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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑 & N8 g  p& a/ K: L9 t
# ]: Y  {) h8 j4 ]2 h/ O7 I
最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
6 o# Y& m8 e) `( o. R! R% R# u6 K4 g% M( `$ a7 e. a6 m' L: s
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
/ t3 @1 [4 ~% C8 a2 X5 C; \2 S# f" e# g& O& Q: ^/ @* |: r
电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？! }( W# [" i  I8 u7 l

% }  X: N0 {2 n8 a
! N, @, y9 I: S; i0 b* K/ s* l& O  P4 H
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
/ J% p/ ^; q. J- s" D+ h: f7 m4 F# y3 V* z' b, ~! h

3 F6 Z- }) }- u1 y! Y3 H5 u! B$ C8 A
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法4 D! q, Y! ~( S8 p! K0 ?( T

' d/ O) v1 E- q, k0 k# F9 P; h( H$ M# s$ U: y8 X0 |
# u6 r$ k5 p. W% G% ?
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。0 r8 \" }  N) y4 _. C% a
* x* d3 L8 F$ D8 Z" V$ q. w
) Y8 k1 o* N8 b' {5 D
8 S/ C0 C; t8 r. _: F* c9 y
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？* O/ u/ M. N# I3 {. Y# z3 x% l

3 _/ I1 Q% W4 Q1 H2 m3 I拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。- W, Q6 r# i0 y; H( I: i

5 Q# o8 k: P: Q" H; y5 H
- F* G+ U# B( F7 z5 @# d7 B6 v4 A1 S/ Z3 U  F3 Y+ j
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
% A0 y2 W# ~6 H/ ~% l) w2 j: M: d" [  B" X7 \9 }) b6 L
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来. O8 v8 [6 f% U5 ^2 o; F0 Z) s
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
( x+ [9 R) K7 `; X! K0 s高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
# Z. r/ x5 G+ L0 r9 t5 v
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40" Q' B& f: d# j, v
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

) b: s' X& m6 d) ?/ U/ `4 e5 B对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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