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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
5 {. y2 h) l6 o( q& b2 Y1 t
6 W4 o- w- |' P0 `7 a最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。1 s; \4 w; J7 F

) C0 P6 n  ]( R( P2 w2 d" b众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
  V5 J1 Q) z# _3 `1 u! ~) Y- F0 h) ^
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
7 {$ B- e- W7 C7 k' ~; [% A
3 d: E3 J$ ~( d" r
$ D' U6 K+ Y: }. m" s3 l) z
$ [8 _1 H* C* Q# k  E! Q4 j翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：# H# E6 G4 P& O, T' ~

5 C$ C9 i8 V! R( y/ T/ k% R( x$ R  y' c* C

, J$ Z/ B; K; {不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法
' C- Y6 \+ b0 k- j/ I/ `0 x" I, e% s4 c9 S  Y! v6 B' O
: G5 E2 A( m" `" N+ D' H1 J, j

7 t$ o% o4 B! A+ E8 A0 q# l0 T! X数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
9 D4 c2 v( }; [: A: M  }2 D1 B. C, G" G# ]8 q# X+ ^# T

" p5 {/ n' K$ \6 @( e4 K2 B, ]8 v; ]5 d
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
# i8 w1 ^6 W# ~9 |' H' Y- Z9 q& a& l& X  F% `
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
' o5 P; O: ~" z6 [. _% ?' B, _4 ?" X- H" H
' \, t: ^# C+ T

) g& h4 d8 g( E9 G/ N指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
% N! n4 {9 \5 s& {$ v1 E& f$ y2 [. }$ i' z' [
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来% P) J, ^& b5 Y8 _2 h5 [& Y+ `
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05( m% I* ~( @9 J2 d
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
" S7 o( _. K" H8 G( X7 ^+ s
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
' K2 x3 i1 V5 ?' `. r. R0 b又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
3 S$ R. n/ e+ q' Y
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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