爱吱声

标题: 数学在经济学中的意义（已更新） [打印本页]
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 08:04
标题: 数学在经济学中的意义（已更新）
本帖最后由 贾大松鼠 于 2014-1-11 21:33 编辑
/ G7 h: P( Z- \1 P3 s7 d' T$ R  g) \
3 h+ J6 ?  l' \, X0 E9 N经济学与数学的关系，是自打我高中开始思考大学专业的时候开始就困惑的一个问题。仿佛很多人都说学经济，需要数学好。而数学在经济学中的意义，是我直到念了博士，才一点点理解。' [& |1 V) m9 O4 Z6 ~
大松鼠感觉，经济学差不多算是社会科学中最广为人念叨的学科了。念叨着可以用来在股市上赔钱，还可以用作在微博上大骂国家政策。
* M/ b. h6 S8 G7 A. q( Z: L0 }
9 b2 ^0 g. w7 R4 v不过，经济学本身的研究，与这些人的区别，据大松鼠体会，大抵有两个不同。& [3 A: n4 Q. ~7 _1 u7 s2 L
' ?9 d( i/ F  B) |* j; A" _( s& d
一是，在理论问题上更加抽象，二是，在实证问题上更加量化。虽然仿佛“抽象”和“量化”二词，都和数学有着紧密的联系，但是也不尽其然。5 X6 m7 {/ _0 E. M

2 \) z4 @0 B  e6 h9 l这个帖子先说抽象。下个帖子说量化。（量化在第13楼）& O! D2 \. x+ O7 r2 _

+ M" z- X) b. Y1 x/ X所谓抽象，是指把很多具体的例子，总结成一个例子。而这“一个”例子，必须包含了众多具体例子中的最重要的特征。而这“一个”例子，必须是可以解的。否则，问题放在那里，也没什么意义。这个从众多到“一个”的总结过程，实际上是一个由繁至简的过程。这个过程，不一定需要高深的数学。举个经典的例子，乔治安科洛夫1970年的著作：《The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism》，这篇开启整个不对称信息研究，也使其与斯蒂格利茨一起获得2001诺奖的文章，就没用任何超出高一上学期数学的知识，最难的数学知识，是分段函数。
' d) H8 M0 ~4 p. x; S1 s
& g2 e! R  S7 Z那么，高端的数学用在了哪里了？在理论问题的研究上，高端的数学主要运用在研究人与人之间物物交换最基本的假设上。经济学最最基本的假设，是假设一个人choice，是基于utility function的。而这个choice和这个utility function之间的关系，就非用数学而说不清了。首先，人的选择，可以用通过分析函数的最值来分析么，这个函数是连续可导的么，人的选择的空间，是稠密的么？这个函数，是凹函数还是凸函数？
" y6 U7 m0 M. n8 Q  h; O0 ~3 _
1 x) A  ^- l" w5 O问题接踵而至。大松鼠在这里，当然不是为了要讲解这些数学问题，只是认为，其实越是简单的问题，越需要深入到最根本假设上的思考，越需要严谨，越困难。) w& o- |7 c, k1 D6 ~: T9 s% ]! i

. B5 Q. _  x  C3 x+ b+ D! ^  L
: R& Q& c% e7 k! T4 f量化在第13楼~~
作者: 人在江湖    时间: 2014-1-9 08:16
牛啊。高中就开始思考了
作者: gordon    时间: 2014-1-9 09:09
本帖最后由 gordon 于 2014-1-9 09:51 编辑
& i$ H" E5 m% Y6 K( E9 _: y; i: u. I, K5 S: {( D4 D- T1 @
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱0 _9 S# h: w  m7 F' z4 V/ R
% |$ i( \9 f. j
经济学又有点像理论物理，总是自己在创造理论，呵呵
; W! l& o7 m6 B: W: c
! k% N" |( @6 H' s: w7 t理论有点像货币，可以流通和实物进行交换，但理论又不是实物，它是一种指代关系
3 D2 Y( W2 r' g3 v: B8 G
% I$ f8 E7 ?+ |; G0 l- D) F4 J外行人瞎说的，别当真
  u4 t8 t: C# H1 ~/ I- C- \8 H( C1 S: A& e3 G

, s( y4 W6 G4 ]
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:25
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:44
假如十八 发表于 2014-1-8 21:25 ! n$ [1 S! [* ?7 d2 `
这个说utility function处处都有不可导，因为收益和损失效应不同，数学上怎么表示的？ ...

* u% \# z0 }4 `" d% u( ^收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。
1 l; U( Z5 k& W. X效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~
; l: k2 g8 A, a你的意思是marginal utility不同是么？大概是一个函数从左边求导不等于右边求导？# Q$ x) r/ v" g* t# M
只要是不连续的函数，都是不可导的~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 10:46
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 10:44 3 g0 N7 d" M9 J
收益和损失效应不同？木有听过这样说的。。( n, Z# ]' _% Z% f$ J% }5 C
效用函数就是效用。。。收益效用啥意思~~" S4 J. C/ i7 V* W/ U
你的意思是marginal ...
  A& r! |8 H! B, `  X# h
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。% }% Q; J! |. g

( n: @4 P- n0 v  T7 |这种处处不可导的utility function真的用的多么？
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 10:47
gordon 发表于 2014-1-8 20:09 3 p8 l5 _" F1 _( p) U& K. D
经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
% a, M& k! g* f( X+ q7 A, b
" B2 Y* ?0 k" d1 S  C, t. Z. g经济学又有点像理论物理 ...
. d: a2 N! X2 ?
嘎嘎~~我觉得挺对的呀~~确实有点像货币，是人创造出来的~~也不是实物。我觉得经济学和数学在研究方法上确实挺像的，都是人创造出来一个概念，然后去研究它。不像物理化学生物，研究的都以自然界的物体为基础的。
  d4 _0 {0 Y" Z: ?, V2 E" i不过经济需要数学，数学不需要经济~~嘿嘿~~
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-9 11:13
假如十八 发表于 2014-1-8 21:46
+ g$ ~3 ^( S, b5 e就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
! V# r/ L; D. O& q. {( S
0 j( K+ B# c, C  K这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

6 ?# Q% o4 b6 Q  e* L8 {* F* ]) C几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给rule out。讲完了，就把这些特例扔掉了。! Y( d! q2 N7 [9 L6 `
因为应用这些理论，来解决实际问题的时候，绝不会用到这样特殊的函数。如果不可导，那么求不了边际效用，那么什么都解不下去了~~
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 11:14
贾大松鼠 发表于 2014-1-9 11:13 6 D4 b; V* o1 A# w9 f  R
几乎没有呗~~这种微观经济学的理论，把它讲出来的时候，要非常的严谨，比如就是把这种处处不可导的函数给 ...

( Y9 w+ j- E/ x. B- w4 _+ R% a$ S; S( O: A% d
所以行为经济学离实用还有挺长的路要走，可以这样说吗？
作者: Dracula    时间: 2014-1-9 12:57
假如十八 发表于 2014-1-9 10:46 ; I. S% ^' L9 Y. G6 r; b
就是marginal utility不同。sorry我的讲法不规范。
# o0 ]# f2 C$ p* h1 r' A
* S2 V; f  a/ p: |: Q7 v' q: z9 ]这种处处不可导的utility function真的用的多么？ ...

: z+ j& J; N" a7 j4 k$ g; E) x你说的是loss aversion，比如投资，损失带来的痛苦大于同样获利带来的快乐。如果涉及的数额很小，在Von Neumann Morgenstern expected utility theory里，人是风险中性，对有些实验和事实难以解释。行为经济学为解释这些提出Prospect Theory模型，我对这个领域了解的不是很多，不多写了，这是Wikipedia上的简单介绍。3 b/ I- l. P6 x

% q: G( J% ^6 A: {* e4 g5 x) |+ fhttp://en.wikipedia.org/wiki/Prospect_theory
5 s' }" |2 U6 J# _1 d- t+ t) u+ ~
8 o3 G  N( Z3 _/ s2 \) p0 r* u经济学里的模型永远只能是对现实世界的一种简化和近似，里面肯定有很多假设同现实相违背，需要我们这些模型的使用者来决定这些违背是否重要。我遇到的大多数问题，效用函数可不可导并不是问题的核心。如果不可导，推不出漂亮的数学定理，但是对结果并没有太大的影响，比如解出的函数不是单调增加，而是在绝大多数点上增加，对实际应用没有太大影响。! r# Z' M0 \& R5 P( K. r# a
2 u5 c  m" g- Z  Y  k' O; g2 Z
作者: 假如十八    时间: 2014-1-9 14:20
不好意思打岔了。。。松鼠继续，花等下文
作者: 天马行空    时间: 2014-1-11 16:24
gordon 发表于 2014-1-9 09:09
- o$ p2 s" d# l4 E5 ^经济学和数学差不多都是在论证最简单的道理。但是不挣钱，数学就没有干工程的挣钱
* Y( w0 Z% o  i
8 S3 [- Y2 m8 L8 |经济学又有点像理论物理 ...
* t* o/ A. t. n. {
经济学还能挣钱的。
7 [2 E4 Q: \# M9 U& z8 M& G2 n3 D4 s; Z$ J. N3 R* }

1 [4 A0 T- Y" y2 \) ^4 N, Q理论物理真中枪，只能当作修身养性
作者: 贾大松鼠    时间: 2014-1-12 10:32
下面就要来说说“量化”了~~% P" c* y" F& T9 N6 C
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模型而来。之前说过了，大体上，理论模型就是一个函数在给定区间内求最值的问题。给函数以特定的参数之后，量化结果就由函数最大化而的出来了。这里最关键的，就是找到这个特定的参数。
  O' E+ F: M6 I* z( B术语上来讲，叫calibration。
8 B9 N: b' D6 @6 d1 e/ l2 t怎么找呢？基本上就是来match empirical data。, G# F  M1 e4 N" C8 z( k! l
, z4 l2 Q  r5 q, ^& C
上面这种方法，大松鼠叫做从内部入手解决量化问题。% p3 e  f" D' }$ g* ^( V
那么还有一种方法，是从外部入手解决量化问题。, B5 R  a  O" n
——计量的方法。
$ e/ k+ _: E( Y2 q0 m
, P) y) \( g  ?$ a计量，可以用来检验一个理论模型是否符合实际，也可以直接作为研究问题的方法。& L) `4 ~9 ?3 E$ C& b" Q% p# z) P

3 S4 s0 h; u  y- B- k; L( Z5 w1 F下面我提几个问题，
1 b$ w# ?- V, b( s8 R比如，大量的移民对于美国本地工人的工资有多大影响？
1 Q% J& ]/ I3 ]再比如，一个人的身高对他的工资有没有什么正面还是负面的影响  y) _- B7 p/ \# `1 P; H  q
再再比如，如果多看电视的话，会不会容易引起儿童患自闭症？
) p* i/ t( d, T! |' c这些问题，不太容易从建模的角度去分析，因为不好把它写作一个agent来求utility最大化的问题。那么怎么办呢？我们从外部，不用参数模型，而直接用数据本身，得出答案。' i9 ]& M8 G1 T, F( e
术语上叫做regression。
, w/ u, p( C+ q0 ~. x# w而这里，就会遇到一定难度的数学问题了。基本上，是统计学的问题。
, x5 B: E) r0 A: h# i& H) J! p7 s" |5 |4 J9 T+ b' i& D
最先遇到的问题，是统计学上的大数定理，是否可以应用。
0 x; H  B, D' v5 B) H5 S, X每个观测到的数据之间是否是独立的。
/ u* v. ]; q' l比如时间序列函数，每个数据之间就不是独立的。因为今年的GDP高了，明年的GDP很可能也是高的。# _: T  ]5 h! ~  _
这个数据本身，是连续的数值么？还是1或0呢？还是0或连续正数呢？（比如工资）& p" T7 q# r, U; o
这一系列的问题，都跟统计学有极强的联系。
$ i7 J5 x; }/ X$ t( F4 o' W1 |$ {* b1 j( x
于是统计学分出来，与经济学强烈的causality的逻辑联系在一起，出来了计量经济学。9 ^& i4 U; M  l/ N( e7 r
这个计量经济学，又深入到其他社会学学科领域，/ T( m; }( f3 X
至少我知道的，政治学和社会学，前沿的研究，都与计量经济学有关。0 b9 w$ M: Y& p2 m( X  j( ^" ^4 L
) j7 w) Z+ u5 p1 d
经济学用它独特的量化分析，统领着整个社会科学研究。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:06
效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
作者: 万里风中虎    时间: 2014-1-12 17:38
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32 " U7 Y  U( y& Z2 V% [, K
下面就要来说说“量化”了~~9 |- s. J- p( u8 w, ~
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

$ A8 {7 l, Q6 J+ k所以有人说经济学是帝国主义。实际上是经济学中的工具比较好用，可以为其他学科服务。同样，其他学科中的佼佼者也可以轻松地进入到经济学领域，只要他们的技术足够强。
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 18:15
万里风中虎 发表于 2014-1-12 17:06
( Z* C* Z' R! w效用方程的描述是最困难的，而且从个人效用再到集体效用也是难点。
; e# g+ E2 L' i- D! m9 M4 T
这个我有个模模糊糊想到的问题。
) p$ Y+ {& U' D. j
) m( x- I. U7 M5 q( ~比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏好，是不是在某种程度上就是风险中性概率？这个也是从个人的估计到市场的估计。
' C& v! k4 s% ]0 R& e$ n1 m0 I0 y5 G  Z2 W
这样从单个个体到集体的归纳，好像很多时候都不能直接用概率分布加以概括，因为彼此有扩散的作用，还有时间前后的相互影响。有没有什么数学模型专门做这种的？agent based simulation现在是不是已经发展到允许归纳经验公式的程度了？
作者: 假如十八    时间: 2014-1-12 22:07
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
" L1 a$ v4 ~/ D& G3 J5 q这个我有个模模糊糊想到的问题。
/ ~, H' d7 k* z) [; E0 F+ T
9 U; q9 K: P' x3 G比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...
' l2 n* W6 g2 l" T4 z2 x
万里风中虎  有，以前的千里烟波就是做这个贝叶斯模拟的，这是一个大流派。我不是搞这个的，只能做经验统计。
; c4 @" I: v& W/ m1 O6 A2 @! f7 g* |: B! Z0 X4 P
多谢老虎，这就去看。以前没注意看千里烟波的帖子。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:15
贾大松鼠 发表于 2014-1-12 10:32
( E0 q' [3 M' e3 Q5 v5 I/ a下面就要来说说“量化”了~~/ L6 n/ _" p3 q; Q0 C7 b, _( Y! I
对于一个经济学的问题得到一个量化的答案，可以有两种途径。第一种，从理论模 ...

, f; O2 L, M1 }! q1 k5 H- e( GCabibration其实做的就是moment matching，可以被看作是不太规范的GMM。区别就是他们对模型对现实的模拟近似程度不是那么自信，不做Goodness of Fit的检测。
作者: Dracula    时间: 2014-1-14 07:33
本帖最后由 Dracula 于 2014-1-14 07:34 编辑 1 V  j% e6 p7 o' k  a" V
假如十八 发表于 2014-1-12 18:15
9 O* b! w8 J6 t这个我有个模模糊糊想到的问题。
" s- f1 X+ M: s2 S3 O7 R/ h; C
' |' X0 A4 A) b) i* S6 A% ]" E% ^比如金融里面每个人对股票变化方向的判断有个概率，再加上自己的风险偏 ...

4 o! G% V% q; `( h
/ ?3 V8 @' _, J: g! o6 w由单一偏好到集体偏好的归纳在一般情况下不能实现，这就是有名的Arrow Impossibility Theorem的结果。具体什么情况下这一点能实现，MWG的教科书里专门有一章，你可以找来研究一下。
  @0 z1 \8 i3 j+ _. _/ ]
$ S. d9 g; `! E2 c* l) W金融经济学里假设的representative agent，也是在这些限制条件都满足的条件下，才成立。这个假设对模型的推导出的结果有多关键，我不太清楚。: `1 Q' m; G$ p* }5 v7 O
/ Q; P, B) H; {; c3 ~8 n9 v
金融经济学基本上都是使用期待效用理论的框架，一般假设每个人是risk-averse（我前面说的risk-neutral是在涉及金额很小的情况下的近似结果），因此有risk premium，风险高的资产预期收益必须高，以补偿风险。但是金融经济学还有一个risk-neutral probability，涉及的数学有点高深，说的是存在着一个新的probability measure，在这个新的measure下，资产的定价就好像representative agent是风险中性的了。
& T$ j+ [) s0 Z  W3 r
! g, ?/ t, M2 {% W" T7 M



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