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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 : O6 @, S! }5 y- y* ~2 @
7 w4 p; i3 F7 h+ m7 V# x! t! A
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
. g# c) o7 ?- [3 l) q8 q$ h
% O9 ]9 P& \. f0 A- t0 b) A众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。0 y* ?/ d7 E! n* V/ p8 y

4 R' _4 J+ I' W2 I6 q电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
9 }8 b. ^  J% R7 l7 ]3 q, B9 T6 n) w/ r9 ?% g; `

$ N: v1 k% R7 B5 \+ u% A
1 H# H! }" D/ @. ^! {翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：/ a7 e2 E% {+ J
5 a) J( d: l1 a# k, _" q6 z% L

# {. Y7 O# Y3 L, r) G
& A5 _4 J$ Y7 F# a, M* j) _不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法8 X, Q4 E* u7 @3 X# }7 q. ^! O0 l

" r" I$ _& C3 I2 O2 |0 {  _* J; [- z9 Z8 p
& q# ~9 ?6 u) u* Z
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
% V% n1 v9 K9 v% z) m
. S6 A. N' f3 X$ {, G1 _3 T4 ]  l: r8 |0 |+ H; }
+ ]$ f' B' k! g+ k3 K2 x. i/ @, F
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？% C0 P" H* p2 x- q( a; o+ y+ U; T' T

/ w2 g# Y' J) e2 m拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。% j0 R/ ~, A) [  h7 ^5 n* z
5 ~6 A) y4 c. O$ U

4 h6 R) O5 F; f
+ h2 r4 o* q, I; C+ I/ ~指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
: |# [4 p% L, N$ n' Z9 K
# e; S, X3 k7 g2 D  x: ^有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来$ G6 ], D- ~, o) l: O* S- h; m
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
* F) C+ U! _, G2 E8 S* \高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

* X: e* w2 c! {- `8 g0 h0 i6 P. X! m对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
5 {2 d& ^2 O( \, q又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
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对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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