爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑 & r5 J* `# d$ _0 q

' R1 m" k* c$ `, @0 J, R! f经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。) |5 E$ E* C0 l7 X- y
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
2 J1 D1 M/ ?# K) y; J' _# F6 q2 X+ _2 z, Z) q% K* w! \" f7 h
不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。; Y& x% s7 l8 n7 D! l$ ~3 j. u
# g$ r: ^/ _0 z5 q6 J1 n
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。
" |0 g, w" l2 b! B4 c5 Z7 i: r/ V9 H& \( R7 x
这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）. z  t" H# S, f' t* u/ Q

9 E3 [; |2 n2 |" H所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。  _' Z; P  B/ ?( m

+ L5 J& d/ R. n8 l; R那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？' f+ A. t5 L9 S; h# m

4 h) D( x# ~2 D, A8 L问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。( {3 n$ m% s. I- u6 G+ j

$ m' ^& j1 u& i' r5 Y5 G8 {" P1 F% ]1 w
量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑 2 r9 |- W. q, {. W1 x$ Y; c

3 f) V) p+ A2 e1 T0 l& n* L经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱( {1 C4 t' }. u& k6 B
& |  [8 v- J4 _  z
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
. \3 C4 z& L; H. j% Q3 D& f! `( T: {7 u" b0 v
理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
% l3 \' |8 G/ ?
2 F6 z, z8 x7 @% h# {外行人瞎说的，别当真/ D) h; u$ b  w: x1 Q& K* v

# J: f$ E* x8 W2 i. p5 C: A2 Q4 u1 d1 o) h- [4 E. ]
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 ) B& u0 H1 a% q7 S: c
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

$ a$ Q7 B) f# I$ t- ]3 E收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
+ b" H: x9 W$ m8 p: ~2 E效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
2 E, a. m3 |9 R& @9 Q+ n  s2 p你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？+ e' k1 r; K/ c, V6 h
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44
6 ?" A. o) a7 e0 k8 b6 [收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。3 |' s5 I6 D6 u$ ^' s: e9 Z
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~, s1 v- L: a8 G, C3 a# g
你的意思是marginal ...
. x0 [% _! t7 E' L6 \; z" k
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。) B' z% z! Y5 z) t

" C6 N1 d7 k8 ^5 F5 w& F, ]这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09
% p  w. K0 C1 e经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱7 w- x( ^; ?& H# Q

+ Y, ^: t1 u5 s3 P! T经济学又有点像理论物理 ...

) C% D4 t% P  K; L% u  O嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
& A+ y% L+ M% B1 C; ^4 W+ }8 ~. f不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
1 [: A; ^2 v, u% K就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。% B( ^+ G8 b3 R' a% J
* V7 p8 J6 R: X3 i4 r! Q
这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

5 J3 Q( Y) e* ]* m# {几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。% Y* [, e: X* P8 j
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 9 Q& H, X2 N- z0 k9 m( i
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...
( O* l, L; Z& P2 H7 u
# y+ P2 t( N& \0 D& w
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 0 b$ x5 P3 y0 y
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
6 X1 O2 ]& d& @, s: D# I
7 Z( f1 M1 G/ b3 q5 [这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...
8 n1 i7 g4 c& M
你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。$ A  z) l! w. R" a' n0 n" ^
1 L/ O/ \$ z7 H: s8 C
http://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory3 |1 o) Z/ Z1 t6 n& b" o6 m5 K
5 H& l( K* L. x7 \- ]8 Y" _
经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。
( t; M7 B$ m( w7 q& O6 v
$ I! U, T2 b0 k6 r$ p1 R
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09 , d- x7 U% M9 p  e
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱5 b6 M9 E1 A* {- n; {  P

5 f8 i4 X9 {, e0 F2 G经济学又有点像理论物理 ...

0 x$ |, B$ X; |3 H经济学还能挣钱的。
; u$ R+ `2 t, |9 q& U/ _( H) R6 H* N

! ~/ V4 s# {3 ~) E! M) T. p; s) F1 A理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~& Q6 |( [" B: Q& t8 Z7 m& ]+ |; ~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。" a" l7 ?  M6 Y5 ~
术语上来讲，叫calibration。; {( I- V" X7 j2 ^, u/ ?1 x
怎么找呢？基本上就是来match empirical data。0 k- I* r. v3 C- f
8 }+ q6 Y6 u  `
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。
. h: E2 A1 X3 F* r% I/ x, v那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。
- Y9 I& C$ |0 A  D3 \——计量的方法。, n5 _2 R  _* m$ I

  Y  d0 D/ A# I+ L: Y, f4 _1 h计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。+ d# Y! z7 {; r/ |" s: R+ e
: D* I7 }: p, {; x
下面我提几个问题，
+ }  E( Q9 f% W) f( v3 X: B比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
' L% ^  ]- K8 i5 v4 x8 d再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响# m" f6 s. W/ q) k- {
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？" a- ]- t) D7 M8 n
这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。
* {8 h) Q0 `% l' Z2 ?% b# w术语上叫做regression。* D) g/ S! X, j# o* M5 l
而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。7 o6 x  u/ M" R/ @5 L* v1 E
0 V% R; a+ G( A: u
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
9 _3 W- W7 a  Y! D" f5 {* @每个观测到的数据之间是否是独立的。! z" y  B7 ], D) C4 ^
比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。
4 W, q7 X3 o4 g0 K/ Z, X! Z这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）8 e9 h* K& U  {% \/ I) P4 V
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
- u9 d' ?! V* J6 X0 f
; j# j0 j& u/ o* B1 x" f; X* k于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。, W, C% c0 [2 M6 n9 h
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，6 C! F+ ?3 J3 V0 t' O& N9 \. e* y$ X0 Y
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。, g" z/ U7 T% L% a+ f& j+ \
* H# G$ `4 ?# ?8 e% _( `
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
; i) D$ K8 @( H1 i: `) D& ]下面就要来说说“量化”了~~, c" A: C% I) X$ v2 Y
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...
8 S! Q  N6 V6 [, u: @! ?
所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06 ! ]* q9 r9 f( z- D8 e6 t$ n7 S
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
1 F9 `  }2 W- W+ c3 G0 _+ C
这个我有个模模糊糊想到的问题。
$ |( s5 o+ f6 L  Q6 v/ A- ?$ K' ~1 U
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。  E# O1 U, i2 q2 h; X
/ q% j3 f: z, j/ R$ E
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15 . G) |/ v( N) V, C
这个我有个模模糊糊想到的问题。
( ]8 P4 i9 y. {) \- _( S: X- |3 e* a
比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

* ~$ E  ~& K  D万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。: x9 t/ G8 h* M1 W; V; i

# A1 ^' M2 k9 F9 l) ]& k多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 / P- P  t" C2 w; E. d; t
下面就要来说说“量化”了~~) o/ G8 [6 Y& o+ J4 ~  x
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

/ P6 c- g/ f6 a* jCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑
! L1 L% o; W# T1 }/ ], f! _: x
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
. I& l* r# g( `! \- q6 W) n$ d这个我有个模模糊糊想到的问题。
1 K: w7 z' \: l1 ]& L- S7 S
8 M- {" T6 |$ E. W6 ^, |1 S8 l比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

+ L% Q2 o+ [7 t+ j: _( q( [6 k/ N  E7 ]+ h
! r& k+ b( N' w  x由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
# \  q0 b( a, q. @- S) @& ~9 ^5 ~6 x9 }. d. P8 V
金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。
, u# C6 i- m' [2 e  y% y& z- \9 v) n& H4 f7 E6 x# F
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
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