爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑   ~; I$ T, J2 J' G  K1 ]

8 [5 p5 m' K$ o8 o9 G经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。7 H  Q: P/ ~5 C& m0 o) E
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
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7 ]  A7 A& o' e7 D5 j8 O不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
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6 p) f3 X1 `8 A' Y& A. S  ?, Z一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
) U; K$ U2 M. m+ N! @( t0 ^- {4 h! w! a4 N, B, J
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
, Z! z' P& q* {! X2 l9 k# h: {! L* Q7 J
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。8 F5 v; f. l4 R. P
( v/ C/ F* F* Q" ^/ }
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
0 d, Q: J/ a1 g
5 U2 G* Q6 s$ t+ l1 F; P, j6 I6 ]# N问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
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量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
: @# I: n2 M; V5 @! C6 I
2 Y2 I# r; O0 A经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱! V0 V6 o: G% C* V

4 L4 ?7 l; `2 J# g$ O7 d$ l" L" V( X2 g4 v经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
  O# A% r$ ]& Q3 e8 o  Y
) N4 S. K, V* W+ I理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
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外行人瞎说的，别当真
: W9 C; [% J! S2 |5 h) D% k1 R3 Q( _' Q- R0 ]

, G% W5 H" j9 C( Q
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
# r, i$ r) A6 {2 `这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

9 t; I6 X# J7 b收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
2 A% ]% W0 Z% o效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~2 h% @% c! p# q0 ~9 |
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
$ Y2 t7 ?  I2 a. q; k5 F5 Y4 C/ ~6 d. H只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 2 [8 H& o% j* A. U
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
5 q# ^6 X" |6 d9 n- e8 P9 [& x效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~7 d, z8 }8 g) \' s8 T
你的意思是marginal ...
/ g7 t9 z) @6 F" p
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
% R3 m( e3 Z) D( Q7 N) v/ W  ^6 M5 ?9 T# i+ v# |2 R
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 . l) M- }$ j* R/ d; N1 O  N. d
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
2 ~& i6 [* [( Z+ t- A8 s( [; V. p4 c
经济学又有点像理论物理 ...

' D. W7 g  {) ~2 b嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。) n5 g' Q& k* \9 U  h
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
; r9 G0 g9 ]/ x' Y1 a7 W( A4 `就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
0 W$ O! I1 H6 ^3 j
* @& t, S; j2 N" Q这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

, M3 G: [( N$ b/ ^. V1 V7 x. `几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
! o: A, W* f% Q因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13
% ?0 [7 V6 ^! ^) @0 R2 c1 s几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

3 a0 W6 M9 I$ |$ W8 S$ ~
$ T( u0 {- A/ Z, ~/ _: Y所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
9 V! P% F6 I/ u: y就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。% z7 q0 d  @$ ]4 b1 z; P, K) o
7 [& n' L0 T  G3 _; l( p7 v+ t
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

  c( l: g, i+ G) \* u& o) a- u你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。% \7 {! u) n* i/ s6 m0 b
1 E' x7 q: m8 `" {& O2 J, O/ Q
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory& d8 I6 k( g8 @3 Z5 J7 }8 \" `
' s% p3 b4 m1 e+ ?2 n
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 " r+ F/ _0 w0 X
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
8 z" w) C, c' C" w' z) v3 P4 q! A, Z$ X* u8 @! I+ l6 C8 [  k
经济学又有点像理论物理 ...

0 ?' q$ e/ I3 H# e2 N经济学还能挣钱的。: m) G. U* s- E- H

% f5 N/ I- _# p' L+ T4 P" r8 `2 E# }3 L) c% x
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~" n& b* M5 u: P. f2 B/ p% c
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。& l% I$ k  y- l& s0 Z. \! t
术语上来讲，叫calibration。: P9 @, Y( A/ Y: U
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。9 p" T8 x( f& ]  M8 ?
4 h1 r* F: ]& e8 Z
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。0 m4 F  u1 G5 b
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。+ ]8 x2 E3 G3 \
——计量的方法。
2 C) B9 Z0 F& G$ U+ M9 c8 D' G9 X5 J' U+ J% {& W' i5 X5 @+ b
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
6 \6 G" K) y' e" L! j4 k7 {9 Z# |0 E8 C
下面我提几个问题，. {+ h% e% c/ `, u* Z  _; I
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？  \. U( A) ~" d' s! T
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
  f3 F" ~: L/ f# S) H0 T再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？, E0 o5 s& J, R" A
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
; R7 W, E" O1 ]! l+ {& w& I术语上叫做regression。
  V( c; e  ], R( i$ B! n  Q而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
* R/ K8 x$ c8 M' D* `# r5 i( p" H
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。2 _5 w8 t8 n% D% L
每个观测到的数据之间是否是独立的。" d! ^& l  i$ t) ^
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。! |+ u) N8 [$ v8 y( u8 [
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）& {5 ^- q2 u  s( L! r) F7 R% ]8 l
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
1 m9 _5 E" I% S! P" h" q7 g8 S  l9 s9 a5 C* _0 g
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。) Y9 i; L% o2 L6 n9 S5 u/ |
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，: {% ?1 b9 ~$ o. w
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
8 k1 Y7 v9 l; n
! W5 w$ I( Q* L& ]. P0 T2 J经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 9 Y0 N7 d; l4 S& b# d3 p$ X3 l/ @
下面就要来说说“量化”了~~
: k6 A0 u3 C9 O, J% t& i, r对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
8 a; @" a  k1 A! T9 i* a, t1 v
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 2 \" o# U2 _  p$ e
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
7 ^9 i/ g! F! [' x3 \0 k! F2 V
这个我有个模模糊糊想到的问题。5 \, d* ]: @) w
7 {: S$ f/ W* S7 ^/ d( a7 f
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。  |4 X9 X" Z) [. M1 g  P# L9 k" {

& K3 c3 @/ r0 a- O- O/ p这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15   J0 t: s8 O3 y
这个我有个模模糊糊想到的问题。$ [8 X8 U/ \$ ?, @

  H# _/ q) g! T4 j5 g% f比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
4 @8 k$ \5 `( a: o; |
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
, ]& o, M1 C6 Y) G) w! v) ?( j- I& \0 a  {
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 9 U: Z9 U, u7 o
下面就要来说说“量化”了~~
1 }4 b% }$ S" I( }* K对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
/ Q' ~! S( n' W! I  y( c" K8 Y$ `& B
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
3 S/ R( u; ^# a) \0 T: [, y. {5 z
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
7 a' S3 F: y* O, J这个我有个模模糊糊想到的问题。$ ~, r' z3 J+ @: R8 b

% p7 t* @9 P2 ~7 R比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
" ?8 X( F" |, S
7 B+ ^  c6 v4 Q
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
) P3 ^% f3 _  y4 c
( E1 ]) q) p/ s8 I: }' ?, D* F金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。! n+ g0 N! l9 G7 w3 q. C  K$ O8 o

+ t4 [- |, H0 L0 ?1 L5 W3 s金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。. A3 o- @; O' F

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