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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 ! x9 m. d9 ?  p" t# b* f6 W4 ?
  k) `5 t$ ]4 F8 O! C. q/ L- T
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
+ P6 R2 n0 ]9 y. o4 A
& p2 n' i* E1 R% S1 w1 V众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
/ r4 i! m- f  ?" A; {4 v+ e5 Y1 g* T- c+ E
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？) K' Q9 `/ q1 [: o5 R

8 l/ x: D5 g, y* `4 T, h& I5 \0 f

# V# v$ s& X9 F: R- Y) j翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：% P1 y+ I! E) x. @# ]  }

# A* m. Y4 T) K3 @- O9 E, C/ L6 v+ g
3 d. M- X7 v" ^5 d9 B0 {. d8 ?6 n" I
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法& ~% l0 q! c. r- x2 W( D. E9 e

. y, C! L1 a3 f" y, o$ n; c1 ?8 a$ H  o1 `
6 \3 k( w" e* J7 J; M$ b* i
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。7 r8 K/ l7 {. m& ~; N3 b

% E1 }- k0 U* ]5 A  ~1 f  b* E; J; i7 y& n* K3 @$ K# B  m
' I3 O% l& D5 r1 T3 F+ g
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？: W4 L" k  _; B) E6 p

5 D1 R! R, D2 z8 N8 U- m: E; w拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
# r2 e, V1 S+ {, J4 v# P8 j, o
! ]9 i4 L5 L$ I& t4 g
; }9 B) l( X+ O; e
( G4 y  h, Z  i4 C1 W8 Y指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。: T& t5 B# B) d6 h, }3 i" s

+ r" a9 j8 \$ d% W有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来3 D% P% a) R7 \- {
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05  A* g% Q$ G5 z. F; |. k; s# }
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
, H! r( n0 W7 ~+ \( o. N
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:406 o9 h; f' y7 F) m# s3 R( u" k) i7 Y0 \
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
! R9 t+ m  h; U
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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