的做了出来。”但是，事实并非如此，罗素从一个逻辑系统推导数学时使用了集合论的选择公理和无穷公理，这是不可缺的，否则不能完成。不用无穷公理则自然数系统就无法构造，更不要说全部数学了。所以，罗素并没有将数学化归为逻辑，而是化归为集合论。
要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性的，但是，在逻辑系统中是不允许有矛盾的，因此，必须排除悖论。可后来罗素与怀特海所做的工作并没有很好的解决这个问题，进而遭遇了不少困难。
形式主义理论体系是在非欧几何产生之后，在数学和数学哲学研究中弥漫的“重建数学基础”的气氛中形成的。
当非欧几何得到人们的承认，亦即当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明了不自相矛盾的时候，人们便要问：数学的真理体现在那里？试想想，一个几何说，过直线外一点只能作一条直线不与原有的直线相交；另一个几何说，过直线外一点至少可作两条直线不与原有的直线相交；这两个几何不是互相打架了吗？理应至少有一个是错误的，为什么两个几何都成立呢？
为了在数学中避免出现悖论，就设法绝对的证明数学的无矛盾性，使数学奠定在严格的公理化的基础上，数学的公理和逻辑推理就像天文学家手中的望远镜那样重要，是不能丢弃的。为了实现这一目的，希尔伯特在1922年提出了著名的希尔伯特计划（Hilbert's Program）。
形式主义和逻辑主义一样，都从公理系统出发，不同点是：逻辑主义者当追到逻辑公理系统时，不再持原来的对公理体系的观点，而要求逻辑公理系统具有内容，而且想方设法探求逻辑规律的真理性究竟体现在什么地方，形式主义者则不然，他们认为数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明该公理系统是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便得承认，它便代表某一方面的真理。连逻辑公理系统也认为是没有内容的，不能由内容方面保证其真理性，于是便只留下“相容性”即“不自相矛盾性”作为真理所在了。
注：它把真理建立在严格的形式的基础上。这个德语是最现实的例子，就是一个语法框架嘛。可以参考一下 洪堡的《论人类语言结构的差异及其对人类精神发展的影响》
希尔伯特原来设想，数学的相容性证明可以限于有穷的构造性方法范围之内。但是研究表现，这个范围应当加以扩充。哥德尔的不完备性定理说，证明一门数学的无矛盾性不可能在本门数学内做出，必须在一门较之更强的数学中才可能做出。不完备性定理说明希尔伯特的原计划是不可能成功的。
直觉主义的哲学观点则是直接渊源于康德和布劳威尔的自然数源于“原始直觉”，即是康德的“自然数是从时间的直觉推演出来”的主张。
他认为：“上帝创造了自然数，别的都是人造的。而整数在直观上是清楚的，故可以接受，其他则是可疑。”其意是说，只有自然数是真实存在，其余都只是人为做出的一些文字符号罢了。他还主张在自然数的基础上来构造整个数学。
直觉主义对20世纪数学的发展产生很大的影响。本世纪30年代以后，由于歌德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少重要结果。
构造性方法（method of constructive mathematics）
构造性方法，望文生意就是这个：“要证明一个数学对象存在，必须指出这个对象是怎么构造出来的”这种数学研究称之为构造性数学。
要证明一个数学命题“存在一个x满足A”，如果能具体地给出满足性质A的一个x，或能找到一个机械的程序，使按其进行有限步骤后，就能确定满足性质A的这个x。这样的方法被称为构造性方法。与之相比较，数学中应用反证法作的纯存在性的证明被称为非构造性方法。
非构造性的证明，是应用反证法来证明，即通过证明如果否定一命题则将导致矛盾，从而肯定原命题。这种通过矛盾进行证明是以亚里士多德逻辑的排中律为基础的。
构造性方法古已用之，自然数就是最古老的“构造性”方法的结果。欧几里得《几何原本》中证明“存在无穷多个素数”就采用了构造性方法。近代对构造性方法的强调始自康德。
构造性方法与存在性方法常常是同样的有效。实际研究中有许多问题，一时难以给出构造性的处理，因而首先研究存在性、可能性等有关问题，这就是非构造性方法的价值。
采用构造性方法不仅可以得出较为新颖、较为深刻的见解，而且得出的成果更便于应用。得出具体的解要比纯存在性地证明有解要有意义得多。当一个数的存在能采用构造性方法证明时，则这个数不仅在理论上，而且在实际上就可以计算出来。
“构造性”一词迄今尚无完全的严格定义，各个学派之间对这一概念的理解亦有所不同。但是，总的倾向是明确的，如：主张自然数及其某些性质（特别是数学归纳法）是数学最根本和直观上最可靠的出发点，其他一切数学对象则必须是能从自然数构造出来的，等等。
凡以自然数集为定义域及值域的函数叫做数论函数。自然数包括正整数和零
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
一般来说，从自然数集开始讲元数学的书，我们都认为是好的。
学习一个东西啊，最好有一个实例，“ 麻雀虽小，五脏俱全 ” ，太空了，摸不着边际。
其实啊，钱学森在《土岩爆破文集》的序言中说的对着呢，面对一个新事物，不能死套公式。
没有数学照样整，数学只是让经验规律变得更优雅一点罢了。
我一直强调英国的做法是正确的，不知道为什么很多人都鄙视它，很奇怪，呵呵
真懂的人少，充大的人多。跟着所谓大牛，人云亦云的也多。
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
钱学森在《土岩爆破文集》的序言：“由于爆炸力学要处理的问题远比经典的固体力学或流体力学要复杂，似乎不宜一下子想从力学基本原理出发，构筑爆炸力学理论。近期还是靠小尺寸模型实验，但要用比较严格的无量纲分析，从实验结果总结岀经验规律，这也是过去半世纪行之有效的研究方法。”这段话不仅适用于爆炸力学问题，也适用于所有其它复杂的科技问题。
还有中国人把数学的 “形式化” 称为 “机械化” ，这完全是超傻逼。
但这个东西又属于思维学科，你不能说形式化是对的，我说你僵硬、僵化就是错的。
中国的数学完全就是无厘头，呵呵
为什么要搞形式化啊，要从脑科学来找原因，因为形式化不容易出错嘛。
讨论和质疑是有价值的，至少现在你知道了数学根本就是思维学科，不是说谁的数学多，谁就拥有真理，然后可以拿权威的大棒子来压人，数学成为了一种权威。
在中国啊，科学也成为了一种权威，呵呵
—— 泰戈尔
前面说到在笛卡尔那个时代，人们都不知道欧式几何是怎么来的？笛卡尔搞了一蹦子还是错的。
逻辑主义的形成究其本原可以追溯到莱布尼兹时代，他把逻辑学想象成一种普遍的科学，这种科学包括构成其它所有科学的基础的一些原则，这种逻辑学先于一切科学的观点，即是逻辑主义思想原则的萌芽。但他并未能开展这一方面的工作。到了19世纪，戴德金、弗雷格和皮亚诺等人继承莱氏先志，逐步发挥，并且都取得了不小的成就。
在《数学原理》中，罗素和怀特海曾通过纯逻辑的途径再加上集合论的选择公理和无穷公理把当时的数学严格的推导了出来，获得成功。故罗素宣称：“从逻辑中展开纯数学的工作，已由怀特海和我在《数学原理》中详细的做了出来。”但是，事实并非如此，罗素从一个逻辑系统推导数学时使用了集合论的选择公理和无穷公理，这是不可缺的，否则不能完成。不用无穷公理则自然数系统就无法构造，更不要说全部数学了。所以，罗素并没有将数学化归为逻辑，而是化归为集合论。
要从逻辑推出全部数学，就必须发展集合论，而集合论是自相矛盾的，没有相容性的，但是，在逻辑系统中是不允许有矛盾的，因此，必须排除悖论。可后来罗素与怀特海所做的工作并没有很好的解决这个问题，进而遭遇了不少困难。
形式主义理论体系是在非欧几何产生之后，在数学和数学哲学研究中弥漫的“重建数学基础”的气氛中形成的。
当非欧几何得到人们的承认，亦即当得出互相矛盾的定理的两种几何都证明了不自相矛盾的时候，人们便要问：数学的真理体现在那里？试想想，一个几何说，过直线外一点只能作一条直线不与原有的直线相交；另一个几何说，过直线外一点至少可作两条直线不与原有的直线相交；这两个几何不是互相打架了吗？理应至少有一个是错误的，为什么两个几何都成立呢？
为了在数学中避免出现悖论，就设法绝对的证明数学的无矛盾性，使数学奠定在严格的公理化的基础上，数学的公理和逻辑推理就像天文学家手中的望远镜那样重要，是不能丢弃的。为了实现这一目的，希尔伯特在1922年提出了著名的希尔伯特计划（Hilbert's Program）。
形式主义和逻辑主义一样，都从公理系统出发，不同点是：逻辑主义者当追到逻辑公理系统时，不再持原来的对公理体系的观点，而要求逻辑公理系统具有内容，而且想方设法探求逻辑规律的真理性究竟体现在什么地方，形式主义者则不然，他们认为数学的公理系统或逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明该公理系统是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便得承认，它便代表某一方面的真理。连逻辑公理系统也认为是没有内容的，不能由内容方面保证其真理性，于是便只留下“相容性”即“不自相矛盾性”作为真理所在了。
注：它把真理建立在严格的形式的基础上。这个德语是最现实的例子，就是一个语法框架嘛。可以参考一下 洪堡的《论人类语言结构的差异及其对人类精神发展的影响》
希尔伯特原来设想，数学的相容性证明可以限于有穷的构造性方法范围之内。但是研究表现，这个范围应当加以扩充。哥德尔的不完备性定理说，证明一门数学的无矛盾性不可能在本门数学内做出，必须在一门较之更强的数学中才可能做出。不完备性定理说明希尔伯特的原计划是不可能成功的。
直觉主义的哲学观点则是直接渊源于康德和布劳威尔的自然数源于“原始直觉”，即是康德的“自然数是从时间的直觉推演出来”的主张。
他认为：“上帝创造了自然数，别的都是人造的。而整数在直观上是清楚的，故可以接受，其他则是可疑。”其意是说，只有自然数是真实存在，其余都只是人为做出的一些文字符号罢了。他还主张在自然数的基础上来构造整个数学。
直觉主义对20世纪数学的发展产生很大的影响。本世纪30年代以后，由于歌德尔的工作，许多数学家开始重视直觉主义。数学家们纷纷尝试用构造法建立实数理论、数学分析以至全部数学，得出不少重要结果。
构造性方法（method of constructive mathematics）
构造性方法，望文生意就是这个：“要证明一个数学对象存在，必须指出这个对象是怎么构造出来的”这种数学研究称之为构造性数学。
要证明一个数学命题“存在一个x满足A”，如果能具体地给出满足性质A的一个x，或能找到一个机械的程序，使按其进行有限步骤后，就能确定满足性质A的这个x。这样的方法被称为构造性方法。与之相比较，数学中应用反证法作的纯存在性的证明被称为非构造性方法。
非构造性的证明，是应用反证法来证明，即通过证明如果否定一命题则将导致矛盾，从而肯定原命题。这种通过矛盾进行证明是以亚里士多德逻辑的排中律为基础的。
构造性方法古已用之，自然数就是最古老的“构造性”方法的结果。欧几里得《几何原本》中证明“存在无穷多个素数”就采用了构造性方法。近代对构造性方法的强调始自康德。
构造性方法与存在性方法常常是同样的有效。实际研究中有许多问题，一时难以给出构造性的处理，因而首先研究存在性、可能性等有关问题，这就是非构造性方法的价值。
采用构造性方法不仅可以得出较为新颖、较为深刻的见解，而且得出的成果更便于应用。得出具体的解要比纯存在性地证明有解要有意义得多。当一个数的存在能采用构造性方法证明时，则这个数不仅在理论上，而且在实际上就可以计算出来。
“构造性”一词迄今尚无完全的严格定义，各个学派之间对这一概念的理解亦有所不同。但是，总的倾向是明确的，如：主张自然数及其某些性质（特别是数学归纳法）是数学最根本和直观上最可靠的出发点，其他一切数学对象则必须是能从自然数构造出来的，等等。
凡以自然数集为定义域及值域的函数叫做数论函数。自然数包括正整数和零
×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
一般来说，从自然数集开始讲元数学的书，我们都认为是好的。
学习一个东西啊，最好有一个实例，“ 麻雀虽小，五脏俱全 ” ，太空了，摸不着边际。
其实啊，钱学森在《土岩爆破文集》的序言中说的对着呢，面对一个新事物，不能死套公式。
没有数学照样整，数学只是让经验规律变得更优雅一点罢了。
我一直强调英国的做法是正确的，不知道为什么很多人都鄙视它，很奇怪，呵呵
真懂的人少，充大的人多。跟着所谓大牛，人云亦云的也多。
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钱学森在《土岩爆破文集》的序言：“由于爆炸力学要处理的问题远比经典的固体力学或流体力学要复杂，似乎不宜一下子想从力学基本原理出发，构筑爆炸力学理论。近期还是靠小尺寸模型实验，但要用比较严格的无量纲分析，从实验结果总结岀经验规律，这也是过去半世纪行之有效的研究方法。”这段话不仅适用于爆炸力学问题，也适用于所有其它复杂的科技问题。
还有中国人把数学的 “形式化” 称为 “机械化” ，这完全是超傻逼。
但这个东西又属于思维学科，你不能说形式化是对的，我说你僵硬、僵化就是错的。
中国的数学完全就是无厘头，呵呵
为什么要搞形式化啊，要从脑科学来找原因，因为形式化不容易出错嘛。
讨论和质疑是有价值的，至少现在你知道了数学根本就是思维学科，不是说谁的数学多，谁就拥有真理，然后可以拿权威的大棒子来压人，数学成为了一种权威。
在中国啊，科学也成为了一种权威，呵呵
