爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 " J5 y$ i) ~7 s& U% o

' n7 {7 c6 m! F0 w; S经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。6 K6 e7 m. }, X/ f/ E! `
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。" H: Z: i" D( ]7 x

% h, R! }* P; v不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。. Y% n  C& c% }: q. L& [  T$ L
5 k) w" i2 F) o
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。- z& \8 f- X+ r2 Z# H5 o6 C
% `  r& |* b: X0 E
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）! Z% i5 `- T* T* M) \
9 c( w5 L# c5 Q+ ?- }/ N
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。; ]$ K7 b4 t$ z4 ?: o$ `

% c2 ~3 X; [+ U那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？/ E6 N# y, T3 Y6 N4 G. q
  E8 _1 X6 m" E' E3 s- ]. t1 {
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
, @$ ]" w1 m" B! C0 P  P# j0 E1 ~7 t0 Q* _$ q7 ]

' n2 I2 ^; |/ v$ c4 t0 v: m) n8 @量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
/ a# O+ K% g  D8 k; `! D/ n# p% M& W3 H
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
/ X7 v/ U3 z- G
) @* h% t2 R% ^. A+ l" _9 K经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵  a2 I2 i1 q3 i3 T1 @+ d
, ?# x* U  f6 o/ ?: s
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
. t3 O8 z# a  @2 r  u8 t8 H' a; G
$ b" O1 p" |! q' H外行人瞎说的，别当真
3 d$ s4 R* c2 L3 R2 d5 C
: W/ I3 _1 i7 F, Q% _# A/ [! @  c1 x
: x( s9 m6 |& a2 b
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 * D& c9 j5 j6 X5 }
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
  v. B& x* J) A4 Q5 o
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。, M  h7 u  Z  E# s, w) V
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~# B& ]3 q1 _0 R9 P. J1 v1 m0 W" u
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
* |! w! \9 `, X" p. ?% q只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 7 n! G3 r7 a# Z- z6 `
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。1 ~8 _, A, Q- M; c6 ^( ~& J% z# C
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
# M' U8 {$ R4 ]$ [4 }5 a: T你的意思是marginal ...

3 c0 z0 z: o8 P8 d就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
' ]4 U" E! Q% R( }4 A1 F1 A2 z5 ^! @  _) h1 `- A% O& X
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
% B' z1 `. f1 e, }& M4 J经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
) W- X5 m; A1 y" B7 W! \" M! D3 o- S4 ]7 h% T3 E2 V, s, P$ [
经济学又有点像理论物理 ...

9 }3 ^0 m( }; h/ l5 d$ [+ _嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。5 p, J) E' G5 p& q- f/ i# k0 q
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 4 _# w; E' W- K$ J" O
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。" e0 J& g2 a0 z4 x

  r0 ~: E' q# I1 R2 }! t& F这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
) q' a6 f4 ?- s! F9 M1 Q; {  ]
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
6 r3 l7 F  t( G! c7 m7 p5 ?' ?因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
) h+ }. Z+ D! X几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
8 X9 }. D2 q' J/ A" Z7 `! a9 ^

1 q. c& k: O3 [: P9 m! Y3 j所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
; A/ T6 D3 q& a0 [8 g' q7 C* n5 n就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。- \0 E# J% }9 S
7 K, N, Z2 {8 N& p
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
$ b: W6 ^1 ]% `" x! f4 t3 K) y
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。$ W" @6 o" [. E& t& c6 J1 y

& x0 {1 z& C: V* J# Y+ T  }. Phttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory+ b/ ]6 [; V/ I/ z5 A

4 B& e- t" f6 B* V! e" P# F经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
, [9 O/ `; }( s
( `% }% Z6 M+ @# R
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
9 s2 L& g/ m2 F0 r经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
; K+ w/ `- X9 G0 \( f% m
) @. i' Z' S/ H; r2 [8 k# c经济学又有点像理论物理 ...

% o3 D3 ~; S) J3 W经济学还能挣钱的。
7 L% L( R& L1 c/ z6 _2 ]
; P  s7 l0 O6 R5 l+ E3 T5 e
! {. K# }  {% O7 Q8 ]0 S% i  k# {理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
3 Z6 V6 p  h6 c* m: B; C+ |+ f对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
( [) |) C: i, u( g4 Y1 d/ E7 d$ R术语上来讲，叫calibration。0 |0 |% g+ e' q& A' n4 N
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
1 y- W- K9 n, J. o* k. W5 t% o$ C8 w; W* b3 I# x
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。, }+ M2 A# O. ^( H% C7 ~+ C. r
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
% C; f) H7 ?! N, M) k——计量的方法。
- u- C( G* G# y3 M
2 z9 O6 Q! j# k4 S# D  k( \1 k计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
/ w, i3 a- m& w: U' p, W" p" A
5 A8 q2 W+ W+ i( r" M' G! R6 z! W下面我提几个问题，. `, y) {/ B7 E, [6 D
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
' [' l7 ^- m* x4 K8 ?6 H  d再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响  X5 [+ B0 J* \( R
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？% I6 d  T' V' G1 _6 O: p; m: `% s/ t
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。0 N& i$ R3 u7 w# M) @1 `. K  ^# m
术语上叫做regression。
3 P# U1 L: ~% w) X" r5 t: }) k  p而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
( E: H! A0 r; [/ h9 b/ h
4 Q4 L  [: r! v% N4 y* }# P最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。' q* R( v, p, n% N
每个观测到的数据之间是否是独立的。
+ o# [8 B6 t: x6 [; f6 J比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。7 b& t3 M& v: G
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
5 Z1 v9 t5 V0 V! Q这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
8 k5 t6 N4 _' W( M" E' L' v4 _' t3 g- C( S$ P" ?, }* l
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。: ^. j% M( B6 B, C6 c8 i
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，: L: _. D/ g8 z. w% |
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。+ M1 v6 s$ i" u; E) g

$ S$ Y  R( {7 Y1 k6 |经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 + y; R+ i& t5 A* @$ e2 M. X
下面就要来说说“量化”了~~& v9 m& @  Q* D1 w' `/ j2 D
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

3 [. b1 F5 s, P" ~, B; B9 N所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
5 e3 \# }) c) e  G* D5 o6 d8 b效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

% M/ Q, X; R1 d' J这个我有个模模糊糊想到的问题。. }  M2 x1 v! ?: l. M: B

; E7 ]* U$ L4 @& h) X3 P  L8 D3 d比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。9 S: n9 u7 T3 j/ B( n  ?0 ?

1 N3 r" S1 Z. V8 t. t3 t这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
" j1 |' w3 f* Q8 |: @8 c( D这个我有个模模糊糊想到的问题。( Q$ J3 k, y8 {
- l3 C1 |) E) _8 O
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

4 x2 S3 w# K% H& K万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
% v, q) f1 k# s
. m- ^8 a, t0 i' n多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
/ \+ r" M8 m* j* O$ }9 ]下面就要来说说“量化”了~~
# v2 T; R: T: h8 f. S+ a对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
$ V9 q: a6 t/ _3 b' E0 \" K( \, Z
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 3 K& E7 ^3 v% A) P6 q+ D% a6 x
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 , D% S6 D+ o: }  ~+ M
这个我有个模模糊糊想到的问题。6 m  z* D( g+ u& U4 E5 j
2 G; B7 w- D* D# @  _9 R; a& ~
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
4 z8 a' J5 q4 F8 i# a7 `6 o
" {0 I4 R1 b. a8 N5 s! t2 M
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
8 J: H! H; ], |/ e
+ w6 d5 n1 t3 f( F0 v金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。( |3 W  _' v5 Y& W4 \
! q3 a# a0 Y* Y% g
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。4 g% ^9 `: K5 C

' i% v1 d" Y4 k5 P6 w  Q& m



欢迎光临 爱吱声 (http://www.aswetalk.net/bbs/) Powered by Discuz! X3.2