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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
$ L: c: t5 M+ X2 K
% ~% G  ~+ W4 _+ v1 x0 x最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。  s6 f0 X7 m% B: `2 ]5 R

( j! n) ]8 a1 p) M8 C  |/ G众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。4 D! J9 Y% _. N3 A

) O' k* d' s( \9 K6 [电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？& X! w8 v1 z6 e+ y( _" {5 T3 }
, f. V6 I( q5 }3 ?* `6 l/ G
2 s) R. E& W- _. R5 n

) x- o' T* @1 J( ~/ W翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
& M' U  i6 e9 }9 Z/ J: k+ q( x# p3 B4 q6 {% T

& \# ^' h- L" E* Q' P
) E: p, q  D/ J  U  j不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法3 m2 R/ s3 X6 W) A* K

6 m& |5 z8 V% D1 ]$ r8 P. D$ `* Y* R- G* p
9 B$ n$ \2 u. T% n! T
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。0 M. X9 }8 J3 {- W/ {/ O; z
2 A- W; X  J& Q+ e8 ^3 S5 O
) R# @. ]! B: u: z8 j% e6 V0 J4 u+ ^
3 s% E  g% H0 {, {( W' Y$ V; ]
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
& Y0 x6 y5 E) I; ~
7 j  ?9 s. m* V% C1 A拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。! E: z* ^, n8 s- [  b8 J/ e9 s
% Y9 ^9 [# H+ D$ {
; K. V; r7 ?; Q& o: I) B
9 k  {. V6 ^) ^4 |; O9 D
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。3 J: s# Y5 Q9 q5 a' r- z. k

$ y$ r/ a1 M* K! b- V# l有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来) r2 v4 Z1 T( v
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05+ n* B- |" ]5 ^* r" G' W! A
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
4 k9 |' P: R( T$ W4 E# s$ G
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
* j8 m0 \1 R+ C: w9 j6 M又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

- V$ d- o, t+ R1 ?3 W9 U) `- q对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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