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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题

7 x8 \# ?9 f( R/ e9 Y! `
其实是个概率问题。
& N1 f( r7 k3 N# f3 [. j那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
7 K. i& Q8 e, C问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
9 K  i+ k5 d, K. A
: s3 H. [) n# @7 G0 J6 _$ R按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

5 f& n$ x- C  v% J1 \" e$ Y" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

8 p6 ?, F9 ?3 Q. W, V没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
7 g% v4 ^* ^4 i' Z( ]
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32

% ?1 Z9 E8 Z! w9 ~% h0 f/ r
4 \3 S2 y: i2 N8 Y& S$ d- T% o* ^您对答案的理解似乎有误。
3 U8 @/ L( x. @5 b+ S" v随机变量X是测试过的元素的数目
- K( U3 s/ W5 W) ]' s而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
4 C  O3 ?, i) v2 P所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
3 Z: |& _' {" Z: z* X. Z8 o& h而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
" e! V' Y4 w! h! S8 Q% ?( l您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
7 U  r  [- X2 ]% p6 ?
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
( x6 p5 I# u* Q1 n7 `# Z# M) ]5 }
2 s! r$ ~: {* Z+ W! }" w3 ]8 y然后从头开始：
' s8 m* i( n1 t3 T3 TE(k|k)=1
2 |4 x5 G6 R2 S. Z) `2 A" a, [E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
! u" i0 ~1 u0 SFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
) q" W$ f1 j- s1 y/ q
原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
2 T( G' H5 G& _1 L您对答案的理解似乎有误。
" {1 ]' i& C; }* v' L随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
9 D7 Q0 W0 N6 f! t
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
9 G6 L8 ^5 X! V: A/ n递归法也是可以的。

9 k9 P/ u* ~% V5 a& x4 {其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

2 C5 k- Z% L8 w  Y; L

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
* \* E7 ^+ b, k; q: V否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
- a# u- M- L* F6 d2 t" w2 @, D
0 X7 h' _; R0 m* b而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
! k/ ]# f9 l) E5 i% T9 v6 j所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.

" y/ t& Q/ k* n0 @  B; WFor w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
2 l: L& A$ s! P8 @
: y6 {* R) Z# D* ^! H; ]2 g# W! E/ rThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
  {3 N- K: Z% Q6 D: Q& g
% X# w% Q: l# s" k) \理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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