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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
( d/ q1 m. [) _
1 U; Q9 m( R1 g最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
+ z# r: y" x- e: G' r! C, H9 X+ S5 k* x" K* `
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
- a# C% ]" P: l6 G5 E7 p, j- x/ W* ^9 Q- c7 a8 y9 d' W/ w
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
( {6 x; s' R6 N3 W, @$ L! O1 @  P/ c/ p
9 L0 N7 I& P5 w2 i4 J; g+ r
8 j" w/ n7 _8 y! C/ A: G$ e7 N# N* {& q5 ~
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：. T) W3 e  d& ~$ I8 |9 P  {* k
9 e  t1 J, }+ s/ B

0 O* B/ W5 T  s
+ W8 Y) C: M! P* x! f不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
2 \& A# i/ T. q8 U8 `
( b) h5 F# x5 v- r  n% O1 ^( O: V5 o% z8 C+ j+ d

- a' E( q" v: j5 ^5 x数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。. E$ f' S* G* g6 y0 i* W5 N6 O3 x

' L! n/ [1 z, V' b, O0 N5 h
8 g3 Q5 e; P9 p" D- R4 \3 p# N) `/ @% n7 M9 E4 j
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？/ d; Y' k: P4 c7 o1 I6 R* T2 i" n
# }% v: ?7 w1 _
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
3 F+ W& z# z% T
2 ]9 {+ u' b5 L2 ?
. v6 c; `1 _$ V$ o- |4 B& E9 _
/ D# i% w4 M4 c+ I) I2 f  V# o指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
: N, f  w, @: p2 {; d: Z, c" ^; F7 W
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来) r( {( U' ~- |. t) x
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05! g( l7 f. x  p
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
0 d" [% v* w; c. K4 a8 n4 D
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:402 [& ?4 y  ~' P9 `+ O5 J* F
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
2 Q, z1 {7 T! m' c8 ]# r
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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