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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 7 O& A" {4 u" ~: e* O: O: ?2 p
3 I  T* i! H: n& L6 g* K5 `1 a
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
' ~* o( Z/ H" @, d6 r3 y6 h
$ M8 d* i4 k$ U$ L, Z: ]) n众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。( \8 ~0 I: u. B& N
  o3 B5 T+ ?0 `" T1 O1 [% }
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
; d3 N5 X; j$ w$ t5 J: ^9 c
! J4 G! P  s* m3 Y- [) n- K: D7 u( X9 f6 O' G+ ?
6 @* m+ x9 T& |: `
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
4 |0 H: D  g/ X6 ]4 m! L9 X6 X; O! i3 F' d# U
* \) ?- e* H- b+ d* O! ^
) u; m+ R  C5 o9 f
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法: U+ H" k4 K' h5 o

& b& w" R- o  A: v& x2 V
8 j  q) s/ }% \" _- u% _3 a; j, l* J3 V# J7 M
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
& H' c1 V+ j7 k& J, `, d' P6 M2 s2 N! B/ B0 |$ {& y
+ y& H: T: B" U
! f1 d7 J0 v1 Z! L
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？  S6 M9 U) k+ o; u
  ?- V/ P5 T3 H4 ~3 Y6 b: e+ d
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
9 W  A* j& c, [$ }; F  Q% u9 D0 T! R3 ?( J$ m
. e. S& D) b' N1 Z
" M3 ~! t! N( r! P: X' a8 K
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。- W) ]: B4 z& p8 k' q
5 j2 N1 @5 U1 y* E9 v# J( N
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来) F# W2 E3 F8 p- {* Y8 _
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:052 v* v9 C5 j  B" Z% ~
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
! M# A+ ^3 h1 q2 j
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
2 |' k0 N. h, C; V又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

! F# l+ z) @) r对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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