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标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题 [打印本页]
作者: 雷达    时间: 2022-3-26 08:43
标题: 此间大牛多，请教算法高手一个问题
本帖最后由 雷达 于 2022-3-26 08:54 编辑 8 ]8 \: s( S' C# W
+ S6 u: t, {% ?. ^, C
其实是个概率问题。) R. [% ]$ b+ j8 b; ~' W1 N
那本CLRS算法导论中，第 5-2 练习题。
4 V' f3 U# Z# \( V5 D4 G在 n 长的数列中有 k 个相同的 x 值，用顺序算法搜第一个 x 。
+ O( n) J/ ]' ]4 m' h; k  i( e) T: F# [问题就是这个人的表述" h6 P4 ]5 A2 S0 u2 n2 t+ ~, G
https://math.stackexchange.com/q ... orithm-running-time
/ `2 q- C9 t. j1 _5 L9 k: a! o6 T' e% h1 O6 c' }
按照答案，从头开始，之前没有出现过 x 的前提下，每一个元素是  x 的概率是 1/k; 不是  x 的概率是 1/(k+1)
# L. E) L" r8 x- Z8 \
% f$ N+ M. A' @# e% m' Q" If i is an index such that A≠x then P(Xi)=1/(k+1) since we examine it only if it occurs before every one of the k indices that contains x".   y2 H0 W# N; O8 v
/ k2 L( ?2 t" F: f# _! g9 }$ R
没看懂，这个   P(Xi)=1/(k+1) 怎么来的？ 按直觉，这个概率应该和 n 有关，假设 n = 10000, k = 5 的情况 和 n = 10, k = 5 的情况比较，概率应该不一样才对吧。
' o/ P8 M. K7 e  B5 b' w/ m1 K0 k6 x/ a
老了，脑子水掉了，希望有高手解释清楚一点。多谢。
作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 10:32
本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 10:56 编辑
1 b3 e) J% Q) A: r5 ]7 H0 r$ s7 O5 j( E5 [4 ], {
您对答案的理解似乎有误。  a- X- F/ o3 s$ C) B" o
随机变量X是测试过的元素的数目% H) |; j' |7 |7 t5 o, U. q
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个indicator，取值是0或者1，含义为第i个元素是否被测试过，而不是该元素是否等于欲查找的值。
& }" Q) A1 T6 G8 [) M2 {  k所以才有E(x)=sum(E(Xi))。
, u2 n& |; d2 R% u; y  F* v1 w而如果 A[ i ]!= x，那么k个x值元素将整个数组分为了k+1个区间，而我们检查了这个元素，所以这个元素必须位于第一个区间，所以概率是1/(k+1)- }/ t$ K8 d( A- H5 D- b! r8 b( q
您再想想？
作者: 老福    时间: 2022-3-26 10:44
这个题目可以用递归的方法解决：4 {$ y& J4 h8 }
0 h# Q* o  G0 @0 e, o
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)6 x: \" A# h, S9 F# @6 i" R
/ e5 U, p6 D+ T5 D
然后从头开始：# H5 z. f3 P% }9 d: g, g* \: _! R
E(k|k)=1
2 L# P. x. f3 n7 W7 C' cE(k|k+1)=1+((1)/(k+1))*E(k|k)=1+(1/(k+1))=(k+2)/(k+1)
2 j9 m9 s) v4 G- P8 i( TE(k|k+2)=1+(2/(k+2))*E(k|k+1)=1+(2/(k+2))*(k+2)/(k+1)=(k+3)/(k+1)2 V1 t0 ?: i! h) ]
Finally, we can easily get E(k|n)=(n+1)/(k+1)
+ I3 K- O: u" `. ]1 t. |( E  ~4 V( w
原文的解法有点绕，还没想明白。
作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:00
数值分析 发表于 2022-3-26 10:32
' i1 E/ T0 E' T! S- W您对答案的理解似乎有误。
# h  x2 X: g5 Z6 b" M随机变量X是测试过的元素的数目' r5 d4 [! k5 ?9 W8 R5 R3 A" `2 _
而随机变量Xi是另一组随机变量，每一个都是个ind ...
* h" J, a8 u, x5 c6 D: L6 k) Q
明白了。
; D  U; S' R2 N% y! P是指的某非x元素在所有x之前的概率，实际上有 k+1 种可能的位置关系，所以在所有x之前就是 1/(k+1)
0 e4 c0 c- c; ]2 k多谢
作者: 雷达    时间: 2022-3-26 11:07
老福 发表于 2022-3-26 10:44
. P" w8 F: K7 e, j% X! p3 |这个题目可以用递归的方法解决：
2 Y" \& d* r) a% S; v7 `  z" g6 ~* @, ?( B6 i) J. E: ^4 C
E(k|n)=1*(k/n)+(1+E(k|n-1))*((n-k)/n)=1+((n-k)/n)*E(k|n-1)
" W$ N* `1 M  i
* S7 Z/ z: n' y3 j  x7 x- M
递归法也是可以的。
作者: 老福    时间: 2022-3-26 12:01
雷达 发表于 2022-3-26 11:076 {$ x, c& T5 O: k7 V
递归法也是可以的。

/ @+ M$ A5 K' p4 n: f5 i( S  j6 N+ p其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（k+1）。
作者: 数值分析    时间: 2022-3-26 14:46
本帖最后由 数值分析 于 2022-3-26 14:51 编辑
, E, }% A5 O1 }5 d5 m
老福 发表于 2022-3-26 12:013 @" p) G' O8 y# j: `4 P' l. W
其实原文的解释似是而非，试想i=1的情形，对于概率P(X1=1), 无论A1是不是x, 这个概率应该是1, 而不是1/（ ...
( X. X$ _2 _  k: Q. t
2 P' K/ F" H" H  \& v% ?( g
我觉得这个答案的作者其实是吧下标i作为元素的编号，而不是位置。
: _2 y  D) p1 j0 z, `: n) Q否则没法按元素是否等于x来分类，因为某一个位置是否等于x本身就是个随机事件。  j3 H7 W' }" c2 G
5 k* k- q! o) J. V
而这个答案的作者其实是把每一个元素编了号，然后再考虑这个元素在数组中的位置的。故此对应于某一个元素，其是否等于x是个确定的事件，所以元素可以分为两类讨论，等于x的和不等于x的。7 ~/ E5 f9 Q+ z3 e6 r: q: M. n
所以A[ i ]这个写法有点误导，这里这个A并不是要做搜索的那个数组，而是所有元素的列表。
作者: 老福    时间: 2022-3-27 00:32
一开始我一直顺着原文的叙述试图理解概率为何为1/(k+1), 很困惑。谢谢数值分析坛友的提醒，终于想明白了。下面试着用同一思路但不同的语言叙述一下，作为总结。
2 r  G; ~: K  z  q
7 K0 b9 ?; S% x( }! i6 g$ S, ELet S be the set of the n elements in which there are k and only k elements that have value x. For each element w, let I be the indicator if w is examined or not, that is, I(w) = 1 if w is examined and 0 if w is not examined. X, the number of elements being examined, will be the sum of I(w) for all w in S. Accordingly, E[X] will be the sum of E[I(w)]=P{I(w)=1}. . e0 h: m: j* M6 q2 V6 }! Q% r
' G! Y% z/ Y' _& j5 c
For w that has a value x, the chance of w being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of k x-valued elements. Therefore it's 1/k.( |9 l- P+ [' O- n

4 v  s. t2 \5 |& ^, m# {For w that has a value not being x, the chance of x being examined is the chance that w is at the first position of a permutation of all k x-valued elements plus w. Therefore it's 1/(k+1).
+ [6 j4 e, \  {. _5 n- `; @* G+ i4 G& C; w1 i" K" C% ?
There are k elements that have value x and n-k elements that are not equal to x, so the sum of all these probabilities will be k*(1/k) + (n-k)*(1/(k+1)) = (n+1)/(k+1).  F( s- r/ b- U

9 V9 `3 o# W/ F% |6 w- O0 |# Q! t理解上述解法的一个关键点是对于所有不等于x的element，它能不能有机会被查验取决于而且只取决于它与k个值为x的elements的相对位置。



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