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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
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1 A0 o# H# {  n( F" M. q最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。# \  K! S9 P7 }5 U, N" P
0 L7 |/ s* V% A/ C, j1 F
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
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2 [. W2 V7 t, y1 Q) x4 e# `$ p电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
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) ~8 `/ R  n; r翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：$ Y3 }, f7 ^6 ~- a4 [

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不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法6 Y4 S- M: h. Y& s1 S  M

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+ s* j% y& A: H; {' d! G3 A$ t8 x; C4 N: M3 M: ^) S  o+ k
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。
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& |! p+ t! H; J$ T+ F

1 |' V8 `4 y8 E; M/ L5 p& H: Q傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
1 H% A8 I2 [6 ?* C$ X+ k  W: U4 S5 D8 s3 F
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
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2 f: x" M( X6 n" h3 Y

/ p- R7 @) _' P" ~1 C; [: b8 j) ~指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。; [1 I5 m* ~* t+ k) s
6 T7 D3 e9 T0 B  M# C* L& x
有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来
7 m; s5 D- D" ~0 X3 c# p% y以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
+ r1 D3 [- c& o. q* W高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？

8 F+ ]" h' O' y# k: s, s, a5 D; }4 `对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
  `8 u: h& h2 g6 b8 U/ [/ k又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

8 s* R2 ?7 h! Y* f! T5 r8 s4 U3 n对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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