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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
) l. r: p8 e# c% w# R3 {) N
3 J  e% u( V" U) A0 m最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。( u9 G2 n/ k1 w- X- F  E: L. m

' E5 {7 M$ [* D+ |- P+ v众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
0 P; e4 J% }) _+ q  F1 D- X0 ]$ K1 a4 a; A' T; v
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
: w' Y6 t, V: w8 i3 |( J9 N( A2 `. b9 a; K) q& e, A

# Z! P( V( b: d; W+ E1 {% P2 C/ n$ s9 e7 B( F
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
! F. b  n! Z% V1 Y3 ^& ?
7 _, s, ^1 A* X3 u6 N2 b
' v: C3 d  y+ _. H) w* I( l* {
% y- g/ _5 Q- r, t不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法$ l$ |$ R! x. X$ E/ m

1 _; g3 I$ O# a" c& [3 `9 a/ [8 N0 d* N

. v# C6 E2 |# t6 n数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。* N" Y; `$ J7 A1 V: P- p8 S" r4 z
3 U( [4 J: h, `/ m8 R

/ c, ^+ Q4 n+ `) I4 c+ x1 J0 t  [+ j5 [
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
$ d4 i% {$ R* T) A2 u; m) d! z! A2 h1 ]& |( w" j0 f& c
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。8 ?  s( H: p- a* f" k- I
0 f( f9 v( p7 F- C( m6 N

4 u& b1 ]+ w' s  B2 ~2 y. \$ l- r6 _- j7 Q6 |
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
$ X' y. A5 v' H$ X. x
& K7 h6 k" n0 ^: h, X+ a- m% S# E6 ~有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来$ p0 D$ V) L9 h1 \
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05, J: i' P# N% C: p+ g- J3 ?
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
& ~% j; H5 B4 \
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40( y4 a  \+ ^7 f3 Y. r
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

( S2 m7 S1 l$ @- q' w对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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