爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
! d. w  d9 O1 s9 u! s1 J% U! G% h. u6 l* d' F% N
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。0 D8 M+ l  a7 i$ U' F
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。3 K& F6 W- d2 S

4 P+ f7 u1 v7 E3 k5 O8 Y7 r不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
! M: e/ ?" a; e
4 k. Z4 _3 N6 m: C0 a, C+ V一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
5 |9 A% u+ B( O+ A; [, o8 K0 L3 N9 H, E* B! w4 q0 P
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）+ p9 y/ l% a6 W+ G% f7 t1 ^( M
! r8 r3 x/ H% Z0 X) H7 m* V
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
8 V- g( G# w, g; x2 r
- R4 f( A/ @1 E! J: |8 G2 {% f那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？" l" ^" ], `1 Q5 t( \2 y6 U9 d

8 C; [" v2 S0 c  a7 K3 t; a' ]( K问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。
; P$ W- k6 {9 [( q& r- {' [
( v' Y& o, e3 [9 \6 y- [. L# z. R) y) B/ r# A; O1 @
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
" l* e; l) D5 b* w! m0 W5 X/ Z- B- d& c$ g7 O3 P4 z
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱, V) _5 g0 E9 D. N7 q+ d1 ]4 T

5 O( R; R% L. J2 ^8 I, o经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
$ i+ g3 T5 i+ D4 [
8 p" x2 h) z* R) z理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系6 D9 D/ P- w( T: y  E

5 i/ v& [! _# e* n- I1 n外行人瞎说的，别当真
/ B) G# J: y! X0 f9 E, p& a6 C; Q4 A# n: V1 i! E8 J& z) O$ {$ _* z
. K. R9 p( K3 \- w" w
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25
, Q) ~$ I+ j2 O% e" }9 B这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

2 ^  R% x, `, |* h& @" `收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
5 B- s) b! `8 f1 p, q: U效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
( O- n, g  _4 d' ]& c) r6 w8 `( U3 Y1 o( \你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？2 h. f, M0 h+ i9 P
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 : R, c& Q9 I( m* d* w2 \' q8 G
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。3 P- x0 |% J; Q% h" l; U3 k' o% P
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
) n3 ~: V# }  v3 o2 S+ C: D4 t3 Z9 m你的意思是marginal ...

2 Z9 K! a' u% y2 G就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。% K: Q, g6 Z* K2 l4 e

1 T2 v1 S8 @& v7 A: e* X这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 1 B* p; C7 Y6 o' h8 Z
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱, V+ s* C# K+ m+ F( v
3 o7 E4 ?& C" R
经济学又有点像理论物理 ...
* J6 t( ?5 D6 J, x! {# m
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
0 j5 ?& {/ c1 K/ \- m! G- S. A不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 $ K% @1 ]8 n+ x9 b. _- i; }1 Z5 w: t
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。; i2 s1 f. B3 x# M  U4 i0 s2 Z2 O

% d$ \! e7 j' L) A3 t# n6 D2 G这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

) l9 E: k2 P& n4 B几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。
5 n+ [# e) N' L  ?8 F9 s) W因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 9 T2 M7 Z+ o0 D9 I6 Y8 n
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

. E, R4 l) E( E# [& F, {5 W( y: N7 t& t8 k8 ^  u/ b. f, b( P
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
3 }. L; E1 p+ k' d5 f2 E* a+ R就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。' Q. I6 E" h  h! f# A' K$ w
9 V. [& ?' L/ B
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
* Q2 t8 U7 o$ D$ Q. O+ d0 O
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
. E$ x; t; f1 q  w/ [  b& f* p' s  E$ C; x  `
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
* s2 M, U7 X1 C2 ^3 D3 ~2 s/ t) x! }/ w1 L9 [' a; l- _
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。- T  W6 l" p8 e
* p( i4 \1 V6 Q/ j, P6 _
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
# ~. b% b* H6 U" ^8 J8 C& t经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱1 X% \! b  n, A4 o  x
' }" I) p6 L+ J& r. G
经济学又有点像理论物理 ...

0 w( g" i. P8 r) M  Z经济学还能挣钱的。
6 S- L" P1 v9 n6 x, U5 m4 h
; l6 t; @1 x0 |
& l3 J: a' r$ ?4 ^理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~! P, O. x' z0 ~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。6 g, u* u  s6 ^$ ]4 R
术语上来讲，叫calibration。
: F( w, H' [& c怎么找呢？基本上就是来match empirical data。4 b# L- ?( U* I) r; p  ^  A

. P* ?$ _+ S' W$ X上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。% G* q% [+ o# m7 _: k) o! k9 t
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。: a6 w! R  M/ P$ f
——计量的方法。: I% `& @& p4 I$ {& G" K
9 R. i) I4 ^" y- V( B7 u
计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。# g5 k0 w4 S# I2 b& t8 G  h

8 K6 `. k9 {# Z( ]/ r9 a$ O1 L下面我提几个问题，
) _) h4 ~+ K; [5 R* b$ u比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？8 Q( y; N/ {; Y5 F
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响$ ?: M8 a; y( t2 S% n
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
5 ?6 U: p1 d$ H8 x) A5 R! F这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。+ T: Q4 L6 d* E7 W
术语上叫做regression。* ?8 Y' i. v* ?( \
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
$ r# z! P5 }0 l! K( V3 I. W' R" g  A( }$ i1 U( V% N  k; Y( w
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
' Z! q* M# ^/ p. L每个观测到的数据之间是否是独立的。
- r" K4 v% d# s( R8 U比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。" @* H  k) {8 t6 G  ?7 H) v
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）$ O, a" v& V- L6 S! A# o; x, d  ]
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。2 @( K" t; |3 b$ l1 }
1 q# A8 o! ?( h* H9 Y; e3 b" j
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。
: X' N& Z- ?5 k* M  V& F0 [4 s; w这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
8 G( Z5 E) L, n  t( }- N至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
: ]2 [' `2 s5 i/ L  j. i- j- a& c& M  ^8 P+ K9 x
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 3 Z" Y$ v1 G4 N% \, O
下面就要来说说“量化”了~~4 n" a; x! K- E# C
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

* p5 W3 u5 z, l6 Y# o1 K所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 " u; \" I( w. i
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。

3 {% k) f; ]4 ~! {1 A/ A* c( n8 ]这个我有个模模糊糊想到的问题。0 r" \. r/ G/ l
# S7 l+ g  A: L( ]( H$ d- t' o
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
, X. v1 c: V3 @2 R/ x" Q8 g
; W( q, E3 u$ G4 ~: n+ N这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 9 F! F6 S- _: Y) {! x0 W4 H3 Q* G
这个我有个模模糊糊想到的问题。
* K2 F3 ?- M$ j% T1 s5 z1 z
9 P6 W" W% x% p  V/ W) f比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
4 y1 J2 ^. F; r
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。- U" c' u6 \3 K* ?% k  w* k. G
* ^, m5 R# q& x# c" w+ t
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
6 t" @" d/ r5 l7 b. H下面就要来说说“量化”了~~. M! h( [( g9 q
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

7 D) B7 G- b6 J2 x7 g$ o: mCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
1 k4 T- g9 m& {
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
1 G( q& j9 T) f  }这个我有个模模糊糊想到的问题。2 ?. U/ C. d( s  i" X

1 t# g' m, x+ c: A比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
- J* t& n& J, W3 E" _7 W3 c! L

  M, L6 f4 q4 Z) T" P0 P4 w由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。6 @. o' W1 F& R& V; V. l3 R! l
  V" q4 I* O1 o* V: x9 l: c0 \4 T
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
) z$ o$ g. R, {) r+ y# v3 U" Z  V! b1 s
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
* U1 I% I( b- H# q; T6 G+ M
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