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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题

: i7 e  z! o1 Q% X( Q7 {
' }! D: g5 A+ M3 y. @其实是个概率问题。
3 j1 T# O6 v4 J. _6 r8 u/ J那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
  w. E1 E& s) ]在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
问题就是这个人的表述
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time

按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)

" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".

4 t& @) c4 b3 B6 ~& C( i没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。

老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32

: r# k1 Y, G" v: L! K# K+ r8 T
您对答案的理解似乎有误。
# N! B3 s+ v$ c8 D9 x随机变量X是测试过的元素的数目
' G0 b3 S% f. E而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
; m! m/ X5 A9 [) Z! @( G' d所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
+ _$ |) S8 s  O1 K& z7 ~$ Q: r而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
' b: r; ?$ p9 \6 i- G$ c您再想想？

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
) X5 |9 H7 {+ A4 U$ F: y
2 f5 @! S; U  y! r. X' z0 e& v然后从头开始：
; t/ n1 m+ _- T: r& M) V: n0 TE(k|k)=1
" e0 C8 y' R+ s2 y- t$ f# R, m# TE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
% _' r1 |) g6 u( yE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
/ i2 W+ f1 \" U5 eFinally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)

: F3 E- U$ k6 }4 `" B3 \/ {原文的解法有点绕，还没想明白。

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00

数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
您对答案的理解似乎有误。
随机变量X是测试过的元素的数目
% d5 u3 s/ L) y( f# y而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...

$ ]+ T6 V: A( O, X' w4 u明白了。
, r7 g- O; X- y1 Z5 R是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
多谢

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作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07

老福 发表于 2022-3-26 10:44
; \% ?, g2 z1 N) Q/ A  H这个题目可以用递归的方法解决：

E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

递归法也是可以的。

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作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01

雷达 发表于 2022-3-26 11:07
5 u2 ^7 N3 a7 N# C; h9 p递归法也是可以的。

其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。

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作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46

老福 发表于 2022-3-26 12:01
2 ~$ l& J$ Y2 V' H& U! ~! E/ i其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

/ i- R$ m% n, |6 `- `7 ]$ C( \我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
4 ~! m2 `& L# g* B8 S否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。

而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
$ u+ o+ \) F4 L- t( E& x: Q6 [, i  }所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。

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作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。

# `% q/ ~% l; O$ D, [2 S9 CLet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}.

For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.
5 H, G3 \) m, X) z& a+ q- {; ~
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
3 D& A  a9 m4 ]3 s
" r/ q0 z+ m- I) OThere are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).
  A; K4 ~* A* J
理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。

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