爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 $ V+ |9 J) `0 n5 U' t$ b5 e
0 H0 O: \% z  H/ T8 Y" d7 J# y
经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。2 c! @" e$ E2 X2 E) |, N, i9 ]
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
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7 C( q; ^* g& n- v不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。
' d' j; q. j% k
8 F: ]9 ?, P: e: L: V+ D0 O一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。: g$ u+ c  l( k7 L& y

' s7 {8 Q/ a, Y' w; P& \' ^这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
, `% Z9 q* q* B) ]0 {% I8 @; X9 l4 h9 K+ ~. b
所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
" K& l; H! J* |! t% P
& u8 x7 O' E' Q% o6 U那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
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问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。* b$ r1 w  \. I- K) {1 M0 g

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量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
: X7 [' \, U/ Z+ i$ X% b( C0 W* f, x9 U' g5 M9 H8 S+ K
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
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经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
# l* d" d) ^3 w. P3 P" C, Z, P( d$ ?0 z3 @2 j8 B3 ^3 R" @' \
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
+ m7 l& o  l! F. W7 ]! l- f* k3 \4 U6 n2 h6 f$ ?7 n' z
外行人瞎说的，别当真) v! ]# j% o" V( @

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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 $ r0 I- ?& O2 s+ s, I( r
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

! I/ H7 h* C9 I; r收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
1 B/ r3 G  t0 `9 Z" \效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~( _, a% `1 s# u1 r# Y$ k
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？3 l- p/ E$ a; D. X0 R
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
! b0 g1 H$ a) a- H收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
# f! \, h' J9 {# h( r$ H效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~: Q4 K6 {. a' @- }
你的意思是marginal ...
) u6 q# [* s( A" M4 W9 C
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。+ p% Q+ o3 u7 X! V+ i1 {
) E, p9 w9 _7 z, t' v& D
这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
+ t/ X6 ^# r7 F8 J/ k( u经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
+ a3 S- H5 F& E" X! }# c  I8 W  f1 P' i& ^& D# P
经济学又有点像理论物理 ...

$ i9 g7 j4 i: V! b: B嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。- _4 ^8 n; T) t6 J3 S5 m
不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46 ; o5 ~- S; q  c$ N; a$ ~4 W& w
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
, _5 l# {& F' m( X& \8 p3 X* |$ N; z* O" Y0 `% G) J5 }' S- [
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
# M0 f) _8 `$ {  \% S) D0 B! b
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。4 f. _# n8 I- W- g* M0 b; C
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 0 |( n$ A7 |- C8 e) J& b
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
* \9 o/ g4 h6 f
* B. n) P7 U$ P. ]4 C  t8 m' i
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
' A  A. G  y# ?/ R) y* ^$ N% l就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
1 q1 \0 Y7 T7 ^3 Q& c* J9 @4 h0 B( q/ F4 s; n4 G) D6 h3 x" q
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

; S7 T$ E# g; X* D% S% V$ T- G你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。+ C1 K0 p# d( N: m. b
9 r% n; t8 `0 e4 o$ k5 W
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory- c9 w5 j" l5 ]% I/ s7 e: F! T
, P; n/ _5 z2 F" S8 y
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
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作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
6 T# V- ?% ~7 Y$ M% @- _, v/ I4 ?' h经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱5 b5 \, ]' j- U9 `/ `0 n

8 ]6 L& n0 x! V; C4 P9 g经济学又有点像理论物理 ...

1 a8 w/ |1 Q$ |经济学还能挣钱的。
/ r* a5 {! `; k% K- o9 G6 F. W1 D

. _2 o: h9 [! _理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
. k3 p$ c* a) B1 W0 N5 y2 Z对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。1 |% B, d- e% _) N6 ~
术语上来讲，叫calibration。
! b; X8 ]! A% j怎么找呢？基本上就是来match empirical data。& k8 b8 K2 H1 V' [' _/ y# R
- V: o  T2 h4 v$ K
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
" k0 j" A/ ^  P7 g# l$ ?* {! ?那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。3 z' W! Y" i! I. D1 {7 p- N
——计量的方法。
9 I  q" e3 r  O: @9 r1 ~) k1 g
( t+ u$ Y1 o1 h; n0 V  _计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
  }7 K; {5 w$ r
( @7 m7 V% D1 S, Q4 N& O下面我提几个问题，
3 A; o- L$ @3 n# F0 C* `) Z比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
6 a: P1 l+ e& [& X再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
6 a" ]' m' u: [% _/ u7 ]再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
0 Y. E3 x/ _* G( Q0 k$ D: }这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。( C' U3 Z' Q/ s" n# {5 \
术语上叫做regression。& B- q" E2 h' K) E
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。0 I1 O0 Q9 b- F, Y5 ]. E  [: k
1 r& W! ^' v' K
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
6 r4 Y% A" L8 P* P8 n6 C9 H每个观测到的数据之间是否是独立的。
- V- g( V8 d% ^; n, f5 \2 ]6 Z4 z  x比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。# S  y, k1 l. E" F. l
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）# F# E! r, ?0 f6 W! o5 S+ ^
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
9 u5 G  @; X/ Z2 T" l
. e. O$ n" ~$ z  h0 p+ R于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。, R/ b$ k; E& p; [- H8 w7 p
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
1 u, d2 A9 X) b3 J- Z至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。
! H& b. R* N. M! Z) @* k0 z6 ]( [2 V/ S( ?) y: t
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 2 V  V' G: q* M+ ?4 K' p
下面就要来说说“量化”了~~
  d9 _! V$ H4 U1 H4 ~  K2 z对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
$ q- X- t! y( v7 a, H% {& u
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
) K( b2 C: ^: N效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
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这个我有个模模糊糊想到的问题。2 b& n& o. A2 f9 D8 L9 E

) y" F6 x0 \2 c" f& G比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。: `. S* z. L1 @4 V# C/ l
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这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 2 ]5 H, |7 @9 z6 A3 ?9 P2 x1 O
这个我有个模模糊糊想到的问题。" [; p, {* o3 `! L1 a; r9 i9 Z
, A+ ^* S$ V7 q7 I' j' ^+ S$ l
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
, q% B. j! j: i% R' ]
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。$ I- L$ h1 k* B' i7 B
; K; [# q" x$ ^! M0 x0 M$ b# F
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
, F9 O. {5 m- _0 V下面就要来说说“量化”了~~8 |% b' T8 {$ V0 j  y4 A
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

8 G- Y; m. M( J6 uCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 8 _1 y  i' C$ E% G9 \
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 % r6 |# q% P1 K' S8 }3 Z2 t1 @
这个我有个模模糊糊想到的问题。
; A  N% u8 Y6 Y& @! t  l* D$ h9 H
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

$ X: w* q; d, T+ d5 l3 x, j( g* b: Y, e( Y" V
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
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/ i. W3 B' t1 d( Q" Z, d% O金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。! a5 \, _* G' I

  z! A- b5 K9 y+ h; f+ ^2 k金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。* D  p( K3 o9 k3 X1 Q9 B4 R- H

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