爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 / I" T1 b" u  R) U

+ \# s- Q# D+ b+ c+ [* W6 J经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。: G4 L. _3 e( I# B
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。7 S8 N, B+ E% A- j! V) T
( z( J5 J: a3 k) s5 t
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。/ D% A, J0 w  D4 n5 h& Z: [. B# j" s

! @6 w) O' x, ~/ T; H# o; b% Y) }一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
; B* T  q& S4 [: T& N
* m' _4 O, n: `这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）
+ e9 T/ O( w7 x) \
9 H$ [# p+ l) G7 o' \: R所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
4 q$ K, Q* d- s# o  d5 L
0 W1 g2 \2 l) c: d那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
$ @! C$ v* {8 P
% _9 Q4 K; r# N2 Q2 i+ m7 J问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。9 Q+ |$ v( y( k: L* q( H9 f
/ K+ d) A( E% M1 c- ~7 q5 ^

- U$ H- y9 i  ]7 L. K9 H量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
# ~) W1 D2 c1 p5 g5 ?/ @# O) a. `, a3 q: `. C" ~
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱4 ]3 \/ \/ u5 Z6 ?5 Q! J

& n" Q6 C4 P+ s& c  `经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
) J% i% ]( C# B& u& Z
9 Z" W% d. ^+ R7 V理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系2 q, T, `/ O+ Z  m/ X$ N" `
# R( \+ O* T# }3 G6 s
外行人瞎说的，别当真# k! e1 f9 S4 z. s' N( x

7 V4 G7 a! S; J* v  z5 n: j; c( v- ]% L7 q4 [" r# Q1 g
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 0 F5 |( r6 ?5 Q( k& s
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

  n0 ~* w" T! t) V, M; D) R$ [收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。3 b$ J/ T) |$ _6 u% k% B5 `4 W
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~$ Z/ i: {% p) ]1 g# h9 T# P5 r
你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？6 B; T$ k5 t/ l4 d2 ~2 Z
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 ( F' ^; P' H* Z0 K
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。4 Q, I4 v7 z# w- n) S& D
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
0 d) V; k: a6 @! B; U( }8 X你的意思是marginal ...
8 ]" |$ @- V( d
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。& f" t2 p% S- C0 A, S: ~8 R8 R0 F

1 n+ f" Q4 o; X. K; h1 u这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
+ G3 c# f: k9 p. F  s1 O经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱  k3 i2 \3 l& u+ o% h

7 a& l* S" {! Q8 G  G" i- `经济学又有点像理论物理 ...

: |7 Q( y7 j- j' U* U" R) L6 R嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
. f4 }% z( k6 m4 F) ?不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
2 _' w! y' a- C/ l: N5 {; D就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。# T. M( l2 X- i

2 F2 ~3 |- G* M8 q7 R2 L+ z% ^: Z这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

8 i' S" K; F: Z3 N几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。$ n' G" o( v1 ]& B" q1 V: [
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 6 O, ^2 Q) }. H5 @: K2 S+ \: s7 k
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

3 [3 B- v; h* V: T3 ?4 l
. H% D2 |9 g/ _, w& ^* z所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46
: E/ _+ [+ v# C7 t  @" Q就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
% z. R6 i% }/ `, ~; V5 A( t+ b
* D+ ]0 w% ^4 `1 n/ e2 ^& j% y& k这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

4 g2 y( E. S# E' g你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。
4 q: v( b3 o9 T2 L, w: z- G5 g( f8 L. V# h& U: d# s
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory8 X' `# ?1 h; v2 S# b

( s. m( m2 L$ S& ^经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。* u# b$ G* t0 i4 f5 D

. r% N. Q3 s' g
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 " d0 Y6 s$ M! T3 @) k: J. m) J
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
- C' Z; p8 \; P' O$ V+ k1 P) O# v" z, }5 @
经济学又有点像理论物理 ...

5 I1 u, b: B: H$ c, S; f2 C经济学还能挣钱的。+ G4 T+ a! ?( g& q

0 ~" v% I& G  S
+ t& W$ E$ A; ]. e5 W理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~
$ g: j/ A6 ^! \$ r1 v* v2 Y9 T对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
9 Z8 V) Z& @8 u) X9 t1 v- U术语上来讲，叫calibration。$ |6 }& s) N8 Z+ ~
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。
- b, d$ A% ~: t
  H# t: Z) g, {上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
! ~: N" w+ v" f那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。0 A. l6 o5 |3 k$ Y: t6 r
——计量的方法。
# ^( J3 Y% E; V
0 V  A% |, W( z/ E* j计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。
3 _- ?4 V2 Z/ ]% L; i6 }2 A  a) F5 t: Z  P- N$ ]; N+ ~4 }- ]
下面我提几个问题，
1 f: T. M7 @, j0 V+ D比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？% {7 @  Q9 R/ o% }# a! |
再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响
  @5 P1 T( E4 k- v再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？# e: J8 e1 k- c
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。- u/ `, ~' `1 J* Q
术语上叫做regression。
7 Y6 G" ?( O% {# f8 f/ _1 Y而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
8 p/ W4 ]9 e& l2 \* o: i- S& l& S% z! Q+ K3 E1 E
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
8 }7 S2 @/ \& c* g% l每个观测到的数据之间是否是独立的。$ u( M% V$ G; Q( W
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
! O! z! S4 s- e# Z/ }这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）/ Y2 U" W1 z1 X; q) h- @( o
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
  `* c. X# q& Q
4 i9 J- ~/ l7 w于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。; H1 Y; [9 b  p$ s% ]# f
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，
/ C- F0 C7 p1 @至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。$ v% s/ O# Y3 Y/ c

0 T. O: A- V( K) c5 B& U" |/ r经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
- U. s' R5 X6 j, w# q+ v下面就要来说说“量化”了~~4 p2 N# s( n# P' h
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
! J- g; X0 T3 F! p( ]0 u
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
% E$ h# t% U4 f! J1 o5 K  E* \, e效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
5 @* I+ N. G6 ~) o
这个我有个模模糊糊想到的问题。7 U. g% T- k& }$ m1 f, g
- j5 P9 i* a( Q, l
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。* U1 j$ `7 G3 o: k% _# v" x0 k7 w2 E
- j; x7 T1 o% Z4 N0 l: {2 G
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 & e$ k6 ^6 B! t: o- v
这个我有个模模糊糊想到的问题。
# I4 e+ Q0 i3 K# e; M
2 K" E! e$ h9 m比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
; D" `+ d5 y0 D( J- s
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
/ N) @' Z, K5 `
/ U- I- V, o6 T( z7 ?1 M多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 ) X  z! Q" d7 U0 Z* y4 s
下面就要来说说“量化”了~~
, ~" G) A, K, q# d. H! |对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
" v5 B) O5 X, C
Cabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
2 S0 z& f7 x" |7 i1 u3 [
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 " b7 t" V% R% ?4 q' g
这个我有个模模糊糊想到的问题。" f" Z, I5 i: B1 z: y1 C
1 ^& U$ u2 @( x9 G% {$ D) C7 b4 c
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

% K& }" G0 Z& s0 y5 i7 P) V- G8 T, S$ g4 e- U  y
由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。  z% V0 ^/ U" c% e) t) d

; K2 p5 ?' Y/ J" ]4 v金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。% ]/ V, o0 U! }, D+ x4 L

6 h9 s5 s6 r4 g) i9 }金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。2 N8 U2 a0 J3 _$ n- ~) v8 D+ r

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