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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
7 e) k: K. i# n- N# Q. e6 k
) g, ]- {6 c% A* v) o* w( g3 Z最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。+ t: s( L6 c9 }: H: w- r6 f
9 S  m# k3 i2 B! [6 s
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。" }+ n! f4 ?* j/ e

! x) T( s! H. @$ L9 x2 A9 O% m+ T0 S电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？$ b3 Q8 w) n- p/ m

0 X; X; l& c  ~
; @5 ~1 W5 e/ M
8 O5 y' R/ @4 B; h$ v4 }+ y; I翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：. L6 J+ i: ]3 C( C; X

1 U. l! s8 E% z" ^
5 C5 P. y! B9 [; q- b. s) w# B& e
不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法5 L9 N7 a1 ^5 E

. R% M# }8 o# W" M/ p
  W8 W- P; K2 J/ F, R, u# @7 U- c/ @
$ z0 |$ b4 F, g* C数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。% p* \2 l, d3 L3 b7 g# z, x% _) D

8 a, O! |" u# i4 U  Y' t8 [5 @4 M& X6 w
4 p% M- l2 ?4 ~3 y
傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
8 g: G' p0 x( w$ U, J
. K$ h! s4 K8 N3 W拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。. S% r& j8 T* [2 Y1 X+ E
, t  O. \% B  W8 x* E* ?; [0 R
2 z5 T2 i+ |+ x
3 k+ g: w( d' [; w* i( o/ A
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
# {3 t2 m' d# M  ~, |: \" t! r* x" x7 i- v
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
; o* x+ h: c6 X, h& M( V+ }以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05: Q2 p# L8 o6 G; t+ Q
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

' {1 _. l' C" ~% O, O对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
7 ]4 }& `3 U! _- b) ^5 |又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

4 n$ M% o) J) {* X* L$ z( m对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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