爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
/ Y# Q$ B: X% \) Z0 u
. F" a# S$ d# B3 {2 \% G经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。  D* l" A6 l4 W- A( \; @  H, n" m/ y
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
, H/ `+ a9 L7 P8 ?0 ?; }' g+ C3 t. L: ]. {7 y$ q
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
1 e4 f9 `, |( Q  L5 M2 G+ n; Q; @% l' f
0 U# ^' c% f) \' D) Q- g3 w一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
( {) t) v( e( W" Q& W& _; P7 V9 A
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
# J" [! K2 Z1 o5 e9 ~
8 y1 k3 [7 }+ P# e% H6 J* V8 L所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。' k7 m. W. M& f1 c

) F4 W2 V+ Q( a* H. [- y( a: j那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
$ E! R( {8 }( ]+ D1 K; j$ F0 m1 X
4 ]& L8 H1 A( \3 X- W3 w问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。. N5 i6 Q, f6 p0 _0 n" @

0 l) v) X0 q+ r7 Y, K# r5 d/ z4 W6 X1 `
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
# R! O9 W* l! E6 S. p( J9 n7 h7 k6 p" O/ @: M/ H6 P- k" m
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
, k9 v, X  l0 ?4 `+ ~, g) ~6 p8 [% [' R" D) M/ R! L9 \* F
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
+ p& \) i  C8 B; y0 S4 g0 @0 X. V# A8 s% j2 C' Y# r' o
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系5 T* o6 M9 E0 R9 J7 P

7 j; a. V- S6 A. N( Z3 ?2 r" d0 l外行人瞎说的，别当真
9 _. H. t, U) H% q% c2 F' g8 k/ x0 G" Q$ c- v7 @9 L- M) d
( }. M" V9 f' v' q
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
% n* Y4 {* d" d0 l" L3 Y1 U: q这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

# `. i- ?5 E4 t9 w3 `( o% g, _8 r收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
* j1 S/ C: V3 Q) L" J/ f效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
7 m! I& K. X8 D你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
3 _5 N2 {1 O4 R) v$ l. }$ R: l只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
7 z* p. Z6 \+ N8 w收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
5 }, D0 @( ?+ ^! a& U$ a效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~8 l) ?8 e2 d( Z  n" v; _: {, S
你的意思是marginal ...

% b: u7 {+ j% ~! Q+ `就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
$ z9 {9 u7 h: w3 |" f
7 Y& d! v+ e! p! v这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 ) P9 F( Q" `) X. \9 I0 m
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱; j9 M, X% ~6 q1 C

: [4 g+ V* ^; [/ w+ G" O经济学又有点像理论物理 ...

, O" ]# c0 e- d& [/ Y; e6 |; W/ V' ?嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
6 x% n. u' t. R+ F8 T9 O4 K不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
% ?: p3 J, L4 Z8 V0 q1 q& Y就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
9 ^5 O1 K- L: L2 A( U& o& @- u8 _% m* @
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
& V0 Y8 P2 L& D3 q& R
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。: ]& E# T( Q1 T$ p: R8 h$ Z5 {! k5 }
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 % E1 W! i- `# k/ S, R" {- L
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

8 @6 R# p  G; j
- p4 S. B* S1 d, B所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
  ]* v. x+ F$ ^: k8 Z; C2 k% K就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。  v! A( I2 C# M+ q5 O

" o! T8 F+ f/ w+ y4 O, M这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

" p1 D: A5 R7 z  B你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。: ~- W6 m* W4 H3 A! q
0 h* A( d% g6 f, Z. ]
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
( E# P9 x) y( F
3 q1 G* w3 S8 L* b经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。  t/ c% j8 Q0 V0 d1 C) X

0 J1 T7 ]% u: X- z) D! }7 [) v
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 6 P2 y) Y3 y% }& p2 ?
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱+ Y& L2 ]2 a' }& u& k4 j; M

( `1 r; R0 h8 w- y经济学又有点像理论物理 ...

* w+ Q/ J, K# c% O经济学还能挣钱的。1 l* v9 U: R4 m- w
- P9 @$ Z! s8 [( k
# w8 A2 Z( S& l( b2 r
理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~5 t! g6 B! N% K& i6 `
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。# w0 o: I% O. ^4 x, q0 d# H+ x  C
术语上来讲，叫calibration。
3 u2 Y! T3 n  |0 K0 f" S: w9 D5 [怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
: [, S  ~+ f: a$ H) m6 l+ U
% n$ t0 W8 ]2 J$ P上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
7 g# G6 N) z" q% M( H8 n' \( H那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
; _/ H4 G- i2 w3 {" a- V7 d——计量的方法。( M+ w* I* A6 M# k. v
2 h) L3 u5 S1 s
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
( P* N- k# V/ {3 p2 a6 e: U
5 E; z6 S& U" y/ d下面我提几个问题，
" Z0 Q. x! M$ t- D" E6 d比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
0 f5 `% @  Z: J, K5 g9 l5 w5 }/ @% n再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
" U. s1 }% J$ o3 m9 R. p- U; X再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
% Q7 \. Y3 A$ a) E这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。; B9 Y6 R6 g- q% o/ F1 m& j
术语上叫做regression。- ^  Y& z: a  {2 e0 y, k/ q
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
4 |& ]4 G0 y1 L# E$ r; C1 M; t/ G5 e
# n( [) G% t' N/ n" s/ J最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
- s, C  u" R$ g: R' i每个观测到的数据之间是否是独立的。
0 P% N, [. w: _6 z比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
9 S& d7 F$ I' A" k, `: \; h' a这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
. m$ W  a+ U" r  Y: \这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。; T& k) B/ ]8 _1 r
" y# [1 I8 D# x9 [& j) i2 K
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
2 c) j% E; y9 r  w" O. `这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
6 v+ U$ A& ^& S  M8 K; F至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。. a, O$ p( d! ]2 f$ k# [

( R% t. i1 W3 C  r+ ?2 G, H经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 : K8 _- f  |* {
下面就要来说说“量化”了~~3 D/ R4 F: Z# f' p
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
  \7 I' c4 Z) n  r6 K4 w0 N
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
' T6 h$ J; l: u$ b) `9 x: {1 S6 P3 S* n效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

2 j8 {  T' C2 d5 _- L- {这个我有个模模糊糊想到的问题。
( ~' Z1 Q% D/ y5 N+ J9 o
; B: `8 G# N4 V: D+ j6 X比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。: L) @# c; ]& q" d2 t: A5 B

4 J3 a/ f* h0 j& T这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 ) q5 |1 m- p1 p1 h2 o
这个我有个模模糊糊想到的问题。
5 R" Y! Z8 X/ k* ]. ?) r, E) ?# e! q9 x7 Y, m
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

/ q% O; D' l4 U万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。  S9 V. y+ Y2 K! O$ _$ o$ F9 h9 z0 K
6 `4 F2 ]. j( H! f
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
1 s( P5 a2 V8 o7 C下面就要来说说“量化”了~~( J" Z2 q2 X, I4 U8 o& V9 G" O
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
7 v# `! P" ?) n' t5 w  h
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 8 ?' @6 f6 H: X. |% `: c$ O4 Q
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 , `, J2 W$ o+ Z% `" e$ d5 R+ H
这个我有个模模糊糊想到的问题。
. W: C2 k1 y5 G7 x0 }) O1 K* A& E
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
* O/ s! a0 t9 N/ }5 y; k& I& l
& p; C$ e, E( O0 j
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
8 E" Z$ \+ M2 A) g, V6 K
; a; z) i/ o% L+ n2 J金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
: T* G0 V4 J. R/ H: h/ R5 U4 Y" {6 N' c
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
& h2 v$ A. i/ }% T, P: O" _$ c0 O7 _1 k% C" m& \




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