爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 ; W5 ]5 `. }& m+ J: e' }

- M& Q8 M4 N( ^经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。$ M+ ?0 i8 K- o8 j. i5 c. c8 H
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
. Q; r- B* _4 i6 A9 h
  V, p- z' e1 ^, A# v* j: x不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
# H( }# p/ ]- m$ k+ S, x
; l' K# V8 }$ a6 K+ ^一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。$ K8 s: B2 D) o& i6 h* H- p, G2 j
  P, v/ w& |0 b" \/ L8 f8 h
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）5 n( y9 w1 t3 \
/ E# O0 g! M$ ~0 N1 ^
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
9 I* c; c# C: X6 m+ B- k$ E8 i" G2 E( B
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
+ Q  q- j% {  G% k& v% s" t. ^' ^4 G
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
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+ M5 K! n. ^+ O, E
' P9 l: H9 [; G$ i8 n3 z量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 , ?5 D& N5 V! S4 Y3 H
( }) }& [1 Q+ X# G" j3 L3 K
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱0 Y3 l' v! ]7 X9 E  c1 _

1 g! t" y/ c, }* I- X8 L2 X9 @经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
4 U1 W1 r) U0 @9 \9 {6 n  g
0 V# @3 R( c6 h  B理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
& g( d) h) c9 b
2 k; w7 v6 `/ B' v6 n6 U外行人瞎说的，别当真
  }! r5 v* I+ [, {! [" `- U) a1 O: \. p' K9 \1 i; W1 E: Y9 d
4 O' h9 V2 c; U
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
. z9 c; q* w0 K. M3 n- x这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

9 N1 Z  [4 v; J( H* m( }, C- Z收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。3 I1 l* |2 U% H  J9 J  X
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
* g( J9 @" l. O6 G5 x# t8 }你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？  t1 ^: `1 W. U- J( F. }: ^( Z
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 2 S: r, v3 }% m7 {. ^
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。9 B/ B( S8 I! s2 f  Q& O& p
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~: c  X3 q' P, x
你的意思是marginal ...
# A" |* s% j7 g0 f
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
9 U) ~1 T( @! s3 n7 x4 V2 {" h) b7 B8 |4 Y4 [
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 ' o  [( W6 x' A/ v, N  J
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱2 L6 j8 y+ a3 [9 T3 `

7 L# |2 u' X# Q7 K# M1 ~) H5 E" v( u经济学又有点像理论物理 ...
" E+ @" m; H0 X+ m  L5 z* {
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。- G# h4 \2 U" T0 o% l' H
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
; ]9 `# b) v- Z  L6 A/ g3 P就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。! G$ s& d+ ?; y) X: W6 T  \

' [' G) ]' F* _* G7 y3 }4 }这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
: X: O- I* K6 F0 }! l: M
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。# @5 U7 ^' Y& ~+ n/ \4 f- v: M
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 . B, v) G! x5 J$ p( U
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
" u8 `& d+ N  R5 I: p0 `" F; W' L! f
# v9 v) z! g2 J* g! m
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
$ W6 L0 t6 D" N8 M' `& [就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。1 ^8 _, I9 U6 U0 @9 x: E

" A; C" L4 E& O. o7 u- w/ f这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
: Q; s  e5 o  n
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。3 b8 d- z  i7 i9 m
0 Y* v& G- ?: n0 L( p# v, V% O- z" m
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
% p% ^; i* M, A% g
* g) Z% g* a0 y' x9 d经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。4 \& r4 V, ^, o" u" c

* f+ w" B/ z- v0 ~2 X- b. N6 I/ u
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 / |5 {, y. V: B# J
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱+ t4 x& r8 z$ ~" [! y- \

/ \# c: t, n; P! g* V! p6 \经济学又有点像理论物理 ...

3 x& u% Y: |$ i) y/ P8 ?, ]. b经济学还能挣钱的。8 l4 @+ u0 @" k  Y1 m
+ f5 T/ ]% @- c' g  p# w/ V5 \

7 i8 ^; a3 E1 f/ k4 ]8 z理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~) X4 F+ y( E2 y- C6 U* A& t: T
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。" F4 L6 x) z& ]2 C
术语上来讲，叫calibration。. }, j& s: N' H/ @
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
9 S1 `# v8 _" d9 z) e; o6 L2 D# V/ J. r4 _& s2 d+ }2 d$ u% {- x
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。5 S; J; v3 L" v
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。9 u- k$ [/ Z& ~) w
——计量的方法。
9 V* Q1 [" e. [  m4 ?6 w+ R: p8 x" C0 b" e3 y5 k
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
  X  G6 k3 E" z1 g# A
8 W, Z( a3 F: h+ H" o5 S& \* O下面我提几个问题，5 W9 X$ x5 z- D$ J. f% F2 x
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
% A& c9 w; t& F6 e* @# H* E* O再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响3 v6 i1 ~1 ~2 m. r$ Z5 Q. j4 f
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？4 h: B' t: @* `7 M; o' O$ n7 Y4 h
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。2 T* d* ]; L; t. @# e
术语上叫做regression。* _+ Q; y) M7 D" _7 p8 o
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
) D+ ~! L6 j( w' W+ E+ K6 @& ~: k# Y) H( _# a. T/ z$ g8 W
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。) w3 K5 |, l& i  E
每个观测到的数据之间是否是独立的。
+ G1 \$ l, g6 P) ~4 W  y' i比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。: `  l: h4 `6 T, {# \
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
! m9 N7 R8 B; h这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。- ^4 w* b# N8 F9 d; L0 T
8 R" N: @3 y' j" D
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。3 j4 g8 ~* g* W
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
2 O2 x+ |3 N' K  B至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
$ n4 ?/ o" k, K8 H$ ]+ R
; B1 j: r7 u5 v0 `8 Y# K经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 $ Q3 B8 i8 ~# B8 W& N# w  a
下面就要来说说“量化”了~~
1 T1 k) q8 d" D- o6 _& Q9 L0 R: g对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
7 x2 j0 H+ ?8 u( j; L3 M% }
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 5 o  {( v1 B: C% m0 }+ ~, r
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
6 E7 }) M" }9 c: v
这个我有个模模糊糊想到的问题。
$ }' ]9 }( s' m4 q+ T# v
/ ~. t9 f  v4 b0 v比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。2 M( d* q# t4 ]% y
+ ?& @) I0 z# m! V
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
% Y* P: F# O+ p& f9 o/ Q! P8 O, w这个我有个模模糊糊想到的问题。
, U* k) c0 a( \: y0 b; y8 s
4 D$ Z9 |7 L( g1 c% X8 |+ L" P; r比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
5 o0 m( w# Q& d% T
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。) [& U$ R; [- [  V
/ ]' h) n( C0 Z) u% r3 j
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
9 h6 i) {1 {: g下面就要来说说“量化”了~~
0 I* |: M  a  y) Y4 z对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
$ t7 [7 |6 Q& a3 n  I
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
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假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
7 M8 U* `! @! [1 x这个我有个模模糊糊想到的问题。
" D2 F1 v- k7 t9 r& d% J' i, m' k- F/ g1 W3 l& Q  x2 ^% \
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
9 p, w8 c+ u: a7 p
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由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
" T6 U' h' [( F4 Y5 p
: U9 C: c( X' n7 Y' H金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。! R" L: g* ^! i1 {1 K- v# @
1 e5 b; p& L+ U) D9 [3 G
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。; t. c- r' q) F/ Q/ w2 p3 Q

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