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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题


其实是个概率问题。
# T0 [; w7 f* Q# i' K. G9 j那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
$ }  p1 J5 }! T1 E+ Q在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
1 ?* h6 l5 x6 C$ I问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

- Q# s& A6 R' N  h+ m- h按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

$ ^( |5 Z# Z5 a; c" a" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
+ z; M2 ?. b5 F5 C
; z% f7 a/ c/ D4 L3 A5 `老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32

6 a: F1 |9 T7 I& m% e6 t" i
您对答案的理解似乎有误。
! T. d4 T. o5 D, `: o随机变量X是测试过的元素的数目
* j, l* r9 O( I# U  E而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
* m, ]% M/ h4 ?7 ?. j3 x+ y$ a9 E0 j所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
/ N# u2 u+ H0 \4 m2 A( H您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
$ q- A/ G# w3 k! ~( s  o
3 ^' U  |4 j" t1 `3 OE(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
! T5 x2 E: L0 V
然后从头开始：
% @$ e% P( U7 g6 |! m: A9 bE(k|k)=1
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
1 M; U7 L# j, G3 QE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
" }# t1 ~' p3 b5 ]  [您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

- L1 k$ Z! F! f; w9 q5 @明白了。
4 u8 V& d6 ?5 g9 P; C" M0 U: g是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
* u0 @! _% ]6 T0 G( K多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
/ Z$ H5 R6 A) z: X- d+ j7 ?- S这个题目可以用递归的方法解决：
" J: W$ ]$ n( y  x% S' s* C
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

  s" y6 t0 y' l! \: |$ {递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
( h) t2 }6 g- I递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

* \* |3 d; W7 ]1 i0 c$ Q+ q

老福 发表于 2022-3-26 12:01
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

" ?% I8 \+ S& L* m
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

$ Z) w! [; b/ k' D( l& F而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
2 d- C4 [2 U2 ^2 K# J: U  b所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
2 {+ ]  z5 C* R9 O6 @) ]' Z! S* Y
4 v, X. P$ i& J- L( ILet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.
# E  b+ H% \. D6 ^0 i# E1 B
& a6 f. m9 z& YFor w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
/ g4 ]6 W9 t8 S: L
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
/ T8 h; v# [% j$ ?
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
9 i, A# t' V7 }
+ b5 H( z& P: R1 D. E) N5 F( W理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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