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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题


其实是个概率问题。
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
2 L( T1 a% j# W$ c在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
1 K0 Q. x4 X( k) ~* jhttps://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
8 {# A. x. V: ]  v, \
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

1 Q/ w* @) E5 Z( n0 T9 p" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

5 D" f2 W) |" M6 X# z9 F# Z没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

6 _" |: b) t8 W5 @& W2 S. |% p老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32


/ v3 x% }) L5 h# c' g您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
5 {( [/ q. o% o2 h  ]而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
; R! w0 G4 ^/ }( a- ?, @* p$ X2 ^所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
& c( C, ?4 f2 Y6 m您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
9 N7 ]. C! |2 o- b9 p$ x+ {
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
8 \  v) l/ ?4 |0 O% X; }$ I+ r
- ~4 O9 O* D: M# S1 \* J然后从头开始：
3 x6 P- S) `. G% |3 R$ ^3 `E(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
& A: B( D5 _0 ]. O, P0 d- q$ R4 {E(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
2 N) F" Z* B( N9 t8 N3 a3 s3 yFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
" E  T7 ~  V4 P1 }/ s
原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
$ f! q- Y3 H( y* u3 u/ r/ M您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
% `  z( ^( @6 Z9 f% t而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

# p/ V; c$ {9 b* h  E5 y- W明白了。
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
! ^3 [2 M% g# t. e. a这个题目可以用递归的方法解决：
2 L1 e" L# C6 s: |* |" V8 x
! `" j3 K. e$ l5 a( N5 E9 S5 [E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
递归法也是可以的。

6 z) g' d7 A$ w3 y4 g* S% g其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

9 o, ?) c9 A/ M# ~& m

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

5 Y" f2 L" R) X1 p! I
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
7 r1 N, W: t* _6 {# E否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。
. {7 Z8 D6 Q) O
) V, D+ n4 Q( g0 N' r: {" e而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
3 @8 K* q. s. D, ?所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

+ B1 |/ k: E' c+ x" l' E1 o9 a/ \2 V3 @Let S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
. S( Q3 T2 y9 Y$ S
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
4 n: F% P8 i( z
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).

* o9 ]6 u; u0 k: j' FThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).

) z+ t; @7 G) l4 G理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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