爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
3 u7 \7 h9 h' P& D) x3 L" k8 O' L/ t0 ?* A. B
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。
1 k  `1 L5 C" \: ~* l大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。  w. d3 }  [- ^
, H4 K8 [1 N8 C& ]' y& Z" M# u2 Y
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
% H- r! y5 R3 U6 ?
8 Z# ^7 w; P8 r1 V" ?一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
6 U$ s# U/ o5 ~/ a$ C+ B$ z  J' U, B+ O: Y
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）( I: Q5 A/ N' f2 i! ]5 C3 B9 F* l. K
8 [8 ]) J& T: G/ |, Q2 r8 d
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。9 {9 A0 q$ }1 b' C, k2 @
% {# ]+ r& w* A  Y0 f
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？$ W6 R# p! t" B: L. H! t' ]' o' U: K

# r8 R9 P. P0 P( M问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。: F4 R) ~6 s8 m1 V# n0 e1 W# A

( \: S, K  z' A( C+ i
) }/ l- D  L1 k" x量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
1 H) `- p$ r3 i/ a0 K
( P7 r( B: P0 N/ ?/ m经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱8 |1 T  H/ Z) l/ o; H/ I1 |

7 n7 C* s7 ]1 |经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵& I  m1 x# {0 C7 B5 z7 Z3 D

1 t* V& f4 X# J8 F理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
  E( f/ O$ o- g$ B* s% q6 e; q5 \4 h0 s3 _' D7 R) P
外行人瞎说的，别当真
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' F& P, D' V4 \9 b3 a; f
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 ) g' D: p+ a/ c# k8 C0 l, I
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...
' ^6 L/ _: n7 [4 e
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。' J  R5 W! E( C5 d) p& b
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
: S+ h) ^7 G& }% q: b1 T$ O. P你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？
: D6 R; W* k9 w" B$ x( D5 Y/ I只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 4 E  h/ C" e' e; _( ~/ n- u6 _& `
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。! g6 _( e" o; b
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~5 n' G# E! ~' |$ }8 _" Y- P. P6 B7 }
你的意思是marginal ...

1 Y- l6 n- G: K6 e- M" O就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。: y- i, ]( Y5 i4 S- A' ~' v

) }0 ~) b- L- j$ f这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 1 @' r. V) }+ v/ Z' }( t: m
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱) x( x$ G* \- f3 D

6 k% P! J- l$ F, h3 d' q! G$ R经济学又有点像理论物理 ...
8 D$ Z- S* Y4 }+ ~4 I' i/ A
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
; {( u1 j/ h/ b: s# p  M不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 / I$ @% E! t* s8 B3 L* `  g
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
. H. e1 v8 f: ?
) x* n; M" P) C  E$ m. K! f这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
  b0 C6 ^7 d' @9 X6 k4 I, R9 V
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
9 p" }7 D( b* @/ `, ~, ~因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 8 q& M/ h3 U7 h& I6 B
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

8 u- N! q" C' `& F) W6 r
2 I' q3 B1 s( f$ }6 C所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 # \$ a0 W. `  ]3 G0 G2 S
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。& ^/ m- E* @5 ]

! I1 M; |% ]% J) @' s) k- K这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
. a2 p& A$ ^" t" w
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。( g) O0 i( P  s) e+ N

/ k; ^; [  U6 d2 f4 ~http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory/ o4 b6 V1 ?1 U" ~/ F& W5 Q- {
/ R' A8 H# m7 ^( ^4 \& E* p
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
. P3 Y. n! |- e% N. s
/ ~' Y! C- {. C+ G9 j0 p* U
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 + \% F8 e' D( j4 T
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱; E% t3 O# d& |& c: v+ Z" t

0 a  M8 T3 F7 ]# O! @8 w/ j经济学又有点像理论物理 ...
; o( D! t: G2 e+ S# A2 g
经济学还能挣钱的。1 h% n3 R$ H7 @( K
% J9 N; K# d: W) n

  |) ]9 `$ n' }" |$ b理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
7 r' y/ [" Q0 b% R对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。0 ^+ B2 N- k' x* l% Y1 N% m1 R8 R
术语上来讲，叫calibration。
, m; C( _& o# p* I% w8 [怎么找呢？基本上就是来match empirical data。. f+ i0 {) k* ?" E
8 s! G6 F( P% v0 v4 k9 s# Q% U, g+ e
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。, q* R! q" l+ o' T
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
6 W* k4 F1 u) {( k* H. _1 W——计量的方法。: k8 k: a2 l5 \, E

) l& Y- x  @* I! ]7 S, Q% F# n# F计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
4 I1 y- h, O7 v% c- H$ i( m/ p' }% n- g
下面我提几个问题，
9 T% I! F: X# @) Z( i* r4 z5 t比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？( F- g8 {6 Y/ X# g0 u7 r# b/ q
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
, @+ s9 d5 w- t+ W2 y2 F9 X再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？3 _5 J; ~, e+ q: M* ?
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。. P2 A, U* k/ b* x" d
术语上叫做regression。
6 U2 \5 k# i/ t; A8 [2 G  ]而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。5 \* @& a7 U/ H  C, _# W7 q5 |# b' c
2 \( @/ d) J2 ^  B, L. y4 w
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。! G) \0 y0 I4 x5 q! W* F- K
每个观测到的数据之间是否是独立的。
6 B- U% o$ ~" P* y比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。, B7 p8 C3 ~( U4 i7 X1 Y
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
/ I1 O% r: a) @. T0 o' d$ v& R2 }3 j这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。% H# c' k3 x+ A, A9 V9 P, a( \0 i4 x  N7 V1 j
0 T" C$ s" }  b& q
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。5 \/ B; T/ I( m. ]! ]
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，8 S7 v  G; ~. ]7 t6 Q: z
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。! |3 ?" a' k7 d8 t/ w& b+ N

# u9 f+ f' U# E% ?" j经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 4 K. m. q$ j: H) T  W' l9 d
下面就要来说说“量化”了~~, v9 u8 u( I$ x8 F
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

0 Q2 y8 g2 p* h7 d$ `- |3 _+ @所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
" U0 p/ a: ^" l; z9 H3 v, ?; N/ a效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
  D3 H4 T+ n. W8 V( Q6 \
这个我有个模模糊糊想到的问题。- T8 O6 T4 a3 l5 k7 z* V% D8 f& h

9 Q9 @$ x3 P" n5 j7 a# v比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
/ O& m8 R% A- V+ x
) y# }4 Y7 O% i+ A% U这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 , ]5 D# o7 j3 f3 k" g) Y5 o$ N
这个我有个模模糊糊想到的问题。3 q7 X3 T2 k  J" c
; W" I1 m: L* m/ I/ O/ v
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

) x* t3 e6 {: I, {4 [, e! h万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。* F1 j: [  b4 g6 j  W

" d$ o: i: H- q+ C, g! E# p8 t多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 . `) E2 R. r" A1 S: }
下面就要来说说“量化”了~~% u% f7 Z8 R5 E6 a" V
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
' H$ D! V/ g4 B! v* w2 c+ z
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
5 P: s- A2 b/ o" q" X1 e
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
: Q" M2 }- r7 S4 s/ W& F( ]$ I8 [这个我有个模模糊糊想到的问题。
' X* X% f- d! G8 w5 G$ k" ]
. G8 w8 S" I/ }/ z) {1 h4 x6 K4 B- E: I比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

2 Q& r5 b  w6 ^0 H0 |
2 G/ @& a! k5 z; D6 Q" n8 I由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
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) V* g) q" x) K" k. `金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。( \* v, {( F$ {& ^) H
" ]1 k4 u" y! a8 w9 x* h
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。7 [" M7 _! J' @% Q# Z

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