爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
8 [1 v. `" x& f
, c# X7 o7 C) E& @; g, t( U经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。; f1 K& w3 [- I5 ?/ i
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。$ q% C) C  \  v9 l& |8 F
4 K# }- b2 U- H, Y1 ?7 n. a1 l
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
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一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
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这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
: m8 @" Y) K7 b  Z: ~3 K% _1 O; h) Q5 X+ R
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
3 |' Y: }7 ]( G. F, ?) g1 q4 X' G9 S$ \# L1 p5 X# J) N0 E
那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？# v; ^3 u+ j; q9 e: B9 o' O5 z
1 h- G7 g9 B2 N! s
问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
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  D1 _! _7 n' }  n# @+ f量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
# M0 E9 b; C- j( D, B9 J) C4 Y7 E0 t0 x
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
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; m" I6 j) S% Y7 F5 s" s) [; v经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
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. q. u* H) U; s8 {: v理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
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外行人瞎说的，别当真
9 z, n7 |2 O+ l7 K) F/ [9 L0 o/ p/ t2 g# ?* ^3 }' M. c- M5 t! l0 \
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 % n6 M% g+ o2 A0 U8 C3 ]: f5 O) C
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

  R$ w. @* t9 b) z( G收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。; `: c! d1 x7 p: }
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~+ R- s2 Y, J1 W7 s* D3 p" l( V
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？/ S* ]/ Q! P2 E5 r6 L! W
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
- s0 a! \1 ~7 r收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
1 H2 T' B; d  U, \效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~: a) }8 W: w( _5 I
你的意思是marginal ...

* q0 m6 g* E+ E% @+ _; ?! J  \" _就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。5 h- X9 M8 o) J, W- H6 k9 ?( y
3 N/ D+ F" Q8 C& m# ^5 y9 e* Y
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 + B( W5 L  }; j0 L
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱* `' z' @1 v; q- L/ J3 K

* d& ^' E; {# r$ K/ g0 v, F2 Z9 H- V' k经济学又有点像理论物理 ...
! G" H2 Q9 x/ E  q% R: P4 X" @" y
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。  T  y) t7 C- b* d
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 # D6 R- \: q, g% q8 ?! @. t- _
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。# Z- c8 T: m' [& G+ _4 z3 X
2 Y$ e6 Y9 U4 j& l
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
, r% V5 T! |# N% V2 @' x
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。. n$ l* V2 E7 L4 Q% Z6 F
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 / Y) z6 Z  D2 C; v
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

# Y# A. e1 [7 `3 ^
! K6 D" D1 p5 F9 w3 B所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
  V4 F5 C6 \; W& h* v就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
1 l5 Z3 o) W2 ~2 C; }- d1 o- R  e2 L$ v& |2 W
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

, f) }9 U+ |; d% C& L; j0 M你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
8 p7 P! n8 s0 S# Y' A' L4 L: Y  o- O/ R6 M2 j! e2 O
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
2 q+ E4 [# b/ d/ k8 g! ~4 @' H) j& {$ h, q8 W* H6 {
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
+ o/ ~, `& {3 ]9 z
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 ; y/ u+ b: P# A2 t7 h
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱/ N% ]6 J: p& n( T
0 L! E) |! a; Y. a. A
经济学又有点像理论物理 ...

' Z7 `6 @( b# i' |, p+ Z. J经济学还能挣钱的。: y) R! ~! g8 a' p7 K4 F

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+ _1 `. C8 A$ V2 I理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
: g; f7 A& b& V# I0 t$ W对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
! {9 b- J& t/ R  p5 J* W. i. k! G术语上来讲，叫calibration。
$ Q( A' B0 k# o: B/ G怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
, F) ^3 w5 \: z- O# X: K2 b. c. T+ ^2 f: i0 S4 P( |
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
: s/ F2 @$ l( ^0 e那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
6 e6 ]8 g+ f0 z9 L. J1 r' r——计量的方法。  W; t4 R% ?) c3 a0 _5 s& @) F6 T

, x$ E6 X2 x& w9 ~计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。! X4 v! \2 V" W: R: Z

0 ^6 b9 D) z" n下面我提几个问题，# j* H( R/ v4 c" M
比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
- u1 [# Q9 m1 k' G3 d: @- {: H再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
& U% X% \' Z+ y: K  B再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
8 L' I5 _" p/ F, q6 J这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。6 ]. n: Z( }; w+ G
术语上叫做regression。
1 m# h) Q0 d; f0 m+ R# y  j" f而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
! Y" I) L; ~" A. e6 D! w6 L! \+ z
9 x3 X' R- {6 R3 }1 @. N最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
. Z' y1 l8 J& h# o3 S每个观测到的数据之间是否是独立的。
  D7 d4 f$ ?6 Z比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。, ?3 H3 }* {3 a' B1 s) a5 r- I
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）
3 p# V5 K: l% C7 k这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。6 A$ _5 ]5 c- l! R2 f. W0 ^2 ^

$ v, t! J: m" P& f于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。( n0 F* U- Y. g+ x" f/ @/ ~+ A
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，7 h5 L! c2 ~3 u
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。7 D& b2 K2 W8 F

) O- A9 d3 D0 p1 Q! V经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
8 v. Q% b: @0 b/ f" P) V; o1 t* X+ `下面就要来说说“量化”了~~1 ]$ T( A# ]1 W
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
! X3 J$ {; Q) c7 U" j
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 2 t! B3 Q& l( M* `6 p7 g
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
* K+ k3 J  W/ }, u2 ]
这个我有个模模糊糊想到的问题。4 \8 K+ c/ a0 ~/ j* i
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比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。# X) L. ^* |: V' @. R3 p

& Z' T2 B4 b4 Q这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
$ ]5 s$ ~% w8 g5 f8 ^# b' \这个我有个模模糊糊想到的问题。
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% @% G6 b% ~; \, e+ c/ n5 Q+ ^比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

; x9 n0 V0 Z6 h5 j万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。7 r# i' e/ C7 V  z2 V

! N; C7 x8 Q" R# B+ A6 t: s多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
+ P1 p& w* B# x) }: P7 ~) R' ~# s下面就要来说说“量化”了~~# ]% H& b' B! ~8 ]$ n
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

. W# [; z9 g5 P$ L$ a2 w3 w) ?Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
; L4 R. h& M: V2 z# K+ T
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15   j. T7 T6 r7 |8 V3 l
这个我有个模模糊糊想到的问题。
; D9 K4 \& u: a% U( s4 I  k" u4 ^  @* t& q% D
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

- S; H1 [* n( s; d6 E( O. e7 ^
) g( A% P8 E# y/ o7 X由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
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金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。9 _1 e$ S' e# S) T

1 L0 K. F0 m0 O* q# z金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。/ P. ]1 |: v: ^7 R6 ]
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