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标题: 我理解的拉普拉斯变换 [打印本页]
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 11:25
标题: 我理解的拉普拉斯变换
本帖最后由 可梦之 于 2023-9-27 11:33 编辑
  w* c0 W) W8 R) G5 s1 {
$ |" L) }6 m( N+ \最近工作需要，又重温了一下电路知识，对拉氏变换有了“新”的理解。
% K5 {' H1 r0 {& C% ], b+ s: x. r# w" }5 l) N: `
众所周知，高斯小时候就原创了求和公式。求和公式就是将大量的加法运算变成了简单的乘法。换个思路看，天地自然宽。
* n  @4 l0 |" i3 D, A5 U0 n* v
* O7 g& P/ q: v: U; n6 R( j* F电路中很多微积分方程，如何解就很烦人。我们能否换一个工作域，将微积分变成我们熟悉的乘除法呢？
( t7 P, N: K; u* m7 v, p- ~4 {3 ^* T4 ^9 o6 l0 Q/ P
9 W) k, W( Q+ q' o
# @& F( P0 h( Y9 _/ a' M
翻开数学工具箱，复数看着靠谱。复数有三种表达方式，欧拉公式将其转成简单的指数表达方式：
2 y- |  H3 x/ u6 R  S
/ s; T# Q* g7 G$ B! m2 E, i- K  D9 P! }2 ^) \

6 R8 K- j- R5 T0 @3 L不去管复数的具体含义，运算从实数转成复数后，乘除法变成了加减法，微积分变成乘除法* G9 V; a' ?+ E6 v- J7 Y4 q0 e% |: s

) [1 b6 [% R! Z" W, @4 u1 ^
' G2 t4 M: B/ X+ [  v9 I% J: Y6 A5 M# v0 c& U
数转为复数域，那么函数呢？从上面我们看到指数很有用。哪个积分变换用到了指数呢？大名鼎鼎的傅里叶变换啊。不负众望，时域的微积分变成了频域的乘除法。5 M0 |# E9 ]9 f
% W7 _" V, \9 H; k

, X  t2 o# r6 u2 N7 N
( S# H; g3 R0 E, l. s, c  [5 Q* Z傅里叶变换有一个小问题，要求函数绝对可积，也就是积分是要有限的，否则搞出来都是无穷就没有意义了。但是电路中很多函数不满足这个条件，比如x^2。那怎么办呢？
5 c- _% O) {# l3 u3 ~, k8 F6 |% F4 @: l) \( k! m7 W
拉普拉斯跳出来说，我可以把他变小啊。指数是增长/衰减最快的了。不管你函数多大，我给你乘上一个衰减因子e^-at，在t足够大的时候，都能给你拉下来，满足傅里叶条件了。
$ R* D: b! q4 \6 f  H
  r# ~& M8 v! O& p- f! `7 I9 d( y+ b8 U- I: P) T
' H( H, b: l5 ~
指数相乘可以合并为加法，a+jw不就是一个复数s吗？这样就成了大名鼎鼎的拉氏变换了。
# D! Q+ @' _# ?
3 h( D+ v; a1 I& s; B有了这些数学工具，我们可以将电路中的各种变量变成复数，方程转到复频域，这样微积分就变成了我们熟悉的多项式。做完操作再用逆拉普拉斯变换转回来就好了。
作者: 数值分析    时间: 2023-9-27 12:05
高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
作者: colin1992    时间: 2023-9-27 12:06
高手就是信手拈来; x1 T( e1 y2 X9 o
以前看卡文迪许扭秤、云室，感叹设计的巧妙，没想到数学也有这种操作
作者: 可梦之    时间: 2023-9-27 13:20
数值分析 发表于 2023-9-27 12:05
& l# J" K/ p! b3 X8 B* M& N高斯小时候提出的 只是等差数列求和公式吧？
& ^3 {# ~" w1 g7 e
对对对，1+...+100，本来想说高斯公式，但是高斯公式太多了
作者: 数值分析    时间: 2023-9-28 04:40
又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了。
作者: 可梦之    时间: 2023-9-28 08:43
数值分析 发表于 2023-9-28 04:40
5 [- ~, N5 u; W8 k$ f又看了一遍，时域变频域的好处似乎应该加上卷积变乘法，在电路里输入卷积上冲激响应等于输出实在是太好用了 ...

1 E/ n# Q% A, O& p7 [9 l对，还有反着用的。频域乘法后逆拉氏变换不好算，可以用时域的卷积



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