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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
, {4 O' ~. s9 s" J; p0 S; g
: @7 V+ x, B' D# X6 v7 w最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
/ g& k' s. s" |; e4 w7 g% V% K% l7 _' [7 b3 `. F
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。8 ^5 K6 a/ l& o  ?  t2 W

4 P$ Z5 E. y- c& ]电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
& U5 U$ e, n" I$ c' w& Z
5 e* ]) v8 f0 e/ |* U. @% r+ f( k, D& k, w9 i$ ~& d
& j3 z' P5 c: J) E8 w
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：1 E  _2 K! V+ e' z5 S' l- ^3 |+ T3 x6 z

( `+ M8 H; f$ y' H9 f/ e7 T' A- V( B
% u4 m) i, {2 o$ p' H, k( S8 \" U0 ^9 B$ }6 e/ E) P( ]9 Z
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法6 J8 v1 S: S4 ?# S
2 M+ v( ]4 c' ~, h' v6 s

3 L, `- H* R& t5 v! I" [/ E- d8 Z4 g$ H
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
4 {% ^. h! W2 f$ o8 j
8 h( x. z2 Z2 e4 j8 m: E5 I8 m2 A! R' y# u7 K+ P

' ?. a! `# Q- y& }  u傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？& F& C) F+ a  U7 U6 x! j  Y
. w# g$ t  f" D
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
2 l1 {; c& y! K/ t; B5 [2 M& Q" M8 ^% ^; G# [4 N

" n' x1 u/ s! P, s+ c% G( u/ }. d% w7 t! O. _: z- w$ }& c' R
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。( @; c" i9 ~8 w  m7 W$ j$ i; K$ w$ o4 A) Q

. U0 G8 t% s) M* i有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来) _2 c% b* _0 G! q( {# I7 A
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
! w0 v* }/ ]* m高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

  Z+ m9 K4 S, ]( ~. x; @对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40# u8 H7 H  C8 e$ D1 R# K
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...
4 I' }; g/ Q' ~+ Z' f
对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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