爱吱声

标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]
作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题
本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 + T; H3 ^+ h: r% r

  ]. r; R/ B) Y5 L9 ]& r% r其实是个概率问题。( T. W+ j9 ?8 ^% d- U5 ^9 f8 r# \
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。* f) i8 t1 T9 J" U! K, t7 S; f+ f
在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。& p1 X: G! [- f  S
问题就是这个人的表述: `. e' w, ^4 U/ @* p3 g
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time/ f* }2 x$ c3 F% J# ~$ y

& u, q, z/ |$ s. I, ]9 u按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
, A7 V2 ~: C5 G( v) \
% \0 S7 E# x2 T  X" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".
) L7 C7 H9 K; J& X( Y7 s; U
$ ^) g6 y7 F( h* o# @+ t+ @2 B没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。  g/ s3 q: T# i# ^
$ O+ l, T/ X' e' `+ K0 q. [. {! \
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。
作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32
本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
0 B& C8 W( e7 j4 ]8 Z6 u. Y" r/ t" P4 o# B8 |# A, E* S1 |# f
您对答案的理解似乎有误。' |5 a9 Y; Z# A) L3 P- u
随机变量X是测试过的元素的数目
& @+ e9 u9 C/ ^8 b$ r( C  g而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
. G; U6 ]/ v* C' r5 i所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
# x( ?! F  `1 \( Z而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)
) |7 @" B! i1 G4 c您再想想？
作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：
$ z' ~' W& _" z* M( i% Z8 H3 i& Y5 X) z9 j9 {
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)- b* \) Z7 q2 `8 w9 U, J
1 q& y9 T$ v1 y( u. c9 D
然后从头开始：
( o/ @8 [' {8 B6 H, b$ f) Z) T( sE(k|k)=11 k' i/ w4 Q7 j
E(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
- ~3 b1 E& w+ i8 xE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)
. Z. t% c/ O8 V. ?( ]Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)* ^- K; \* l4 V9 _+ L% q8 ]
2 s3 @0 Z2 w# m9 G9 @) N7 c
原文的解法有点绕，还没想明白。
作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00
数值分析 发表于 2022-3-26 10:320 ^0 {9 z# C9 D. W
您对答案的理解似乎有误。  b" r" V1 U% j( r4 Z# a
随机变量X是测试过的元素的数目! g8 h  D# m  g% N3 @' P
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...
* J# k. S( ]+ l6 W) b4 c
明白了。  h5 ~! z- \/ m1 u( F/ |/ u6 d4 |
是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
2 p5 u  t/ z" I多谢
作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07
老福 发表于 2022-3-26 10:44
2 m  V5 A6 o2 J7 B" L; `这个题目可以用递归的方法解决：0 @: t' v/ }( D- G

1 \3 g" f& @! ]) [E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)

1 M: N: @6 g6 L! O$ \: G( D: h
2 b' J3 i  K7 ~) a4 {( O递归法也是可以的。
作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01
雷达 发表于 2022-3-26 11:07
7 k& z6 s% u" N6 _4 w递归法也是可以的。

& n! U5 {% p2 \9 B' i其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。
作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46
本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑 " B% O6 R8 E* f. ^0 }, G
老福 发表于 2022-3-26 12:01* I" F$ \" E3 h4 r& R( c+ k
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...

* H8 m5 r. L; d
* ~4 F4 F" E% p0 n0 |& `. o; k我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
, n( E" H; ?! R8 e9 z$ l! W$ ?否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。$ I6 r/ P/ s* V& y

8 L) j9 q3 Q1 N" K而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。
, K) H% b. q# c0 d$ {5 ^所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。
作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。8 Z1 _- U3 ^0 _0 w9 W# y  U) {

# G# m0 F6 Q) \1 ?$ j3 ELet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}. 0 C- y: O' t8 e9 r" Q
, T8 D" }9 }6 ~  ]
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.. V# R: s! E( G0 \  j
. S& H! W, K% ~+ v) l
For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
# y; Z$ m# U! M- X0 c
. M7 u( z" e" F7 o4 S1 V. J$ |There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).2 y! N0 S. e2 r- W

) W9 k' E3 h! B; N, Q3 I# r+ o理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。



欢迎光临 爱吱声 (http://www.aswetalk.net/bbs/) Powered by Discuz! X3.2